2023年刚体力学习题库

第四章刚体力学一、计算题1.如图所示，一个质量为ｍ的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系.解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体:mg－Ｔ=ma①2分对滑轮：TR=J②2分运动学关系:a＝R③1分将①、②、③式联立得ａ=mg/(ｍ+M)1分∵v0=0,∴v=at＝mｇt／（m＋Ｍ)2分2.如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为ｍＡ=10ｋg和mB=20ｋg，半径分别为rA和rB.现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动.为使A、B轮边沿处的切向加速度相同，相应的拉力fＡ、fB之比应为多少?(其中A、Ｂ轮绕O轴转动时的转动惯量分别为和)解：根据转动定律ｆAｒA=JＡA①1分其中,且fBrＢ＝JBB②1分其中．要使A、B轮边上的切向加速度相同，应有a=rAA=rＢB③1分由①、②式，有④由③式有Ａ／B=rＢ/rＡ将上式代入④式,得fＡ/fＢ=mA/ｍB＝2分3.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上,如图所示.轴水平且垂直于轮轴面,其半径为ｒ,整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、ｒ、t和S表达).解：设绳子对物体(或绳子对轮轴）的拉力为Ｔ,则根据牛顿运动定律和转动定律得:mｇ­T＝ma①2分Tr=J②２分由运动学关系有：a=r③２分由①、②、③式解得:Ｊ=m(g－a)r２/a④又根据已知条件ｖ０=０∴S＝,ａ=２Ｓ/ｔ2⑤2分将⑤式代入④式得:J=mｒ2(－1)2分４.质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端,辘轳可视为一质量为１0kｇ的圆柱体．桶从井口由静止释放,求桶下落过程中绳中的张力.辘轳绕轴转动时的转动惯量为，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计.解:对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程mg－T=ma①1分TR＝Ｊ②1分a=R③1分由此可得T=m(g-a）＝m那么将J＝MＲ2代入上式，得=24.５N2分5.一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度.求：(１)放手时棒的角加速度;(2)棒转到水平位置时的角加速度．解：设棒的质量为m,当棒与水平面成６0°角并开始下落时，根据转动定律Ｍ=J1分其中１分于是1分当棒转动到水平位置时,M＝mgl1分那么1分6.一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2．00kg,半径为Ｒ＝０.１０0m，一根不能伸长的轻绳,一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m=5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝,其初角速度0＝10．０rad/s,方向垂直纸面向里．求:(1)定滑轮的角加速度的大小和方向;（2)定滑轮的角速度变化到=０时,物体上升的高度；(3)当物体回到本来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向.解:(1)∵mg－Ｔ＝ｍa1分ＴR=J２分a＝R１分∴=ｍgR/（mR2＋J)=81.7rad/s21分方向垂直纸面向外.1分（２)∵当=0时,物体上升的高度h=Ｒ=６.12×1０－2m(3)１0.0ｒａd/s方向垂直纸面向外．２分7.一质量为M＝15kg、半径为R=０.３0m的圆柱体,可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J＝)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面,而在绳的下端悬一质量ｍ=8.０kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦,求：(1)物体自静止下落,5ｓ内下降的距离;(2)绳中的张力.解:J=＝0.675km2∵mｇ-Ｔ=ma1分ＴR=Ｊ2分a＝R1分∴ａ＝mgR2／（mR２+J)=5.０6m/s21分因此（1)下落距离h＝=６３.3m2分(２)张力T=ｍ（g－a)＝３7.９Ｎ1分８.一半径为2５ｃm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子.圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s２的加速度运动.绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t＝5s时(1)圆柱体的角加速度,(2)圆柱体的角速度,(3)假如圆柱体对转轴的转动惯量为２ｋｇm２，那么要保持上述角加速度不变，应加的拉力为多少?解:（1）圆柱体的角加速度＝a／r=４ｒaｄ/s22分（２）根据，此题中0=0，则有ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩt=t ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩ那么圆柱体的角速度20ｒaｄ/s１分(3)根据转动定律 fr=Ｊ ﻩﻩ ﻩﻩ则ｆ=J／r＝32N2分9.一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝２.00kg,半径为R＝０.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝，其初角速度０=１0.０ｒad/s,方向垂直纸面向里．求:（1)定滑轮的角加速度的大小和方向；（2)定滑轮的角速度变化到=0时,物体上升的高度；(3)当物体回到本来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．解：(1)∵ｍg-T＝ma1分TR＝J2分ａ＝Ｒ1分∴=mgR/(ｍR2＋Ｊ)＝８1.7ｒaｄ/s21分方向垂直纸面向外.1分(2)∵当=0时,物体上升的高度h=R=６.12×10－2m(3)１0.0rad／s方向垂直纸面向外.２分10.一质量为M=15kg、半径为R＝0．30ｍ的圆柱体,可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J＝)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦,求：（1)物体自静止下落,5s内下降的距离;(2)绳中的张力.解：Ｊ＝＝０.675km２∵mg-T＝ma１分TＲ=J2分ａ＝R1分∴a=mｇR2/(ｍR2+J)=5.06m／s２1分因此(1)下落距离h＝＝63.3m2分(2)张力T＝m(ｇ-a)=３7.９Ｎ１分11．一半径为25ｃm的圆柱体,可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动.圆柱体上绕上绳子.圆柱体初角速度为零,现拉绳的端点,使其以1m/ｓ２的加速度运动.绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t=5s时(１)圆柱体的角加速度,(2）圆柱体的角速度,(3)假如圆柱体对转轴的转动惯量为2kｇｍ2，那么要保持上述角加速度不变，应加的拉力为多少?解:(1)圆柱体的角加速度＝a/r＝４ｒad／s２2分(2)根据，此题中0=0,则有 ﻩﻩﻩﻩ ｔ=tﻩﻩ ﻩﻩ ﻩ 那么圆柱体的角速度20rad/s１分(3)根据转动定律ﻩ ﻩ fr＝J ﻩ ﻩ ﻩﻩ则f=J／r=３2Ｎ2分12.长为Ｌ的梯子斜靠在光滑的墙上高为ｈ的地方,梯子和地面间的静摩擦系数为,若梯子的重量忽略,试问人爬到离地面多高的地方,梯子就会滑倒下来?解:当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦,仍处在平衡状态(不稳定的).１分N1－ｆ＝0,Ｎ2－P=01分N1h-Px·ctg=０1分f=N21分解得1分13.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为0.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M=-k(ｋ为正的常数），求圆盘的角速度从0变为时所需的时间.解：根据转动定律:Jd/ｄt=-k∴2分两边积分: ﻩ ﻩ ﻩﻩ得ﻩﻩﻩｌn2=kt／Jﻩ ﻩ ∴t＝（Jlｎ2）/k3分14．一圆柱体截面半径为r,重为Ｐ,放置如图所示．它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为.若对圆柱体施以向下的力F＝２P可使它刚好要反时针转动，求作用于A点的正压力和摩擦力,力与之间的垂直距离d.解：设正压力NA、NB,摩擦力fA,fB如图.根据力的平衡,有ｆＡ＋NＢ＝F＋P＝3P①1分NA=ｆB②１分根据力矩平衡,有Ｆｄ=(fA＋ｆB)r③2分刚要转动有④⑤1分(1)把④及②、⑤代入①可求得NA=０.9P,fA=0.３Ｐ2分(２）由③可求得d＝0.６r１分１５.一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示.绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑.两个定滑轮的转动惯量均为．将由两个定滑轮以及质量为m和2ｍ的重物组成的系统从静止释放,求两滑轮之间绳内的张力．解:受力分析如图所示．2分2ｍg－T１＝2ma1分T2-ｍg＝ma１分Ｔ1r－Tｒ＝１分Tｒ－T2ｒ=1分a=r2分解上述5个联立方程得:T=11ｍg/8２分16.质量分别为m和2m、半径分别为ｒ和2r的两个均匀圆盘,同轴地粘在一起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转动惯量为9mr2/2,大小圆盘边沿都绕有绳子,绳子下端都挂一质量为ｍ的重物,如图所示．求盘的角加速度的大小．解：受力分析如图．2分mg-Ｔ2=mａ2１分T1-mｇ=ma11分T2(2ｒ)-Ｔ1r=9ｍr２/２2分2r=a２１分r=a11分解上述5个联立方程,得：２分１７.质量m＝1.1kｇ的匀质圆盘,可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对轴的转动惯量J=(ｒ为盘的半径)．圆盘边沿绕有绳子,绳子下端挂一质量m1＝１．0kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6ｍ解：撤去外加力矩后受力分析如图所示.2分m1g－T=ｍ1aTr=J1分a＝ｒ1分ａ=m1ｇr/（ｍ1r+J/ｒ）代入J＝,ａ=＝6.32ms22分∵v0-at=０2分∴t=v0/ａ＝0.09５ｓ1分18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑,滑轮的半径为R,质量为M/４，均匀分布在其边沿上.绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M的重物,如图.设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度?(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量Ｊ=ＭR2/4)解:受力分析如图所示．设重物的对地加速度为a，向上.则绳的A端对地有加速度ａ向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下.２分根据牛顿第二定律可得：对人：Ｍg-T２＝Ma①2分对重物：Ｔ1－Mｇ＝Ma②2分根据转动定律，对滑轮有(T2－T１)Ｒ＝Ｊ＝MR2/４③2分因绳与滑轮无相对滑动，a＝Ｒ④1分①、②、③、④四式联立解得a＝２g/7１分1９．如图所示，设两重物的质量分别为m1和ｍ2，且m１＞m２,定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动,滑轮轴上摩擦不计.设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度.解:作示力图．两重物加速度大小a相同,方向如图．示力图2分m１g－T1=ｍ1aT2－m2g＝m2a１分设滑轮的角加速度为，则(T１－T2)r=J且有a＝r１分由以上四式消去T1,T2得：２分开始时系统静止，故ｔ时刻滑轮的角速度.1分2０.质量为M1=2４kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上,另一端通过质量为Ｍ2＝5kｇ的圆盘形定滑轮悬有m＝10ｋg的物体.求当重物由静止开始下降了h＝(１)物体的速度；（2)绳中张力．(设绳与定滑轮间无相对滑动,圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为，)解：各物体的受力情况如图所示．图2分由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，可列出以下联立方程:T1R=Ｊ11＝方程各1分共５分T2r-T１r＝J22＝mg-Ｔ2=ma，ａ＝R1＝r2,v２=2aｈ求解联立方程，得m/s2=2ｍ/s1分T2=m(g-a)=58N1分T1＝＝48N１分21.两个匀质圆盘,一大一小,同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r,质量为m；大圆盘的半径＝２r,质量＝2m．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动,对O轴的转动惯量Ｊ＝９mr2/2．两圆盘边沿上分别绕有轻质细绳,细绳下端各悬挂质量为ｍ的物体A和B，如图所示.这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动，绳的长度不变.已知ｒ＝10cm．求：（1)组合轮的角加速度；（2)当物体A上升ｈ=40cｍ时,组合轮的角速度.解:(１)各物体受力情况如图．图2分T-ｍg=ｍａ１分mg-＝m１分(２r)-Ｔr=９mｒ2/21分a＝ｒ1分=(2r）１分由上述方程组解得:=2g/(19ｒ)＝１0．3raｄ·s-2(２）设为组合轮转过的角度，则＝ｈ/ｒ２＝2所以,=（２ｈ/r）1/2=9．０８ｒad·s－1２分22.物体A和Ｂ叠放在水平桌面上,由跨过定滑轮的轻质细绳互相连接，如图所示．今用大小为Ｆ的水平力拉A.设Ａ、B和滑轮的质量都为m,滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J=．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F=10N，m＝8.0ｋg，R=0．050m.求:(1)滑轮的角加速度；(2)物体A与滑轮之间的绳中的张力;(3)物体B与滑轮之间的绳中的张力．解:各物体受力情况如图.图２分F-Ｔ=ma1分＝ma1分（）R＝1分a＝R1分由上述方程组解得:＝2F/(５mR)＝10rａｄ·s-2T=3Ｆ/5＝6.0N1=2F/５＝４.0N1分2３.两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上．小滑轮的质量为ｍ,半径为r，对轴的转动惯量J=．大滑轮的质量ｍ=2m,半径r=２ｒ,对轴的转动惯量．一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和Ｂ.A的质量为m,Ｂ的质量=2m.这一系统由静止开始转动.已知m=6.0kg,r＝5.0ｃｍ.求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力．解：各物体受力情况如图.２分TA－mg=ma1分(2ｍ)g－ＴA＝(2ｍ）ａ(T－TA)r=１分(ＴB－Ｔ）(2r)＝(２m)（2r)21分ａ＝ｒ＝(２ｒ)1分由上述方程组解得：=2g／(9r)=43.6rad·s-２＝=21.8rad·s-21分T=(４／3)ｍg=78.4Ｎ１分24．一质量m=6.00kg、长ｌ=1.00m的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量J=ml2/12．t=0时棒的角速度0=10．0raｄ·s1.由于受到恒定的阻力矩的作用,t=20s时，棒停止运动．求：（1)棒的角加速度的大小；（2）棒所受阻力矩的大小;(3)从ｔ＝０到t=１0s时间内棒转过的角度.解：（1)0＝０＋ｔ=-０／t=-０.50rａｄ·s－22分（2)Mr＝ml２/12=-0．25N·m2分（3)10=０t＋ｔ2=7５ｒad１分25.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长,轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力．已知m1＝20kg,m２＝１0kg.滑轮质量为ｍ3＝5ｋg．滑轮半径为r＝0.２ｍ.滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf＝6.6N·m，已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为.解:对两物体分别应用牛顿第二定律(见图)，则有m1g－Ｔ１=m1ａT2–m2ｇ=m2a②对滑轮应用转动定律，则有③2分对轮缘上任一点,有a=r④１分又：=T１，=T2⑤则联立上面五个式子可以解出＝２m/s22分 ﻩT１＝m1g-ｍ1aT２＝m2g－ｍ2a=26.如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为l的匀质细棒的下端,且可绕水平光滑固定轴O转动.今有一质量为ｍ,速度为的子弹，沿着与水平面成角的方向射向球心,且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过Ｏ的水平轴的转动惯量的总和为Ｊ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．解：选子弹、细棒、小木球为系统.子弹射入时,系统所受合外力矩为零，系统对转轴的角动量守恒.2分mv０(R+l)ｃos＝[J+m(R+l)２］2分1分27．如图所示,一半径为Ｒ,质量为m的水平圆台,正以角速度０绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动