2023年中考数学高频考点-四边形动点问题（含答案）

2023年中考数学高频考点--四边形动点问题1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3cm，BC＝5cm，动点Q从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，速度为2cm/s；动点P从点B出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度为1cm/s．P，Q同时出发，运动时间为t秒．（1）t为何值，四边形ABPQ是矩形？（2）t为何值，P在线段AC的垂直平分线上？（3）设四边形ABPQ的面积为S，求S与t的函数关系式．（4）是否存在某一时刻t，S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3．2．如图，在长方形ABCD中，边AB=8，BC=4，以点O为原点，OA，OC所在的直线为y轴和x（1）点A的坐标为(0,4)，则B点坐标为，C点坐标为；（2）当点P从C出发，以2单位/秒的速度沿CO方向移动（不过O点），Q从原点O出发以1单位/秒的速度沿OA方向移动（不过A点），P，Q同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围.3．在平行四边形ABCD中，A＝60°，AB＝5，AD＝8．动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿线段AD运动到点D，点F以每秒3个单位长度的速度沿线段A﹣B﹣C﹣D的运动线路到点D，当其中一个动点先到达点D，所有运动均停．（1）动点先到达点D，运动时间为秒；（2）若运动时间为t秒，△AEF的面积为S，用含有t的代数式表示S（代数式化简成最简形式），并直接写出t的取值范围．4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(0，5)，C(26，0)．点E是OC的中点，动点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M（1）当t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？（2）若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；（3）在线段AB上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足a+6+|2b+12|+（c﹣4）2＝0．（1）求B、C两点的坐标；（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的13？直接写出此时点P的坐标．7．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝(用含t的代数式表示)；（2）当t为何值时，PQ的长度等于210（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．（1）求证：△ABP∽△DPE；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？10．如图，平行四边形ABCD中，AB+BC＝20，sinA=45，P是AB边上一点，设DC＝x，△PCD的面积为（1）求y与x的函数关系式，并求△PCD的面积的最大值；（2）若以DC为直径的圆过P、B两点，求CD的长．11．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为(6,0)，(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与ΔAOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.12．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，3），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）直接写出B点的坐标；（2）当点P移动了3秒时，请直接写出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为2个单位长度时，求点P移动的时间．13．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为．（2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．（3）连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（s），四边形PBDQ的面积为S（cm2）．（1）当点P到达边AB的中点时，求PQ的长；（2）求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以32cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点（1）用t的代数式表示PD＝，CQ＝.（2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PQBA是矩形？16．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t(s).（1）作DE⊥BC于点E，则边CD的长为cm.（2）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形?（3）在整个运动过程中是否存在t的值，使得四边形PQCD是菱形?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得：DQ＝2t，BP＝t，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴当AQ＝BP时，四边形ABPQ是矩形，即t＝3﹣2t，解得：t＝1，答：当t＝1时，四边形ABPQ是矩形；（2）解：如图1，连接AP，∵P在线段AC的垂直平分线上，∴AP＝PC＝5﹣t，∵∠B＝90°，∴AB2+BP2＝AP2，即32+t2＝（5﹣t）2，解得：t＝1.6，答：t为1.6时，P在线段AC的垂直平分线上；（3）解：∵AD∥BC，∴S＝12·AB·(AQ+（4）解：存在，∵S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3，∴-32解得：t＝13【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据AQ＝BP列方程解出即可得出答案；

（2）如图1，连接AP，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝PC，最后根据勾股定理列方程即可解答；（3）根据梯形面积公式列式即可解答；

（4）根据S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3，列方程即可解答。2．【答案】（1）（8,4）；（8,0）（2）解：不变，设运动时间为t，则CP=2t，∵S=4×8-=16∴不论t为何值，四边形OPBQ的面积总不变，为16【知识点】三角形的面积；点的坐标与象限的关系；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据矩形的边长和点所处的象限，转化为坐标即可;（2）用割补法去表示出四边形OPBQ的面积,即用矩形ABCO的面积减去三角形ABQ与三角形BCP的面积,可得其面积为一定值.3．【答案】（1）E；6（2）解：S＝12t×3t×32＝334t2（0＜S＝12t×5×32＝534t（（53S＝12t×（5+8+5﹣3t）×32＝334（﹣t2+6t）（133【知识点】三角形的面积；四边形-动点问题【解析】【解答】解：（1）（5+8+5）÷3＝6（秒），8÷1＝8（秒），故动点E先到达点D，运动时间为6秒故答案为：E；6。

【分析】（1）时间=路程÷速度，通过计算可得；

（2）点F沿着从A-B-C-D，分别对应着不同的三角形，每个三角形的面积都可以通过三角形面积公式底乘高除以2进行计算。4．【答案】（1）证明：∵CD∥AB∴∠BAC=∠DCA又∵AC⊥BC，∠ACB=90°∴∠D=∠ACB=90°∴△ACD∽△BAC（2）解：RtΔABC∵△ACD∽△BAC∴DCAC=ACAB，即DC（3）解：过点E作AB的垂线，垂足为G，∵∠ACB∴△ACB∽△EGB∴EGAC=BEAB即EG8=t10解得EG=45ty【知识点】二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可证得∠BAC=∠DCA，再根据垂直的定义及已知条件可证得∠D="∠ACB，然后根据相似三角形的判定定理，可证得结论。

（2）利用勾股定理求出AC的长，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出DC的长。

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，可证得△ACB∽△EGB，根据相似三角形的性质，用含t的代数式表示EG，再根据四边形AFEC的面积=△ABC的面积-△BEF的面积，求出y与t的函数解析式，再利用二次函数的性质及自变量的取值，求出y的最小值即可。5．【答案】（1）解：如图，∵四边形OABC为矩形，C(26，∴OC=AB=26，OC//AB，∵点E是OC的中点，∴OE=CE=13，∵四边形MOEB是平行四边形，∴BM=OE=13，∴AM=26-13=13，∵动点M的速度为每秒2个单位长度，∴t=13÷2=6.5（秒）．（2）解：如图，四边形MAOE是矩形；理由如下：由（1）可知AM=OE=13，AM//OE，∴四边形MAOE是平行四边形，∵∠AOE=90°，∴四边形MAOE是矩形．（3）解：如图，点M在点N右侧时，∵四边形OEBM是菱形，∴ON=MN=OE=13，∵A(0，∴OA=5，∴AN=ON2-O∴AM=AN+MN=25，∴t=25÷2=12.5（秒），如图，点M在点N左侧时，∵四边形OENM是菱形，∴OM=OE=13，∴AM=OM2∴t=12÷2=6（秒），综上所述：线段AB存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OC=AB=26，OC//AB，由线段的中点可得OE=CE=13，由四边形MOEB是平行四边形，可得BM=OE=13，即得AM=13，根据时间=路程÷速度即可求出结论；

（2）四边形MAOE是矩形；理由：由（1）可知AM=OE=13，AM//OE，可证四边形MAOE是平行四边形，由∠AOE=90°，即证四边形MAOE是矩形；

（3）分两种情况：①点M在点N右侧时，②点M在点N左侧时，利用菱形的性质及勾股定理分别求解即可.6．【答案】（1）解：∵a+6+|2b+12|+（c﹣4）2＝0，∴a+6＝0，2b+12＝0，c﹣4＝0，∴a＝﹣6，b＝﹣6，c＝4，∴B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）解：①当点P在OB上时，如图1，OP＝2t，S△OPM＝12×2t×4＝4t②当点P在BC上时，如图2，由题意得：BP＝2t﹣6，CP＝BC﹣BP＝4﹣（2t﹣6）＝10﹣2t，DM＝CM＝3，S△OPM＝S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM，＝6×4﹣12×6×（2t﹣6）﹣12×3×（10﹣2t）﹣1＝﹣3t+21（3）解：由题意得S△OPM＝13S长方形OBCD＝13×（4×6）＝8当4t＝8时，t＝2，此时P（0，﹣4）；当﹣3t+21＝8时，t＝133PB＝2t﹣6＝263﹣133＝8此时P（83，﹣6∴当t为2秒或133秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的13．此时点P的坐标是（0，﹣4）或（83【知识点】三角形的面积；矩形的性质；非负数之和为0；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，就可建立关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，就可得到点B、C的坐标。

（2）①当点P在OB上时，如图1，则OP＝2t，利用三角形的面积公式，就可用含t的式子表示△OPM的面积；②当点P在BC上时，如图2，根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出BP、CP的长，再根据S△OPM＝S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM，利用三角形的面积公式，即可解决问题。

（3）由题意先求出△OPM的面积，再分情况讨论：当4t＝8时；当﹣3t+21＝8时，分别解方程求出t的值，就可的符合题意的点P的坐标及t的值。7．【答案】（1）2tcm；(5－t)cm；（2）由题意得：(5－t)2＋(2t)2＝(210)2，解得t1＝-1(不合题意，舍去)，t2＝3．当t＝3秒时，PQ的长度等于210cm（3）存在．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6＝30(cm2)，使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，∴(5－t)×2t×12＝4解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1．即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．【知识点】勾股定理；一元二次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题【解析】【解答】解：(1)∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP＝tcm．∵AB＝5cm，∴PB＝(5﹣t)cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ＝2tcm，故答案为：2tcm，(5－t)cm；【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．8．【答案】（1）证明：∵∠A=90°∴∠ABP+∠∵PE⊥∴∠EPD+∠∴∠ABP=∠∵AB//CD，∴∠D=90°∴ΔABP∽（2）解：∵ΔABP∽ΔDPE∴ABPD=APDE则y=-12x2+（3）解：当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2，即y则-12解得，x1=1，x∴当AP=1或AP=4时，四边形ABED【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得到根据相似三角形的判定定理证明结论；

（2）根据相似三角形的性质列出比例是计算即可；

（3）根据矩形的判定定理结合一元二次方程计算即可。9．【答案】（1）解：当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形，

∴t＝26﹣3t，

解得，t＝6.5

即当t＝6.5s时，四边形ABQP为矩形；（2）解：当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，

∴18﹣t＝3t，

解得，t＝4.5

即当t＝4.5s时，四边形PQCD为平行四边形．【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据矩形的性质列出方程t＝26﹣3t，求出t的值即可；

（2）根据平行四边形的性质可得18﹣t＝3t，求出t的值即可。10．【答案】（1）解：如图，过点D作DH⊥AB于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB+BC＝20，DC＝x，∴AD=20-x，∵sinA=DHAD∴DH=45AD=4∵△PCD的面积为y．∴y=12∴当x=10时，△PCD的面积的最大值为40．（2）解：如图，连接BD，∵以DC为直径的圆过P、B两点，∴∠DBC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠DCB，∴sin∠DCB=sinA=BDCD=4∴BD=45∴x2=（45x）2+（20-x）2解得：x1=252，x2=50∴CD=252【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，根据AB=CD=x，得到AD=BC=20-x，结合sinA=45，故DH=45AD=45（20-x），可得y=12x⋅45(20-x)=-25(x-10)2+40，即知当x=10时，△PCD的面积的最大值为40；

（2）连接BD，根据以DC为直径的圆过P、B两点得∠DBC=90°，可得sin∠DBC=11．【答案】（1）解：∵四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为(6,0)，(6,8)，∴C点坐标为(0,8)设AC的解析式为y=kx将A(6,0)，C(0,8)代入y6k+解得k=-4则函数解析式为y=-4∵CN=6-∴yP则P点坐标为(6-x,（2）解：∵AM=AO∴SΔAMP∴====23当x=3时，y的最小值为18（3）解：存在.在ΔACB中，PN//AB则BNBC=即x6=解得AP=5又∵AM=6-则有：①ΔAMP∽ΔAOC时，AMAO=APAC，即6-②ΔAPM∽ΔAOC时，APAO=AMAC，即53综上所述，当x=3秒或x=2717秒时以P、A、M为顶点的三角形与【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据题意把点A、C的坐标为(6,0)，(0,8)，代入解析式即可求出AC的解析式从而得出点P的坐标；

（2）根据题意得出SΔAMP=-23x2+4x，y=S四边形OMPC=SΔAOC-SΔAMP=23(x-3)2+18，即可求出结果；

（3）利用平行线分线段成比例得12．【答案】（1）（4，3）（2）解：如图所示，∵点P移动了3秒时的距离是2×3=6，∴点P的坐标为（3，3）（3）解：点P到x轴距离为2个单位长度时，点P的纵坐标为2，若点P在OC上，则OP＝2，t＝2÷2＝1秒，若点P在AB上，则OC+BC+BP＝3+4+（3﹣2）＝8，t＝8÷2＝4秒，综上所述，点P移动的时间为1秒或4秒【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；四边形-动点问题【解析】【解答】（1）解：∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，3），∴OA=4，OC=3，∴点B（4，3）；【分析】（1）利用长方形的性质及点A、C的坐标，就可求得OA、AB的长，再写出点B的坐标。

（2）由点P的运动路线及运动速度，可知点P3秒钟运动了6个单位，因此可知点P此时在AB上，距点B的距离为3，可得到点P的坐标。

（3）根据已知点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标，因此可得点P可能在线段AB上，也可能在线段OC上，分别求出点P的坐标。13．【答案】（1）5（2）解：在长方形ABCD中，AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCE=∠B=90°．∴当BP＝CE时，△ABP≌△DCE，∴1×t＝3．∴t＝3．（3）解：①当∠PDE=90°时，如图①在Rt△PDE中，PD2=PE2-DE2，在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2，∴PE2-DE2=PC2+CD2．∴（9-t）2-52=（6-t）2+42．∴t=23．当∠DPE=90°时，此时点P与点C重合，如图②∴BP=BC=6．∴t＝61=6综上所述，当t=23或t＝6时，△PDE②当PD=DE时，∵PD=DE，DC⊥BE，∴PC=CE=3，∵BP=BC-PC=6-3=3,∴t=31=3当PE=DE=5时，∵BP=BE-PE=BC+CE-PE=6+3-5=4，∴t=41=4当PD=PE时，∴PE=PC+CE=PC+3，在Rt△PDC中，PD2=CD2+PC2，∴(PC+3)解得PC=7∵BP=BC-PC=6-76=296∴t=2961综上所述，当t＝3或4或296时，△PDE【知识点】勾股定理；三角形的综合；四边形-动点问题【解析】【解答】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，CD⊥BC，∵CE=3，在Rt△DCE中，DE=CD2+

【分析】（1）根据题意可得：CD=4，根据勾股定理可求得DE的长；（2）利用全等三角形的对应边BP=CE建立方程求解，即可得出结论；（3）1、分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；2、分PD=DE,PE=DE,PD=PE三种情况讨论，可求t得值。14．【答案】（1）解：由题意得，当点P在线段AB上时，AP＝4t，AQ＝3t，当点P到达边AB的中点时，AP＝2，即4t＝2，解得，t＝12，∴AQ＝32∴PQ＝AQ2+A（2）解：当点P在边AB上时，S＝12×AB×AD﹣12×AP×AQ，＝6﹣6t2（0＜t＜1当点P在边BC上时，CP＝3﹣3（t﹣1）＝6﹣