2023年九年级中考数学 圆 解答题专项训练含解析

2023年中考数学《圆》解答题专项训练一、解答题1．如图，是的弦，半径，点在上，且.求的度数.2．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．3．已知：如图，、为的半径，C、D分别为、的中点，求证：.4．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.5．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E，求证：BC＝EC.7．在汽车车轮修理厂，工人师傅常用两个棱长为a的正方形卡住车轮.如图是其截面图(a小于车轮半径)，量出两个正方形的距离AB的长为2b，就可以得出车轮的直径.请你推求出直径d的公式.8．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算数》中的一个问题，”今有圆材，埋在壁中，不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?用现在的数学语言表述是:如图,CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”.9．在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.截面圆的直径为200cm，若油面的宽AB＝160cm，求油槽中油的最大深度.10．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．11．如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上，AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．12．将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），其表面积增加了多少平方厘米？（取3.14）13．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．14．如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，并说明理由.15．如图，在中，直径与弦相交于点，．（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；（Ⅱ）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点．求的大小．16．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。（1）证明∠EFG=90°．（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。（3）在点F整个运动过程中，①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。②连接EG，若时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。17．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D，连接MD，作∠BNE＝∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB＝20，MD＝14，求则NE的长18．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示）．19．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG•FD.20．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，）．点O（0，0）．△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'、B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，若α＝30°，求点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）在（Ⅱ）中的条件下，若0°＜α＜360°，点C（﹣2，0）．求线段CP长度的取值范围．（直接写出结果即可）

答案解析部分1．【答案】解：∵，为半径，∴，∴.【解析】【分析】先根据垂径定理得到，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.2．【答案】证明：∵∴∴【解析】【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．3．【答案】证明：∵C、D分别为OA、OB的中点，∴OD=OC，∴在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC，∴AD=BC.【解析】【分析】利用SAS可以证出△OAD≌△OBC，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BC.4．【答案】证明：作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD.【解析】【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理可得AH＝BH，根据等腰三角形的性质可得CH＝DH，然后根据线段的和差关系进行证明.5．【答案】解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D，由垂径定理可知：AD＝DB＝AB＝4(cm)，∵圆的直径为10cm，∴DA＝5cm，由勾股定理得：OD＝3(cm)，∵垂线段最短，半径最大，∴OP长度范围为：3≤OP≤5(cm)【解析】【分析】根据垂径定理求出OD长,OP介于OA,OD之间6．【答案】证明：连接AC∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠D是弧BD的中点，，，，∴∠EBC=∠E，∴BC=EC【解析】【分析】连接AC，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°=∠ACE，由圆内接四边形的性质可得∠EBC=∠D，由圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠E=∠D=∠EBC，再根据等角对等边可求解.7．【答案】解：如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB，故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r，在Rt△ODE中，DE＝b，OD＝r，OE＝r﹣a，∴根据勾股定理得：（r﹣a）2+b2＝r2，∴r＝，则d＝2r＝.【解析】【分析】如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，根据切线的性质得出OP⊥AB，根据平行线的性质推出OP⊥CD，根据垂径定理得出E为CD中点，设半径为r，在Rt△ODE中利用勾股定理建立方程，用含a,b的式子表示出r即可推出公式。8．【答案】解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC=x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=×10=5寸，连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x﹣1）2，解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）．故直径CD的长为26寸.【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．9．【答案】解：过作于交于则截面圆的直径为200cm，油面的宽AB＝160cm，所以油槽中油的最大深度为【解析】【分析】过作于交于则由结合勾股定理求解从而可得答案.10．【答案】证明:如图，过点О作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA∵OO与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，О是底边BC的中点，AO是∠BAC的平分线∴OE=OD，即OE是OO的半径这样，AC经过OO的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与OO相切.【解析】【分析】过点О作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA，利用切线的性质可证得OD⊥AB，利用等腰三角形的性质可知AO平分∠BAC，利用角平分线的性质可证得OE=OD；然后根据切线的判定定理，可证得结论.11．【答案】证明：方法一：连接OC，OD，∵AC=CD=DB，,∴，∴，∵，∴，，，，，，，．方法二：连接OC，OD，∵AC=CD=DB，,∴，∴，∵，∴，∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，∴∠CAO=∠AEC，在中，∴∠ACO=∠CAO，∴∠ACO=∠AEC，，，.方法三：连接AD，OC，OD，∵AC=DB，,∴∠ADC=∠DAB，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．【解析】【分析】连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到,再得到它们所对的圆心角相等，证明得到又因为即可证明.12．【答案】解：圆柱截成三段后，表面积增加了4个圆柱的底面圆面积．所以（平方厘米）．答：表面积增加了314平方匣米．【解析】【分析】圆柱截成三段后，表面积增加了4个圆柱的底面圆面积，据此求解即可．13．【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∵＝，∴AB＝AC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据等弧所对的弦相等得AB=AC，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出答案.14．【答案】解：CD=CE.理由：连接OC，∵D、E分别是OA、OB的中点，∴OD=OA，OE=OC，∵OA=OB，∴OD=OE，又∵AC=BC，∴∠DOC=∠EOC，在△OCD和△OCE中，，∴△CDO≌△CEO（SAS），∴CD=CE.【解析】【分析】首先连接OC，由，根据弧与圆心角的关系，可得∠COD=∠COE，又由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，则可利用SAS，判定△COD≌△COE，继而证得结论.15．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴∠C=∴∵直径与弦相交于点，∴∠ADB=90°，又∵∴（Ⅱ）∵∴∠AEC=90°又∵∴∴∵是的切线∴∴【解析】【分析】（Ⅰ）先求出，再求出∠ADB=90°，最后计算求解即可；

（Ⅱ）先求出∠AEC=90°，再求出，最后计算求解即可。16．【答案】（1）证明：连结EG，在正方形ABCD中，得∠C=90°∴EG为⊙O的直径∴∠EFG=90°（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ADF=45°，MN=AD，

∴ND=NF，

∴AN=FM，

∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，

∴∠MFE=∠FAN，

∴△AFN≌△FEM（AAS），

∴FN=AM，EM=FN，

设AN=x,则ND=EM=BM-BE=x-1,

∵AN+ND=4，

∴x+x-1=4,

∴x=,

∴FN=EM=BM-BE=-1=，

∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，

∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，

∴∠EFH=∠IFG，

∴△EHF≌△GIF（AAS），

∴FH=FI，

又∵FH=BH，

∴BH=FI=HC=2,

∴BF=BH=2.

2）当CG=EF时，

∵EF=CG，

∴FG∥EC，

∵∠C=90°，

∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，

∴四边形FECG为矩形，

又∵EF=BE，

∴BF=BE=.

3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，

∵FG=CG，

∴∠FEG=CEG，

∵∠C=∠EFG=90°，

∴∠FGE=∠CGE，

∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，

设EN=x,

则FN=BN=x+1,

∵EF2=FN2+EN2，

∴32=(x+1)2+x2,

解得x=,

则BN=，

BF=EN=.

②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，

△FKG∽△FHE，

∴,

设FH=k,则FK=2k,

∴BH=FH=k,

∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,

∴k=,

∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,

∴∴EG=，

∴r=.【解析】【分析】（1）连结EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90°.

（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x,把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x,则FN可求，于是可求△ADF的面积.

（3）①分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2,于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.

②设FH=k,根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4,求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.17．【答案】解：连接CM，过点M作MF⊥BD于F∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，AB＝20，∴BM=AB=10，AC=BC=20，∠CMB=90°，∠BCM=∠ACB＝45°∵CD⊥BN∴∠CDB=90°∴∠CDB＋∠CMB=180°∴C、M、B、D四点共圆∴∠MDB=∠BCM=45°，∠DCB=∠BMD∴△DMF为等腰直角三角形∵MD＝14，∴MF=DF=14在Rt△BMF中，BF=∴BD=BF＋DF=16∵cos∠CBN=即解得：BN=25∴DN=BN－BD=9∵∠BNE＝∠BNA，而∠DCN＋∠BNA=90°∴∠BNE＋∠DCN=90°∵∠DCN＋∠DCB=90°∴∠BNE=∠DCB∴∠BNE=∠BMD∵∠NDE=∠MDB∴△NDE∽△MDB∴即解得：NE=故答案为：．【解析】【分析】连接CM，过点M作MF⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质求出BM、BC，证出C、M、B、D四点共圆，根据圆周角定理的推论和等腰三角形的判定证出△DMF为等腰直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数求出BD和BN，然后证出△NDE∽△MDB列出比例式即可求出结论．18．【答案】解：设扇形OAB的圆心角为n°弧长AB等于纸杯上开口圆周长：弧长CD等于纸杯下底面圆周长：可列方程组，解得所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即S纸杯表面积【解析】【分析】设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．19．【答案】证明：连结BF、BG.∵在△AEO和△BFO中，，∴△AEO≌△BFO（SAS），∴AE＝BF.又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，∴∠FBD＝90°，又∵BG⊥FD，∴△FGB∽△FBD，∴＝，即＝，∴AE2＝FG•FD.【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证