广东省六校2023届高三第一次联考(理数)

广东省六校2023届高三第一次联考数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则∁ A． B． C． D．2．若复数满足，则的共轭复数的虚部为A． B． C． D．3．记为等差数列的前项和．若，，则 A． B． C． D．4．在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为A． B． C． D．5．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A． B． C． D．6．在△中，为的中点，点满足，则 A． B． C． D．7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是 A． B． C． D．8．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A． B． C． D．9．定义在上的函数满足及，且在上有，则 A． B． C． D．10．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为 A． B． C． D．11．已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 A． B． C． D．12．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若满足约束条件则的最大值为．14．若，则的展开式中常数项为．15．已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为．16．已知函数满足，则的单调递减区间是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．18．（12分）如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（12分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：出厂续驶里程(公里)补贴（万元/辆）344.52023年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2023年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2023年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2023年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2023年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．20．（12分）已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．21．（12分）已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．23．[选修4―5：不等式选讲]（10分）已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题1．A2．C3．D4．B5．D 6．A7．C8．B9．D10．A11．D 12．C二、填空题13．14．15． 16．（注意：写闭区间也给分）三、解答题17．解析：（1）因为，由余弦定理，得，所以……………………2分，由正弦定理，得，……………4分又，，所以，，……………………5分所以．……………………6分（2）由，，得，，……7分所以，………8分由正弦定理，得，……………10分所以△的面积为．……………12分18．解析：（1）在图甲中，易知，从而在图乙中有，平面，平面，平面．……………………4分（2）法一：（传统几何法）略解如下：过点作于，连接，易证（略），即为所求二面角的平面角，易求得：，，，在中，．……………………12分法二：（向量法）如图，在图乙中作,垂足为,连接,由于平面，则,平面,则，图甲中有，又，则、、三点共线．设的中点为,则,可证，，则，又由，得，，于是,，在中,，………………8分作交于点，则．以点为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系，则,,,，则,,是平面的一个法向量，易求得平面的一个法向量,…………10分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．………………12分19．解析：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）344.5概率0.20.50.3……………………3分纯电动汽车2023年地方财政补贴的平均数为(万元)．……………………4分（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；……………………6分可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）；……………8分若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；……………………10分可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)．………………12分20．解析：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，……………………3分由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．……………5分（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．……………6分当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由△得，设、，可得：，，……………………7分，………9分令，则，，，当时，此时，．…………11分综上，弦长的最大值为．……………………12分21．解析：（1）易知，…………1分在上单调递减，，…………3分时，，…………4分在上的值域为．…………5分（2）令，则，……6分=1\*GB3①若，则由（1）可知，，在上单调递增，，与题设矛盾，不符合要求；………………7分=2\*GB3②若，则由（1）可知，，在上单调递减，，符合要求；…………………8分=3\*GB3③若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减，，…………9分，．由题：，即，，即．…………10分且由（1）可知在上单调递减，．…………11分综上，．…………12分22．解析：（1）的普通方程为，…………………2分经过变换后的方程为，此即为曲线的普通方程，……………4分曲线的参数方程为(为参数).…………5分（2）设四边形的周长为，设点，，………6分且，，…………………7分，．…………9分且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.……………10分23．解析：（1）当时，不等式即为，……………1分=1\*GB3①当时，不等式化为，解得；……………2分=2\*GB3②当时，不等式化为，解得；…………3分