工力第12章-弯曲变形

第

12

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖:工程力学1§1

引言

§2

梁变形基本方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的叠加法

§5

简单静不定梁§6

梁的刚度条件与合理设计单辉祖:工程力学2§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角单辉祖:工程力学3弯曲变形及其特点

挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线。

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交。挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴。

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础。单辉祖:工程力学4挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）单辉祖:工程力学5§2梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程单辉祖:工程力学6挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度smax<sp－挠曲轴微分方程单辉祖:工程力学7挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：单辉祖:工程力学8§3计算梁位移的积分法挠曲轴微分方程与边界条件积分法求梁位移

挠曲轴的绘制例题单辉祖:工程力学9挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数单辉祖:工程力学10积分法求梁位移qA

=?EI=

常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)，得计算转角（）单辉祖:工程力学11挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状。单辉祖:工程力学12例题例12-1用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段单辉祖:工程力学133.最大挠度分析（）当a>b

时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段单辉祖:工程力学14§4计算梁位移的叠加法

叠加法

逐段分析求和法例题单辉祖:工程力学15叠加法方法分解载荷分别计算位移求位移之和当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖:工程力学16逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体单辉祖:工程力学17Pwcpwcq求最大挠度f

例12-2求最大挠度f

=?单辉祖:工程力学18例12-3求最大挠度wc和C截面转角θcwcwc单辉祖:工程力学19wcwc11wB2wc2单辉祖:工程力学20例题例12-4图示阶梯形梁，WC=?解：()()()单辉祖:工程力学21例12-5图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA()()解：单辉祖:工程力学22§5简单静不定梁

静不定度与多余约束简单静不定梁分析方法例题单辉祖:工程力学23静不定度与多余约束多余约束

凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3

=

1度静不定5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁单辉祖:工程力学24简单静不定梁分析方法选

FBy

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程1度静不定算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数单辉祖:工程力学25判断梁的静不定度用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程。由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力。通过相当系统计算内力、位移与应力等。依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统注意:相当系统有多种选择单辉祖:工程力学26例12-6图示杆梁结构，已知A=3I/l2，试求杆

BC

的轴力。解：一度静不定单辉祖:工程力学27例题例12-7求支反力解：1.

问题分析2.

解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力单辉祖:工程力学28例12-8悬臂梁

AB，用短梁

DG

加固，试分析加固效果.解：1.静不定分析单辉祖:工程力学292.加固效果分析（刚度）减少50%减少39.9%3.加固效果分析（强度）单辉祖:工程力学30§6梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件

梁的合理刚度设计

例题单辉祖:工程力学31梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处:单辉祖:工程力学32梁的合理刚度设计横截面形状的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是

E

，为提高刚度，宜选用E

较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同单辉祖:工程力学33

梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l

缩短

20％，dmax

将减少

48.8%单辉祖:工程力学34合理安排约束与加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁单辉祖:工程力学35