从数学课程标准修订看课堂教学改革的深化

从数学课程标准修订

看课堂教学改革的深化

一、为何要修订课程标准二、数学课标修订的依据和原则三、数学课标修订的主要方面一、为何要修订课程标准？

基础教育课程改革已走过了10年的历程

2001年,教育部启动了新世纪基础教育课程改革，颁布了义务教育21个学科的课程标准（实验稿）。在实验的基础上，2003年，教育部开始着手课程标准的修订工作。1.修订义教课标是深化

基础教育课程改革的重要任务

10年来，课程改革取得了实质性进展，各学科课程标准在实验过程中接受了实践的检验，取得了丰硕的成果，积累了宝贵的经验。另一方面，这次改革中也存在着需要进一步改进和完善之处。需要通过修改课标不断深化基础教育课程改革

2.通过修改课标，使教育

更好地适应时代发展要求十年来中国社会的巨大变化和科学技术的快速发展，也要求教育理念和课程内容与时俱进，不断更新。在中国教育进入内涵发展的新阶段，修订和完善课标是巩固和发展改革成果，促进教育更好适应时代发展的必然要求。

3.修订义教课标也是落实

《教育规划纲要》的重要举措

《教育规划纲要》对基础教育课程教材建设提出了明确要求:“坚持德育为先”、“坚持能力为重”、“坚持全面发展”、“调整教材内容、科学设计课程难度”、“深入研究、确定不同教育阶段学生必须掌握的核心内容”等一系列任务要求。需要通过修订课标落实这些要求。此次加强了课标修订的专业力量

课程标准修订组专家分布：

中科院、工程院：6人3.8%

科研机构：11人6.7%

高等院校：104人66%

国家机关：3人1.9%

中小学教研人员和教师：28人17.6%

出版单位：6人3.8%

合计人数：158人

（其中：原课程标准研制组专家共68人）研制《数学课程标准》数学课程改革的基础性工作是研制《数学课程标准》，这也是建国以来的第一次。设计—实验—反馈—实施课程改革推进的历程是课程标准从研制到不断修订而最终趋于完善的过程第一线的教师不仅是新课程的实施者，也是新课程的设计者和制定者课程标准与课堂教学的关系

——课程标准作为课程的顶层设计，它与一线的课堂教学有什么样的关系呢？ChongqingNormalUniversity

——课程标准的价值取向、基本理念、目标要求及内容标准必然对教师的教学产生重要影响，并成为教师课堂教学的基本依据。但是：数学课程标准在课堂教学中未得到足够的重视，其应有的功能还未得到很好的发挥。在认识层面：对课标的意义、功能、性质及特点缺乏深入的认识简单的将课程标准等同于教学大纲，以至于不能有效地用课标指导教学在实践层面：许多教师不熟悉课标，甚至只知教材不知课标在实际操作中，课标要求与课堂教学有一定落差搞好数学教学应更深入学习认识数学课程标准，更好地发挥数学课程标准应有的功能。课程标准与教学的关系——教育目标的

层级性及教学内容的规定性一级教育目的二级课程目标三级教学目标教育目标的层级性课程标准内容标准教学内容教学内容的规定性教材二、义务教育数学课程标准修订的依据和原则

以《义务教育法》和《基础教育课程改革纲要（试行）》为指导；以全面推进素质教育，培养学生具有创新精神和实践能力为宗旨；力求准确反映义务教育阶段数学课程的基本特征和在学生培养上的基本规范和要求。

（法律依据、时代要求、课程特征）课标修订的依据2006年6月《义务教育法》正式稿：第三十五条国务院教育行政部门根据适龄儿童、少年身心发展的状况和实际情况，确定教学制度、教育教学内容和课程设置，改革考试制度，并改进高级中等学校招生办法，推进实施素质教育。

学校和教师按照确定的教育教学内容和课程设置开展教育教学活动，保证达到国家规定的基本质量要求。

国家鼓励学校和教师采用启发式教育等教育教学方法，提高教育教学质量。

1.法律依据义务教育数学课程要确保每一个适龄学生达到国家规定的

基本质量要求2.课标修订要体现新的时代要求

2006年，我国提出了建立创新型国家的目标，中央高层频频关注课改，基础教育课程改革与时俱进，其价值取向融入了新的时代要求。

胡锦涛谈“办好人民满意的教育”

全面实施素质教育，核心是要解决好培养什么人、怎样培养人的重大问题，这应该成为教育工作者的主题。

……要全面推进基础教育课程改革，改进培养模式、教育内容、教育方法，激发学生发展的内在动力，……提高学生的创新精神和实践能力。

——2006年8月29日在政治局集体学习时的讲话

胡锦涛在两院院士大会上的讲话：

创新人才的成长“首先要从教育这个源头抓起。要以系统的观点统筹小学、中学、大学直到就业等各个环节，形成培养创新型人才的机制。在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维。”

2006年6月欧盟提出《创建创新型欧洲》（2006）《2004年欧洲创新政策》（2004）《2006年欧洲创新进展报告》（2006）《创新启动之试点优异行动：结果和政策建议》(2003)《服务业之创新：现状问题与趋势》（(2004）《创新管理和知识驱动之经济》（2004）《评价创新计划之实践指南》（2006）

各国发展的竞争就是创新的竞争瑞典:《创新型瑞典：革新促发展战略》

（2003）英国:2003年提出

《全球经济竞争中的创新挑战》《英国竞争力：迈向下一阶段》

创新引领世界

美国长期以来一直是一个创新的家园。这是我们的DNA，与生俱来的领先于时代的对自由的渴望。

——美国教育部：《回应变革世界之挑战》

新精神是决定美国在21世纪获得成功的唯一最重要因素……创新精神一直深深地植根于美国的国家精神之中……我们美国人一旦停止创新,就不再是真正的美国人。

——美国竞争力委员会：《创新美国》

美国：美国中学生发现神秘火星洞穴:或存原始生命

2010-06-23

据报道，来自美国加州科顿伍德“常青中学”的16名7年级学生，通过研究美国宇航局“火星奥德赛”探测器拍摄的火星照片，在老师组织的科学课上发现了火星上一个神秘洞穴。据了解，这些学生参加了火星学生图像研究计划(MSIP)，可通过探测器观测火星表面的熔岩洞结构。这项学习计划是培养学生们探究天文知识的有效途径。中学生的创新国际学术刊物首次

刊登小学生的科研论文2010.12.22新华社快讯：英国的一群小学生通过正常的评审程序，在英国皇家学会主办的刊物上发表了有关大黄蜂的研究论文。美国的一份数学教育研究报告2008年3月13日，美国教育部长玛格丽特·斯百林（MargaretSpellings）在新闻发布会上宣告，“国家数学咨询小组”（NationalMathematicsAdvisoryPanel）的报告正式发表。

美国报告的标题：

为了成功打好基础FoundationsforSuccess

NationalMathematicsAdvisoryPanel

FinalReport,March2008

主要观点：在20世纪的绝大多数时间内，美国在数学领域的优势地位无可撼动……甚至是在对民众所进行的数学教育的广度上，美国的优势地位都是当仁不让的。然而，如果不对我们的数学教育体制进行一些必要的持续改革，我们将会在21世纪丧失这一优势地位。本报告旨在探讨所必须采取的一些行动以增强美国民众在这一关键学习领域的能力。这些行动的重要意义一般是从国家的角度来谈的奥巴马政府对数学教育的重视2009年7月24日，启动“竞争卓越”（RaceTotheTop)计划，提供40多亿美元资助各州改革教育，以推动中小学数学和科学等学科的教育水平2010年6月2日，出台美国首部《州共同核心课程标准》美国《州核心数学课程标准》CommonCoreStateStandardS

for

mathematics

强调各州数学教学的统一性，重视对概念的理解和数学应用能力的培养。全美州长协会副会长道格拉斯（Douglas）：

“为了确保美国的竞争力，我们需要为我们的所有学生做好跟全世界的学生竞争的准备。”“统一标准能够让我们的学生提升竞争力。”

钱学森的质疑：为什么现在我们的学校总是培养不出杰出人才？

温总理的忧虑：应该肯定，新中国成立６０年来我国教育事业有了很大发展，无论是在学生的就学率还是在教育质量上，都取得了巨大成绩，这些成绩是不可磨灭的。但是，为什么社会上还有那么多人对教育有许多担心和意见？应该清醒地看到，我们的教育还不适应经济社会发展的要求，不适应国家对人才培养的要求。

(2009.9.4.)

温总理的讲话(2009.9.4.)从国内外的比较看，中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏。这应该引起我们深入的思考，也就是说我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。应该说，我们早就看到了这些问题，并且一直在强调素质教育。但是为什么成效还不够明显？我觉得要培养全面发展的优秀人才，必须树立先进的教育理念，敢于冲破传统观念的束缚，在办学体制、教学内容、教育方法、评价方式等方面进行大胆地探索和改革。

温总理2011.6.17日在北京师范大学

首届免费师范生毕业典礼上的讲话

善之本在教，教之本在师……教育既是科学也是艺术，希望你们重视培养学生的想象能力，创新能力，激发学生兴趣，创造有利于个性发展的氛围。

加强基础教育课程建设的新举措：为进一步加强基础教育课程教材管理和制度建设，教育部2010年4月14日成立了“基础教育课程教材工作领导小组”、“国家基础教育课程教材专家咨询委员会”和“国家基础教育课程教材专家工作委员会”3个机构。政治局委员刘延东

在机构成立大会上的讲话加强课程教材建设，是建设创新型国家和人力资源强国的基础工程。加强课程教材建设，是全面贯彻党的教育方针和全面推进素质教育的重要保障

加强课程教材建设，是推进教育现代化和教育公平的重要内容。2010年4月12日《教育中长期发展规划》

巩固提高九年义务教育水平。义务教育……是教育工作的重中之重。注重品行培养，激发学习兴趣，培育健康体魄，养成良好习惯。到2020年，全面提高普及水平，全面提高教育质量，基本实现区域内均衡发展，确保适龄儿童少年接受良好义务教育提高义务教育质量。建立国家义务教育质量基本标准和监测制度。严格执行义务教育国家课程标准、教师资格标准。深化课程与教学方法改革概括起来看，适应时代

要求，课标修订要特别关注：课程改革的核心是人才培养模式变化要加强对学生创新精神和实践能力的培养要以课程为载体实实在在推进素质教育要体现教育的均衡、公平，要为所有学生提供良好的教育3.数学课标修订要反映义务教育阶段的课程要求

力求准确反映义务教育阶段数学课程的基本特征和在学生培养上的基本规范和要求。1.坚持课改的大方向

坚持课程改革的大方向，为促进学生全面发展，推进课程改革和素质教育而不断完善《标准》课标修订原则2.重视实践与调查：

本次修改的基础是课程改革实施几年来的实践和调查研究的结果，要认真总结经验，加强调查研究，慎重而稳妥地展开相应的工作。3.要有实事求是的态度：

本着实事求是的态度认真对待各方面所反映的情况、问题和建议，充分讨论，认真分析，平等对话，求同存异，依靠集体的力量解决修改中的难点问题。

4.加强课标可操作性：力求加强《标准》在课程实施中的可操作性。通过修改，使《标准》更加准确、规范、明了、全面；更适合于教材编写、教师教学和评价。5.处理好四个关系：注意用科学、辩证的态度处理好数学课程内容及教学中的一些基本关系。如：

重视过程与关注结果教师讲授与学生自主面向全体与因材施教生活化情境化与知识系统性此外，还有直观形象与抽象思维、合情推理与演绎推理等的关系。三、数学课标修订的主要方面:

1.关于前言和基本理念2.关于设计思路3.关于课程目标4.关于课程内容5.关于课程实施

1.关于前言和基本理念的修改（在前言中增加了课程性质的描述、修改、丰富了基本理念的一些提法）《前言》增加了对数学课程性质的表述数学课程的性质表述为，“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。”基本理念反映出我们对数学、数学课程、数学教学以及评价等方面应具有的基本认识和观念、态度，它是制定和实施数学课程的指导思想。《标准》中的每一部份内容都要贯穿基本理念的思想和要求。同时，教师作为课程的实施者，更应自觉树立起正确的数学观、数学课程观、数学教学观等数学教育观念，并用以指导自己的教学实践活动。什么是课程的基本理念？关于基本理念的修改在结构上由原来的6条改为5条，将原《标准》第2条关于对数学的认识整合到理念之前的文字之中，新增了对课程内容的认识，此外，将“数学教学”与“学生学习”合并为数学“教学活动”。

关于基本理念的修改原课标：

数学课程数学数学学习数学教学评价信息技术修改后：

数学课程课程内容

教学活动学习评价信息技术关于数学观

——如何认识数学原课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具……数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。课标修改稿：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具

……数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养

要发挥数学在培养人的（理性）思维能力和创新能力方面的不可替代的作用

两种表述谁更好？（调研中的意见）应进一步研究和提炼关于数学的意义与性质的阐述。理由：两个《标准》第一句话变化太大。《实验稿》的表述太长，且定位于一个“过程”，使人们难于理解。《修订稿》“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。保留了初中《大纲》对数学意义的表述。这种表述，一方面不能反映小学阶段数学教育的内容和要求。另外，也不能充分反映现代数学科学的应用特征。（河北省等）两种表述结合起来更好通过静态表述，揭示学科内涵是一种传统规范，也与高中课标协调将数学视为一种活动、一种过程，今天来看也是很主流的数学哲学观，动态表述能很好支撑注重过程的数学新课堂静态与动态结合，有利于辩证看待数学的本质，树立正确的数学观和数学教学观

体现数学课程核心理念的三句话:人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展

树立正确的课程观

关于“人人都能获得良好的数学教育”

与过去的提法相比：

出发点不变（人人、不同的人）；有更深的意义和更广的内涵；落脚点是数学教育而不是数学内容；体现了更强的时代精神和要求（公平的、优质的、均衡的、和谐的教育）。何谓“良好的数学教育”？良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育良好的数学教育是全面实现育人目标的教育良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育良好的数学教育是使学生能可持续发展的教育

良好的数学教育需要

在各个维度上体现提出“良好的数学教育”需要我们重新审视数学课程的目标、内容，也需要我们在课堂教学实施中寻找切入点！“不同的人在数学上

得到不同的发展”体现了数学教育中对人的主体性地位的回归与尊重需要正视学生的差异，尊重学生的个性，促成发展的多样性

“不同的人在数学上得到不同的发展”本质上应促进学生更好地自主发展

理念中新增加的提法：课程内容要处理好三个关系有效的教学活动是什么

数学教学活动的本质要求培养良好的数学学习习惯注重启发式正确看待教师的主导作用处理好评价中的关系注意信息技术与课程内容的整合课程内容要处理好三个关系：

课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。

我们需要什么

样的数学教学？

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学活动的本质是什么？树立正确的数学教学观什么是数学课堂教

学中最需要做的事？数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。改变人才培养模式要从这些方面入手！第一次提出

“培养学生良好的数学学习习惯”《标准》在“情感与态度”目标中提出：

“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。”什么是学习习惯？

为什么要提出培养学习习惯？学习习惯指在长期的学习中逐渐养成的、较稳固的学习行为、倾向和习性。之所以提出数学学习习惯，一是因为在长达九年的义务教育学习阶段，一个人在学习上的习惯总是处于不断的养成过程中，它是与学习行为相伴而行的，客观存在的。

在日常教学中刻意诱导，潜移默化，点滴

积累，通过长时间的磨练，方能习以为常。

二是良好的数学学习习惯具有很强的心理内驱力和学习目标达成的惯性力，它有利于学生通过自主学习形成学习的正向迁移，提高学习效率三是良好的数学学习习惯能帮助学生逐步实现由“学会”到“会学”的转变，使学生今后在适应终身学习上受益。原课标：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。原课标：“对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平。更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”

应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。树立正确的评价观如何看待信息技术的运用？数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式2.关于设计思路的修改学段划分保持不变对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词对四个学习领域的名称作适当调整对课程内容中的若干核心概念作适当调整，对其意义作更明确的阐释核心概念课程目标的行为动词及水平：《标准》使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平，使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度。这些词的基本含义如下。了解：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。

在标准中，使用了一些词，表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系如下：（1）了解，同类词：知道，初步认识；（2）理解，同类词：认识，会；（3）掌握，同类词：能。（4）运用，同类词：证明。（5）经历，同类词：感受、尝试。（6）体验，同类词：体会。对四个学习领域名称的修改：

——总称呼改为课程内容的四个部分原课标：数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用修改后：数与代数图形与几何统计与概率综合与实践主要的关键词：

——现称为“核心概念”原课标：数感符号感空间观念（6个）统计观念应用意识推理能力修改后：数感符号意识运算能力（10个）模型思想空间观念几何直观推理能力数据分析观念应用意识创新意识关于《标准》中10个核心概念的分析核心概念有何意义？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体——学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。第二，《标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。第三，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。所以，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。核心概念之一：数感

——存在数感吗？（1）两个实例给人的启示：实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的《2009年国民经济和社会发展统计公报》显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分实例二：一老师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢？老师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的2

的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸引力的学习环境这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且老师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。32（2）何为数感？“数感”一词的英文表述为“NumberSense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。一些关于数感内涵的说法其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”其二，认为数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的《标准》关于数感的提法此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。（3）关于学生数感的培养

首先要重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。《标准》在第一学段目标中明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”应结合每一学段的具体教学内容，

逐步提升和发展学生的数感。比如在二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。紧密结合现实生活

情境和实例，培养学生的数感

现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如《标准》所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”情境

与数感

比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮编号、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义。如下的一个问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断的重要：火车票上车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，1~98次为特快车，101~198次为直快车，301~398次为普快车，401~598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？让学生多经历有关数的

活动过程，逐步积累数感经验

在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如，组织学生参加调查活动，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你上学大约要多少时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。核心概念之二：符号意识符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更体现数学的方法数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，明确性，可操作性，此外数学符号还具有简略性和通用性等特点数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果，所以它不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念（1）何为符号意识？所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统符号意识（Symbolsense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。符号感为何改为符号意识？符号感（SymbolSense）原课标：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”

虽然英文单词一样，但改

动后中文意义有所不同修改稿：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”符号感与数感都用“感”，“感”的表述过多符号感主要的不是潜意识、直觉符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题（2）对符号意识的理解《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律这个要求有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂，由相对具体到相对抽象的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图像等等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。比如这样一个例题：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。1,1,2；1,1,2；，，；A,A,B；A,A,B；，，；□，□，；□，□，；，，；通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以《标准》的这一要求是希望在各学段学习中，都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。使学生理解符号的使用是数学表

达和进行数学思考的重要形式

数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养符号意识，发展学生数学表达能力成为当今课堂关注的目标。比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间是呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，举一个简单的例子：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”

如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。（3）关于符号意识的培养

在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识结合现实情境培养学生的符号意识在数学问题解决过程中发展学生的符号意识

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中促进学生符号意识得到提高。核心概念之三：空间观念

（1）发展空间观念的意义数学家阿蒂亚（M．Atiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。全美数学教师理事会在《美国学校数学课程与评价标准》提到，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造，因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先要对自己的创造物进行想象，然后可能是模型的构建，这里的模型包括图形和实物，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程。空间观念和空间想象力在这个过程中起着至关重要的作用。

（2）《标准》中空间

观念所包含的内容《标准》中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。《标准》是从四个方面加以刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。核心概念之四：几何直观

——此次新增的核心概念（1）对几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。（2）《标准》中几何直观的含义

在高中数学课程标准（试验稿）中，也关注了几何直观：“运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”义务教育《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”（3）几何直观的培养使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。

美国课标3—5年级的案例：假如你是珠宝商。你为人加工戒指三次，分别获得了如下多的金子：

1.14克0.089克0.3克现有一金器加工活，不知这些金子是否够，和你同组同学算算金子有多少？并说明理由。学生交流的几种方法

交流应包括分享思考、提出问题以及解释和明确想法，它应该是课堂教学环境不可分割的一部分。要求学生用画图和文字说明思考过程：

约瑟吃了1/2的比萨饼；

埃拉吃了另一个比萨饼的1/2；

约瑟说他吃得比埃拉多，但埃拉说他吃得同样多。用画

图和文字说明约瑟可能是对的。重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。

学会从“数”与“形”两个角度认识数学数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。核心概念之五：数据分析观念

——由统计观念改为数据分析观念（1）数据分析观念的意义及含义可能有人会认为：统计不就是计算平均数、画统计图吗？这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要花那么多精力学习吗？确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数、画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，它们也远非统计的核心。在义务教育阶段，学生学习统计与概率的核心目标是发展“数据分析观念”，这是一种需要在亲身经历过程中培养出来的对数据的“领悟”——由一组数据所想到的、所推测到的，以及在此基础上，对于统计与概率独特的思维方法和应用价值的认识。原课标：统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。

数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，数据分析是统计的核心（2）对数据分析观念要求的分析

在上述表述中，点明了两层意思：第一，统计的核心是数据分析。数据是信息的载体，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。第二，点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。这三个方面也正体现了统计与概率独特的思维方法。了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”《标准》中对于案例38的说明：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势”，因此需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，统计学对结果的判断标准是‘好坏’”，而不是“对错”。例38对全班同学身高的数据进行整理和分析（2学段）通过数据分析体验随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。例.利用树叶的特征对树木分类

（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如每种树选10片树叶。（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。（4）验证估计的结果。[说明]我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。本活动适用三学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。

这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。教学中可以作如下设计：（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。（2）为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一些。（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长和宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。（4）取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大概等于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。（可引导学生探索方法）这个问题可以举一反三。核心概念之六：运算能力

——此次增加的核心概念

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。（1）标准对运算能力的要求《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。（2）对运算能力的认识根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。核心概念之七：推理能力

（1）推理能力的含义推理在数学中具有重要的地位。诚如《标准》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中……推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。《标准》强调了合情推理和演绎推理（2）推理能力的培养

推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中这里的“贯穿整个数学学习过程”应该有这样几层含义：其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程其三，它应贯穿于整个数学学习的环节也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展通过多样化的活动，培养学生的推理能力反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（一学段）“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（二学段）“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）教师要认真体会《标准》所提出的这些要求，针对学生推理能力的培养，在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动途径。使学生多经历

“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。核心概念之八：模型思想模型思想是此次新增的核心概念。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于数学模型的相关提法会在《标准》的多个部分出现。特别的，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容紧密关联。作为第一线教师应对《标准》中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。（1）对数学建模的认识所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。广义与狭义？这种结构有两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。对数学模型可以从两个层次上去理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：观察实际情境发现提出问题抽象成数学模型得到数学结果可用结果检验合乎实际不合乎实际修改

这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。

（2）《标准》中模型思想的含义及要求模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。使学生体会和理解数学与外部世界的联系是这一核心概念的本质要求《标准》从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到培养。（3）模型思想的培养

模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟比如在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式；在三学段，主要是结合相关概念学习，引导学生运用函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于日常教学之中，使学生经历“问题情境——建立模型

——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。通过数学建模改善学习方式数学建模不同于单纯的数学解题，它是一个综合性的过程。这一过程所具有的问题性、活动性、过程性、搜索性等特点给学生数学学习方式的改善带来了很大的空间。小课题学习方式。让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成以后最后提交课题研究报告。基于数学建模的小课题研究针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平，但不管何种层次和水平，关键是要引导学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察，提出研究课题。通过数学建模改善学习方式协作式学习方式。在数学建模中可以小组为单位在组内进行合理分工，协同作战，培养学生的合作交流能力。开放式学习方式。这里的开放是多种意义的，如打破课内课外界限，走入社会，进行数学调查；充分利用网络资源，收集建模有用信息；鼓励对统一问题的不同建模方式等等。信息技术环境中的学习方式。充分利用计算机的计算功能、图形实现功能、特有软件包的应用功能等，寻求建模途径，提高数学建模的有效性。核心概念之九：应用意识应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。核心概念之十：创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。3.关于课程目标的修改

在目标的结构上仍按：总体目标总体表述知识技能数学思考问题解决情感态度学段目标第一学段第二学段第三学段（1）目标上有哪些变化？

在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。

变化之一：明确提出四基，即“基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想”变化之二：针对创新精神和实践能力的培养，明确提出“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”变化之三：针对了解知识的来龙去脉，明确提出“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”变化之四：对于情感态度的培养，进一步明确“了解数学的价值,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯”变化之五：针对学科精神的培养，明确提出“具有初步的创新意识和科学态度”数学课程总目标有那些新变化？“解决问题”改为“问题解决”——目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述——学段目标的表述方式有所改变（2）对几个新目标点的分析目标点一：“四基”从“双基”到“四基”

——对数学教学有何意义？对传统课程的反思：“双基”是我国数学教学的优势所在，但它是否就是数学课程价值的全部？传统意义下的“双基”需要与时俱进理解

我在《数学教育的价值》一书中系统阐述了数学课程应有的价值观。对传统课程的反思：在“双基”与能力或“双基”与数学素养之间似乎还缺少一些什么东西？数学素养最核心的要素有哪些呢？如何才能形成数学智慧呢？如何能从课程目标上支撑创新精神和实践能力的培养呢？一个观点：“创新能力的基础依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要.关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经验的积累”,大概还差得很多;关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分.那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识。”

（史宁中2007年第46卷第5期数学通报)

）何为数学基本思想？德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯.劳厄：

“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命什么是数学学习中最本质的东西？波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发现作用，使他们受益终生。”

数学思想有哪些？

—可以讨论的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，《数学思想概论》第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。何为数学基本思想？数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机…等。如何理解？三个常用的概念：

数学思想数学方法数学思想方法注意教材中蕴含的数学基本思想在课程内容和教材中，数学基本思想其实是很丰富的，这些思想常常处于潜形态，教师要成为有心人感悟数学基本思想：通过情境体会圆的数学意义估计与猜测—逐步逼近的思想剪一剪体会无限的思想拼一拼—转化的思想多种转化的方式归纳思想

归纳出一般结论

如何使数学思想从潜形态转变为显形态呢？

※分类

※化归

※归纳

经验与思想？R.柯朗H.罗宾：

“只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？”

什么是数学活动经验?

黄翔《获得数学活动经验应成为

数学课堂教学关注的目标》

——《课程.教材.教法》2008.1期

数学活动经验的基本特征：数学活动经验是基于学习主体的，它带有明显的主体性特征，因此也就具有学习者的个性特征，它属于特定的学习者自