有限元法与程序-空间问题和轴对称问题

第3章空间问题和空间轴对称问题§3.1空间问题四面体常应变单元单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。§3.1空间问题四面体常应变单元单元结点位移向量位移函数1、位移模式

将上式中第1式应用于4个结点，则由此可解出代定常数a1~a4再回代得到:

编号约定：当沿i,j,m的方向转动时，p在大拇指所指的方向采用同样的方法，可得单元位移：

2、单元应变将单元中位移代入上式常量3、单元应力弹性矩阵[D]:代入单元应变计算公式，整理后：其中[S]为应力矩阵，且：常量其中4、单元刚度矩阵分块矩阵的形式

式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵：5、等效结点荷载两种常见荷载移置后的结果:

均质单元的自重分配到四个节点的等效节点力，其数值都等于ρV/4，其中ρ是密度，V是单元的体积。

体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式相似，可以采用静力等效原则简化计算。设单元e的某一表面，例如ijm是物体的边界表面，承受平面分布荷载，它在i、j、m三个节点处的强度分别为Psi,Psj,Psm,则分配到结点i的等效节点力的数值为式中，Δijm为三角形ijm的面积，方向均为与原分布荷载的方向平行。§3.2空间轴对称问题三角形截面环单元在工程上有许多机械零件，例如高压厚壁容器、汽轮机转子、活塞、气阀等，它们的几何形状和所受的载荷和约束都是轴对称的，这类问题称为空间轴对称问题。对空间轴对称问题，常采用圆柱坐标系。r表示径向坐标，z表示轴向坐标，任一对称面为rz面。在有限元分析时，可采用轴对称的环形单元进行。环形单元可以是任何平面单元，本节以三角形单元为例。1、位移模式轴对称问题的环向位移恒等于零，径向r位移与轴向z位移不等于零。对于图示情形，依照平面问题的三角形单元分析，取位移模式为代入结点位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得

x->r,y->z其中形函数：单元中位移2、单元应变根据弹性力学理论，空间轴对称问题的几何方程为将u,w表达式代入上式，整理后得其中显然，[B]矩阵中的环向正应变含有变量r，z，因此它不是常数矩阵，即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。3、单元中应力根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系为弹性矩阵:单元中任意一点的应力：其中为简化计算和消除对称轴上由于r=0所引起的麻烦，当单元较小时，可把各个单元中的r，z近似看作常数，并且分别等于各单元形心的坐标，即这样，就可把各个单元近似地当作常应变单元。4、单元刚度矩阵由于被积函数与θ无关，故在三角形截面的环单元的积分可简化为在三角形截面上的积分。故有：

单元刚度矩阵[k]的分块形式其中的近似子矩阵为5、等效结点荷载类似平面问题。对于作用于三角形环单元上的体积力、离心力、表面力的等效结点力为：体力§3.2空间轴对称问题三角形截面环单元离心力：面力：特殊情况（1）均布表面力设单元ij边上作用均布表面力，其集度为l当ri=rj时，静力等效原则(2)三角形分布表面力沿单元ij边作用了三角形分布的表面力，表面力在i点集度为

当ri=