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文档简介
第3章空间问题和空间轴对称问题§3.1空间问题四面体常应变单元单元为块体形状。常用单元:四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。(2)结点位移3个分量。(3)基本方程比平面问题多。3个平衡方程,6个几何方程,6个物理方程。§3.1空间问题四面体常应变单元单元结点位移向量位移函数1、位移模式
将上式中第1式应用于4个结点,则由此可解出代定常数a1~a4再回代得到:
编号约定:当沿i,j,m的方向转动时,p在大拇指所指的方向采用同样的方法,可得单元位移:
2、单元应变将单元中位移代入上式常量3、单元应力弹性矩阵[D]:代入单元应变计算公式,整理后:其中[S]为应力矩阵,且:常量其中4、单元刚度矩阵分块矩阵的形式
式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵:5、等效结点荷载两种常见荷载移置后的结果:
均质单元的自重分配到四个节点的等效节点力,其数值都等于ρV/4,其中ρ是密度,V是单元的体积。
体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式相似,可以采用静力等效原则简化计算。设单元e的某一表面,例如ijm是物体的边界表面,承受平面分布荷载,它在i、j、m三个节点处的强度分别为Psi,Psj,Psm,则分配到结点i的等效节点力的数值为式中,Δijm为三角形ijm的面积,方向均为与原分布荷载的方向平行。§3.2空间轴对称问题三角形截面环单元在工程上有许多机械零件,例如高压厚壁容器、汽轮机转子、活塞、气阀等,它们的几何形状和所受的载荷和约束都是轴对称的,这类问题称为空间轴对称问题。对空间轴对称问题,常采用圆柱坐标系。r表示径向坐标,z表示轴向坐标,任一对称面为rz面。在有限元分析时,可采用轴对称的环形单元进行。环形单元可以是任何平面单元,本节以三角形单元为例。1、位移模式轴对称问题的环向位移恒等于零,径向r位移与轴向z位移不等于零。对于图示情形,依照平面问题的三角形单元分析,取位移模式为代入结点位移后,可解出a1-a6,再代入上式,得
x->r,y->z其中形函数:单元中位移2、单元应变根据弹性力学理论,空间轴对称问题的几何方程为将u,w表达式代入上式,整理后得其中显然,[B]矩阵中的环向正应变含有变量r,z,因此它不是常数矩阵,即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。3、单元中应力根据弹性力学理论,空间轴对称问题的应力-应变关系为弹性矩阵:单元中任意一点的应力:其中为简化计算和消除对称轴上由于r=0所引起的麻烦,当单元较小时,可把各个单元中的r,z近似看作常数,并且分别等于各单元形心的坐标,即这样,就可把各个单元近似地当作常应变单元。4、单元刚度矩阵由于被积函数与θ无关,故在三角形截面的环单元的积分可简化为在三角形截面上的积分。故有:
单元刚度矩阵[k]的分块形式其中的近似子矩阵为5、等效结点荷载类似平面问题。对于作用于三角形环单元上的体积力、离心力、表面力的等效结点力为:体力§3.2空间轴对称问题三角形截面环单元离心力:面力:特殊情况(1)均布表面力设单元ij边上作用均布表面力,其集度为l当ri=rj时,静力等效原则(2)三角形分布表面力沿单元ij边作用了三角形分布的表面力,表面力在i点集度为
当ri=
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