第4章09 正弦交流w

第4章正弦交流电路4.2正弦量的相量表示法4.4电阻、电感与电容元件串联交流电路4.1正弦电压与电流4.7交流电路的频率特性4.8功率因数的提高4.5阻抗的串联与并联4.3单一参数的交流电路4.9非正弦周期电压和电流1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；本章要求2.理解电路基本定律的相量形式及阻抗；

熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图；3.掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；5.了解提高功率因数的意义和方法。交流电的概念交流电是指大小和方向都随时间做周期性变化的电压或电流。记做：u(t)=u(t+T)4正弦交流电路

4.1

正弦电压与电流正弦量：

随时间按正弦规律做周期变化的量。Ru+_-_iu+_正弦交流电的优越性

正半周负半周Ru+_正弦交流电路是指激励和响应都是随时间按正弦规律变化的线性电路。正弦交流电的正方向正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的参考方向，然后才能用数字表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti正弦交流电的正方向iuR用小写字母表示交流瞬时值4.1

正弦电压与电流设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置Im2TiO4.1.1频率与周期周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：每秒变化的弧度

（rad/s）频率f：每秒变化的次数

（Hz）TiO*电网频率：

中国50Hz美国

、日本60Hz小常识*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：30kHz-3×104MHz4.1.2幅值与有效值幅值：Im、Um、Em幅值必须大写,下标加m。瞬时值：u、

i、

e瞬时值必须小写有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。用大写字母表示，如

U、I、E交流直流热效应相当有效值概念则有同理：有效值必须大写

交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值适用于周期性变化的量注意：交流电压、电流表测量数据为有效值问题与讨论

电器~220V最高耐压=300V

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用！有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压

给出了观察正弦波的起点或参考点。:４.1.3初相位与相位差相位：初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

iO通常用小于180O角度表示(-180度+180度)如：电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：电压滞后电流>0=0<0电压与电流同相uiuiωtO电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtuiOuiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO

例1在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为u=200sin(1000t+200°)

V,i=-5sin(314t+30°)

A,试求两个正弦量的三要素。解(1)u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V所以电压的振幅值Um=200V,角频率ω=1000rad/s,初相u=-160°。(2)i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-150°)A，所以电流的振幅值Im=5A,角频率ω=314rad/s,初相i=-150°。例2：已知求u和i的初相及两者间的相位关系。解：所以电压u的初相角为-125°,电流i的初相角为45°。表明电压u滞后于电流i170°。

例3：分别写出图3.6中各电流i1、i2的初相位,并说明i1与i2的相位关系。表明i1于i2

90°。解(a)由图知,(b)由图知，表明i1于。滞后超前

,u2的初相为表明u1滞后于u2150°。

例4：已知试分析二者的相位关系。=120°-(-90°)=210°解：

u1的初相为u1和u2的相位差为:表示为将③超前与滞后是指时间上的而不是空间上的。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO②不同频率的正弦量比较无意义。4.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式波形图

１.正弦量的表示方法重点必须小写相量和相量图uO2.正弦量可用旋转有向线段表示有向线段长度=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。有向线段与横轴夹角=初相位u=Umsin

(wt+

)Umwtω+j+1Abar03.正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:(2)三角式复数(3)指数式

可得:

(4)极坐标式由欧拉公式:复数相加减矢量图(2)复数的乘除法

(1)复数的加减法复数的四则运算相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角电压的有效值相量设正弦量:相量:电压的幅值相量相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：表示正弦量的复数称相量相量符号包含幅度与相位信息，不能反映。有效值相量Um&最大值相量U&相量图①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:⑥“j”的数学意义和物理意义设相量+1+jo？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例1:

将u1、u2

用相量表示+1+j例2:已知有效值I=16.8A求：解：

例3.

已知工频条件下,两正弦量的相量分别为试求两正弦电压的解析式。解:所以10V由于例4:图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：试求uAB，并画出相量图。NCANB+–++-+–––解:(1)用相量法计算：

(2)相量图由KVL定律可知一、电阻电路根据欧姆定律

u=iRu=Ri=R

Imsinwt

i=Imsinwt

=√2I

sinwt

设则Ru+_4.3单一参数的交流电路4.3.1电阻元件的交流电路1.频率相同2.相位相同1.电流、电压的关系与直流电路相同U&I&相量图i=Imsinwt

=√2I

sinwt3.

有效值关系：U=IR5.

相量关系：&U=IR&4.3.1电阻元件的交流电路相位差：4.相量式：u=Ri=R

Imsinwt=2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu频率加倍瞬时功率在一个周期内的平均值大写(2)平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。与直流电路相同

基本关系式：①频率相同②有效值

U=IL

③电压超前电流90相位差1.电压与电流的关系4.3.2电感元件的交流电路设：+-eL+-LuωtuiiO或则:感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL

感抗感抗只对正弦波有效。感抗XL是频率的函数可得相量式：则：O电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前④.相量关系有效值：I=U/LU=IjLI=U/jL复数符号：？u、i相位不一致！4.3.2电感元件的交流电路2.功率关系(1)瞬时功率

储能p<0+p>0分析：瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件。iuopo可逆的能量转换过程iuL电压电流实际方向p为正弦波，频率加倍(2)平均功率（有功功率）L是非耗能元件结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。Q=UI=I2XL

=U2/XL

无功功率Q：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。p=iu=2UIsinwt·coswt

=UI·sin2wt因为：所以：(3)无功功率Q单位：var瞬时功率

：例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源

f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时（2）当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性练习题：1.一只L=20mH的电感线圈，通以的电流求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无功功率。Q=UI=I2XL

=U2/XL=5*31.4=157var解（1）（2）（3）

基本关系式：则：4.3.3电容元件的交流电路uiC+_设：1.电流与电压的关系①频率相同②电流超前电压90相位差iuiu或则:容抗（Ω）定义：所以电容C具有隔直通交的作用

XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗③有效值

I=UC

容抗XC是频率的函数可得相量式则：O由：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前④.相量关系2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。uiou,i电压电流实际方向uiC+_p为正弦波，频率加倍同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：以电流为参考量时电容性无功功率取负值电感性无功功率取正值指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电阻电路中：在电感电路中：在电容电路中：【练习】例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流已知：C＝1μF求：I、iV瞬时值i领先于u90°电流有效值1.单一参数电路中的基本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。2.单一参数电路中复数形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律3.单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i同相0LC设则则u领先i90°00基本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°设：则(1)瞬时值表达式根据KVL可得：为同频率正弦量1.电流、电压的关系4.4RLC串联的交流电路LCuRuLuCiuR(2)相量法设（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式令则阻抗复数形式的欧姆定律根据Z：实部为“阻”虚部为“抗”容抗感抗

总之：在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。阻抗单位是欧姆ΩZ是一个复数计算量，但并不是相量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。Z=R+j(XL－XC)结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。IUZ=说明电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC时，

>0，u超前i呈感性当XL<XC时，

<0，u滞后i呈容性当XL=XC时，=0，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。Z和电路性质的关系假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能确定！

当ω不同时，可能出现：

XL>

XC，或XL<

XC,或XL=XC。LCURULUCIUR.....2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_由相量图可求得:2)相量图由阻抗三角形：电压三角形阻抗三角形Z=R+jX阻抗电抗2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P（有功功率）单位:WP=URI平均功率P与总电压U、总电流I间的关系：

其中：总电压总电流u与i的夹角UR=UcosjP=URI=UIcosjcos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。所以:电阻消耗的电能(3).无功功率Q：Q

=QL

+QC

=ULI+（-UCI）

（

UL

-UC

）I=UIsinj总电压总电流u与i的夹角（

XL

-XC

）I2单位：var电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。

？在RLC串联电路中LCURULUCIUR.....正误判断？而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，在ＲＬＣ正弦交流电路中？？？？？在RLC

串联电路中，假设？？？正误判断在RLC串联电路中假设？？？？正误判断在RLC串联电路中，？？？？？设例1：已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，解：(1)(2)方法1：各部分电压的有效值与瞬时值方法1：通过计算可看出：而是(3)相量图或呈容性或(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。方法2：复数运算解：例2：已知:在RC串联交流电路中，解：输入电压(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系(2)当将电容C改为时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。RC+_+_方法1：(1)大小和相位关系比超前方法2：复数运算解：设RC+_+_方法3：相量图（2）c=20uF解：设（3）f=4000HZ大小和相位关系比超前解：比从本例中可了解两个实际问题：(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使

)(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或f都可达到移相的目的。RC+_+_思考RLC+_+_+_+_1.假设R、L、C已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？2.RLC串联电路的是否一定小于1？3.RLC串联电路中是否会出现，的情况？4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？小结：P120表4.4.1作业：p1494.4.64.4.74.5阻抗的串联与并联4.5.1阻抗的串联+-++--+-通式:XL取正，XC取负分压公式：对于阻抗模一般注意：++--+-解：同理：++--+-例1:有两个阻抗它们串联接在的电源;求:和并作相量图。或利用分压公式：注意：相量图++--+-下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考两个阻抗串联时,在什么情况下:成立。U=14V?U=70V?(a)34V1V26V8V+_6830V40V(b)V1V2+_4.5.2阻抗并联分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:例：已知R1=3ΩR2=8ΩXL=4ΩXC=6Ω求：（1）i、i1、i2（2）P（3）画出相量图R1R2jXL-jXC解：（1）I也可以这样求：R1R2jXL-jXCR1R2jXL-jXC（2）计算功率P（三种方法）①P=UIcos=220×49.2cos26.5o=9680W②P=I12R1+I22R2=442×3+222×8=9680W③P=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680WR1R2jXL-jXC（3）相量图思考下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？两个阻抗并联时,在什么情况下:成立。I=8A?I=8A?(c)4A44A4A2A1(d)4A44A4A2A1思考+-2.图示电路中,已知则该电路呈感性,对不对?1.图示电路中,已知A1+-A2A3电流表A1的读数为3A,试问(1)A2和A3的读数为多少?(2)并联等效阻抗Z为多少?作业P151

4.5.114.5.124.6复杂正弦交流电路的分析和计算若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。相量形式的基尔霍夫定律相量（复数）形式的欧姆定律有功功率P有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。无功功率Q或或一般正弦交流电路的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式试用支路电流法求电流I3。+-+-例1:图示电路中，已知解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程代入已知数据，可得：+-+-解之，得：应用叠加原理计算上例。例2:解:(1)当单独作用时同理（2）当单独作用时+-+-+-++-=4.7交流电路的频率特性在时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。在频率领域内对电路进行分析,称为频域分析。相频特性:电压或电流的相位与频率的关系。幅频特性:电压或电流的大小与频率的关系。频率特性或频率响应：研究响应与频率的关系4.7.2串联谐振

在同时含有R,L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换。串联谐振：L

与C

串联时u、i同相并联谐振：L

与C

并联时u、i同相

谐振(resonance)的概念：R,L,C电路发生谐振同相由定义，谐振时：或：即谐振条件：谐振时的角频率串联谐振电路:1.谐振条件4.7.2串联谐振RLC+_+_+_+_2.谐振频率

根据谐振条件：RjL+_或电路发生谐振的方法：(1)电源频率f一定，调参数L、C使fo=f；(2)电路参数LC一定，调电源频率f，使f=fo或：3.串联谐振特怔(1)

阻抗模最小可得谐振频率为：谐振角频率谐振频率仅与电路参数有关当电源电压一定时：(2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。(3)同相(4)电压关系电阻电压：UR=IoR=U大小相等、相位相差180电容、电感电压：UC、UL将大于电源电压U当时：有：令：表征串联谐振电路的谐振质量品质因数：所以串联谐振又称为电压谐振。注意谐振时:与相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的Q倍。相量图：如Q=100,U=220V,则在谐振时所以电力系统应避免发生串联谐振。(5)谐振时的功率P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。+_PQLCR4.谐振曲线容性感性0谐振曲线

物理量与频率关系（1）串联电路的阻抗的频率特性电流随频率变化的关系曲线。Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。Q大Q小分析：谐振电流

电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力——称为选择性。fR

（2）电流谐振曲线R大R小通频带：谐振频率上限截止频率下限截止频率Q大通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。Q小△ƒ=ƒ2－ƒ1当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：5.串联谐振应用举例接收机的输入电路：：接收天线：组成谐振电路电路图为来自3个不同电台(不同频率)的电动势信号；调C，对所需信号频率产生串联谐振等效电路+-最大则例1：已知：解：若要收听节目，C应配多大？+-则：结论：当C调到204pF时，可收听到

的节目。(1)例1：

已知：所需信号被放大了78倍+-

信号在电路中产生的电流有多大？在C上产生的电压是多少？(2)已知电路在解：时产生谐振这时4.7.3并联谐振+-实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有则：1.谐振条件2.谐振频率或可得出：由：3.并联谐振的特征(1)阻抗模最大(当满足0L

R时)总阻抗：什么性质?当时所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。(2)电压源供电时，总电流最小；电流源供电时，电路的端电压最大。(3)支路电流与总电流的关系--并联支路中的电流可能比总电流大。当0L

R时，容性感性1相量图：品质因数--Q:为支路电流和总电流之比电流谐振例1：已知：解：试求：+-例2：解：图示电路中U=220V,(1)当电源频率

时,UR=0试求电路的参数L1和L2(2)当电源频率时,UR=U故:(1)即:I=0并联电路产生谐振,即:+-试求电路的参数L1和L2(2)当电源频率

时,UR=U解所以电路产生串联谐振,并联电路的等效阻抗为:串联谐振时,阻抗Z虚部为零,可得:总阻抗+-思考题:接收网络+-+-滤波电路(a)(1)现要求在接收端消除噪声,问图(a)LC并联电路应工作在什么频率下?---信号源如图电路中,已知:---噪声源(2)现要求工作信号到达接收端,问图(b)LC串联电路应工作在什么频率下?接收网络+-+-(b)滤波电路作业p1534.7.54.7.64.8功率因数的提高1.功率因数

+-的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角RZ时,电路中发生能量互换,出现无功当功率，这样引起两个问题:说明：

由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。(1)电源设备的容量不能充分利用若用户：则电源可发出的有功功率为：若用户：则电源可发出的有功功率为：而需提供的无功功率为:（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)设输电线和发电机绕组的电阻为:要求:(Ｐ、Ｕ定值)时所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗。(导线截面积)相量图+-+-+-感性等效电路40W220V白炽灯

例40W220V日光灯

供电局一般要求用户的否则受处罚。2.功率因数cos低的原因常用电路的功率因数纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路日光灯（R-L串联电路）(2)提高功率因数的措施:3.功率因数的提高

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

在感性负载两端并电容I(1)

提高功率因数的原则：+-结论并联电容C后：(3)

电路总的有功功率不变因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。(1)电路的总电流，电路总功率因数I电路总视在功率S呈电容性。呈电感性问题与讨论功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:功率因数补偿问题呈电阻性结论：一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）C较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？一般情况下很难做到完全补偿（即：）过补偿欠补偿4.并联电容值的计算相量图:又由相量图可得：即:+-思考题:1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?例1:解：(1)（2）如将从0.95提高到1，试问还需并多大的电容C。（1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。一感性负载,其功率P=10kW,，接在电压U=220V,ƒ=50Hz的电源上。即即求并C前后的线路电流并C前:并C后:(2)从0.95提高到1时所需增加的电容值作业P1544.8.24.8.3如：半波整流电路的输出信号1.特点:

按周期规律变化，但不是正弦量。2.非正弦周期信号的产生1)电路中有非线性元件；2)电源本身是非正弦；3)电路中有不同频率的电源共同作用。+-+-OO4.9非正弦周期电压和电