第4章 正弦交流电路-2

电工技术第4章正弦交流电路

教学目标基本概念基本定律

应用相量阻抗电压三角形相量形式的各种电路基本定律功率因数收音机调谐无线电通信功率因数补偿4.1正弦交流电的基本概念

本章目录4.2正弦量的相量表示法4.3电阻元件的正弦响应4.4电感元件的正弦响应4.5电容元件的正弦响应4.6电阻、电感与电容串联电路的正弦响应

4.7正弦交流电路的响应4.8功率因素的提高4.9交流电路的频域分析4.10非正弦周期交流电路正弦量4.1正弦交流电的基本概念

随时间按正弦规律做周期变化的量。+_正弦交流电的优越性:大小和方向都随时间改变的电流或电压周期性交流电流或电压交流电

交流电变化为周期性重复，如正弦波、方波、三角波、锯齿波等，记作u(t)=u(t+T)。

便于传输；易于变换；便于运算；有利于电器设备的运行。u,i,e设正弦交流电流角频率决定正弦量变化快慢

幅值决定正弦量的大小三要素

初相角决定正弦量起始位置iImT

与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值Im、Um、EmIR直流iR交流瞬时值此适用于任何周期性变化的电压和电流。一、瞬时值、幅值和有效值交流直流根据做功等效，有i、u、e正弦量在任一瞬间的值幅值瞬时值中的最大值有效值同理：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值

注意周期T角频率频率f

（Hz、kHz）*无线电通信的频率：30kHz~3×104MHz*电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz*高频加热设备的频率：200~300kHz*有线通信的频率：300~5000Hz二、周期、频率和角频率变化一周所需的时间每秒钟变化的周期数每秒钟变化的弧度数（s、ms）（rad/s）给出了观察正弦波的起点或参考点相位（角）初相（位）反映正弦量变化的进程相位差

三、相位、初相和相位差表示正弦量在t=0时的相位角两个同频率的正弦量之间的初相位之差i设两个同频率的正弦量分别为：则相位差为：⑷当时，电压u超前于电流i

角讨论

1.两个同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点和计时时刻无关。2.不同频率的正弦量比较无意义。注意⑴当时，电压u与电流i同相⑵当时，电压u与电流i反相⑶当时，电压u滞后于电流i

角uiuiuiui电流滞后于电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相b.瞬时值表达式这两种表示方法不便于运算，重点介绍相量表示法。a.波形图

一、正弦量的表示方法波形图三角函数式相量法4.2正弦量的相量表示法uu1u21.正弦量的相量表示(1)复数表示形式1)代数式A=a+jb复数的模复数的幅角实质：用复数表示正弦量式中:2)三角式由欧拉公式4)极坐标式3)指数式可得:

xy

一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。2.正弦量用旋转有向线段表示ω设正弦量:u0相量——表示正弦量的复数相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角有效值相量幅值相量,则称是正弦量的有效值相量，是正弦量的幅值相量。设正弦量1.相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；？=2.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示；3.只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。注意4.相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号相量图相量式

实际应用中，模多采用有效值，符号如：已知则或3.相量的两种表示形式把相量表示在复平面的图形可不画坐标轴有效值相量幅值相量5.“j”的数学意义和物理意义+1+j0旋转因子：相量乘以将逆时针旋转，得到相量乘以将顺时针旋转，得到设相量正误判断1.已知？？2.已知？3.已知？4.已知？？解:例题求：已知1)

用相量式求+1+j8V6V10V1.2.2)用相量图求判断题在下列几种情况下，哪些可以用相量进行运算，如何运算？二、KCL和KVL的相量表示根据KCL，对任一结点，,即有式子两边同除以得写成一般形式为：

此式称为KCL的相量形式，它表明电路任一结点上的电流相量代数和为零。用类似的方法可以得到KVL的相量形式为此式表明沿任一回路，各支路电压相量的代数和为零。1.电压与电流的关系设根据欧姆定律:相量图4.3电阻元件的正弦响应2.功率关系(1)瞬时功率结论:(耗能元件),且随时间变化。瞬时电压与瞬时电流的乘积设则OpO瞬时功率在一个周期内的平均值

(2)平均功率(有功功率)瓦(W)注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。pωtOP④相位关系：u、i

相位相同②有效值大小关系：①频率相同

⑤相位差：③相量式：相量图电阻元件的交流电路1.电压与电流的关系设相量图+-+-uωtu,ii4.4电感元件的正弦响应或

感抗直流：

f=0,XL=0，L视为短路有效值关系：交流：fXL电感元件复数形式的欧姆定律相量图0d)(2sind10===òòttωUIT1tpTPT0T2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率t)ωIUt)(ωt)(ωIU(2sin2cossinmmmm==L是储能元件储能p<0+p>0分析瞬时功率+p>0p<0放能储能放能pO结论纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。

用以衡量电感电路中能量交换的规模,用瞬时功率达到的最大值表征。(var、kvar)(3)无功功率

电感元件的交流电路①频率相同②大小关系③相量式

⑤有功功率⑥无功功率④相位关系

超前相量图例题

在一个电感元件两端加上正弦电压源已知L=1H。求i；如保持U不变，而电源f=5000Hz,问i为多少？解：(1)电压的相量形式为根据电感元件伏安关系的相量形式，可得(2)当f=5000Hz时，电感元件具有通低频阻高频的特性。1.电流与电压的关系设：则4.5电容元件的正弦响应或（Ω）有效值关系隔直耦交直流：XC，C视为开路XC交流：f电容电路中复数形式的欧姆定律相量图

容抗2.功率关系(1)瞬时功率

(2)平均功率ＰC是储能元件瞬时功率：充电放电充电放电p<0+p>0+p>0p<0pO结论纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。无功功率等于瞬时功率达到的最大值，即(3)无功功率Q（var、kvar）则设

电容元件的交流电路①频率相同②大小关系③相量式

⑤有功功率⑥无功功率④相位关系

滞后相量图指出下列各式中哪些是对的、哪些是错的。在电阻电路中在电感电路中在电容电路中思考题单一元件参数电路中的基本关系参数LCR基本关系复阻抗相量式相量图设则1.瞬时值表达式

根据KVL可得一、电流、电压的关系4.6

RLC串联电路的正弦响应2.相量法1)

相量式设（参考相量）则令则总电压与总电流的相量关系式复阻抗阻抗角阻抗模阻抗三角形表示u、i的大小关系为u、i

的相位差Z是一个复数，不是相量。+j+1Zba|Z|0U，I有效值的关系式电路参数与电路性质的关系：当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

电路呈感性当XL<XC

时，<0

，u

滞后i

电路呈容性当XL=XC

时，=0

，u.

i同相电路呈电阻性复阻抗R、L、C串联正弦交流电路的特性复数形式的欧姆定律2)

相量图(

>0

感性)电路呈感性由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XC电路呈容性电压三角形由相量图可求得阻抗三角形电压三角形二、功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。1.瞬时功率设：2.平均功率P（有功功率）(W、kW)根据电压三角形可得3.无功功率Q(var、kvar)

电压三角形根据电压三角形可得

4.视在功率S

电路中总电压与总电流有效值的乘积。(VA、kVA)

注：SN＝UN

IN

称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。R阻抗三角形、电压三角形、功率三角形将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形SQPjsinZX=jcosZR=

如图所示电路中，已知U=12V，R=3，jXL=j4

。试求：⑴XC为何值时(XC≠0)，开关S闭合前后，电流I的有效值不变。这时的电流是多少？⑵XC为何值时，开关S闭合前电流I最大，这时的电流是多少？例题(1)开关闭合前后，电流I有效值不变，说明开关闭合前后电路的阻抗模相等。即解:∵

XC≠0

，∴

XC=XL时，最小，电流最大，故此时的电流为⑵

开关S闭合前，例题求:(1)感抗、容抗、阻抗;(2)电流的有效值I与瞬时值i;(3)各部分电压的有效值与瞬时值的表示式;(4)做相量图;(5)功率P、Q和S。(1)解:已知:在RLC串联交流电路中，。（2）（3）（4）相量图（5）或：或：呈容性

因此，不能只是凭借L、C的大小决定正弦交流电路的性质。1.假设R、L、C的串联电路中，R、L、C

已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？思考解：时，电路呈现电感性，时，电路呈现电容性，时，电路呈现电阻性，4.在RLC串联电路中当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？解：解：2.RLC串联电路的是否一定小于1？时，3.RLC串联电路中的是会出现的情况？一、阻抗的串、并联

分压公式对于阻抗模，一般+-++--+-通式1.阻抗的串联4.7正弦交流电路的分析1.下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？2.两个阻抗串联时,在什么情况下成立?U=7V?注意(a)34

6V8V+_(b)68

3V4V+_U=14V?

+-+-2.阻抗的并联通式分流公式对于阻抗模，一般电路中，导纳导纳：阻抗的倒数+-导纳电导感纳容纳导纳模（单位：西门子S）支路电流与电压之间的相位差同理用导纳计算并联交流电路时

当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。导纳同阻抗串联形式相同通式

下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？两个阻抗并联时,在什么情况下成立?I=8A?4A44A4A2A1I=8A?4A44A4A2A1思考44A44A4A2A1+-？解：相量图？,电流表A1的读数为3A,试问:1.图示电路中,已知(1)A2和A3的读数为多少?(2)并联等效阻抗Z为多少?解：设3思考A2的读数为4.24A345°+-,则该电路呈感性,对不对?2.图示电路中,已知解：A3和A1的读数为3A时，电路呈电容性基尔霍夫定律

相量形式

相量（复数）形式的欧姆定律

电阻纯电感纯电容一般电路二、一般正弦交流电路的分析

若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗(

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。通过分析计算，解出待求量的相量，再反变换为以t为变量的正弦电压或正弦电流。,1.根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2.根据相量模型列出相量方程式或画相量图3.用相量法或相量图求解4.将结果变换成要求的形式一般正弦交流电路的解题步骤

同计算复杂直流电路一样,支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。例题一般正弦交流电路的分析+-+-图示电路中，已知，试用支路电流法求电流I3。（一）应用基尔霍夫定律列出相量表示方程代入已知数据，可得解之，得：解:+-+-（二）应用叠加原理计算上例（1）当单独作用时+=（2）当单独作用时+-+-+-+-（三）应用结点电压法计算上例。(2)(1)求结点电压+-+-（四）应用戴维宁定理计算上例+-+-+-(3)+-+-(1)断开Z3支路，求开路电压(2)求等效内阻抗

求：总电压表和总电流表的读数。下图电路中已知：I1=10A、UAB=100V。解题方法有两种：1.用相量（复数）计算2.利用相量图分析求解例题VAB

C1A解法1:

用相量计算则：设：A

读数:

10A解:

读数：200VVAB

C1A解法2:利用相量图分析求解由相量图可求得：I=10A1045°设：100UR=IR

=100VU

=200V100VAB

C1A超前滞后同相已知开关闭合后u，i

同相。开关闭合前求:开关S闭合前后I2的值不变。例题解法1：利用复阻抗的概念求XC解:RXLXC+–

S

开关闭合后u，i

同相，即电路呈电阻性，复阻抗Z的虚部为0。W==2202RXC0Z，则的虚部为要使得由相量图可求得

RL串联支路中电压超前电流45°。开关闭合后

u，i

同相解法2:利用相量图求XC解法3：用相量法计算∵开关闭合后u，i

同相，由实部相等可得由虚部相等可得RXLXC+–

S设有功功率P

电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和

电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和无功功率Q或正弦交流电路中功率的计算视在功率S或1.由部分到整体无功功率Q单位：瓦(W)，千瓦(kW)单位：乏(var)，千乏(kvar)单位：V·A将无源二端网络用一个等效复阻抗Z表示,则有

视在功率S有功功率P2.归一法4.6功率因数的提高功率因数:X

的意义：时,电路中发生能量互换,出现无功当功率这样引起两个问题:1.电源设备的容量不能充分利用2.增加线路和发电机绕组的功率损耗对电源利用程度的衡量。电压与电流的相位差，阻抗的辐角。-+1.电源设备的容量不能充分利用若用户：,则电源可发出的有功功率为

若用户：,则电源可发出的有功功率为

需提供无功功率为提高可使发电设备的容量得以充分利用无需提供无功功率。设:2.增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)提高电网功率因数对国民经济的发展有重要意义。设输电线和发电机绕组的电阻为要求:(Ｐ、Ｕ定值时)提高可减小线路和发电机绕组的损耗。(导线截面积)相量图[例]40W220V白炽灯

[例]40W220V日光灯

供电局一般要求用户的，否则受处罚。日常生活中多为感性负载，如电动机、日光灯。一、功率因数cos低的原因

感性等效电路+---++二、功率因数的提高

可采用在感性负载两端并联电容的方法进行补偿，使总的功率因数达到规定的要求。

必须保证原负载的工作状态不变，即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

提高功率因数的原则提高功率因数的措施1.提高功率因数的措施在感性负载两端并联电容+-I

结论（并联电容C后）3)

电路总的有功功率不变1)电路的总电流，电路总功率因数

，电路总视在功率S

。

I2)原感性支路的工作状态不变:不变感性支路的功率因数不变感性支路的电流由相量图可得：2.并联电容值的计算⑶并联电容后用户一年为配电所节约电能多少度？（以每年365天，每天用电8小时计算）用户用电量有无变化？⑴在保证用户电压为额定值时，配电所电源电压应为多少？线路损失功率△P1为多少？⑵若用户拟将功率因数cos提高到0.98，应并联多大电容器？配电所电源电压应为多少？线路损失功率△P2为多少？

例题

某用户等值电阻R=10，感抗XL=10.2，额定电压220V。配电所至用户的输电线的电阻r0＝0.5，感抗XL0=1，电路如图所示。试问：⑴线路损失功率

用户ZL取用负载电流为解:用户消耗的功率并联电容(2)并联电容前并联电容后即即求并C前后的线路电流并C前并C后电源电压为线路损失功率为:

节省功率为:⑶一年节约电能为:

通过例题可以得到，在感性负载两端并联电容后，减小了线路电流，从而减小了线路损耗，为配电所节约了电能。由于用户的额定电压和功率均未发生改变，故用户用电量无任何变化。cos1时再继续提高，则所需电容值很大（不经济），所以一般不必提高到1。

在同时含有L

和C

的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。L与C串联时，u、i

同相L与C并联时，u、i

同相

研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振4.7谐振电路串联谐振并联谐振1.谐振时：同相，电路呈现电阻性

串联谐振电路的特点一、串联谐振或即谐振条件谐振频率复阻抗谐振角频率电路发生谐振的方法1）电源频率f

一定，调参数L、C，使f0=f2）电路参数LC

一定，调电源频率f，使f=f02.

阻抗最小当电源电压U不变时，谐振时电路的电流值最大：谐振电路的特性阻抗：3.电源与电路间不发生能量的互换，能量互换只发生在电容和电感线圈之间。4.电压关系当电阻电压:UR=I0R=U电容、电感电压:电源电压的Q倍。谐振时,与相互抵消，但其本身不为零，而是6.串联电路的谐振曲线1）阻抗随频率变化的关系2）电流随频率变化的关系曲线表征串联谐振电路的谐振质量5.品质因数电压谐振二、并联谐振复阻抗谐振频率谐振角频率1.谐振条件由于谐振电路的电阻R一般都比较小，L/C比较大，故并联谐振电路的特点等效复阻抗虚部为03.恒压源供电时，总电流最小。4.品质因数2.谐振时阻抗最大，呈电阻性。电流谐振例题

如图所示电路中，R=10，L=250，C1、C2为可调电容。先调节C1使并联部分在时的阻抗达到最大；然后再调节C2，使整个电路在时的阻抗最小。求：⑴电容C1、C2的值。⑵当外加电压U=1V，且时，电流、和。⑴依题意，当时，电路发生并联谐振，并联部分的阻抗为

解：谐振时有

可求得

当时，电路发生串联谐振，电路的总阻抗为将代入上式得谐振时有

可求得

⑵设，当，此电路发生并联谐振，电路总阻抗为

相频特性幅频特性

在交流电路中，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。频率特性(频率响应)

滤波4.8交流电路的频率特性响应随频率变化的函数关系。电压或电流的大小与频率的关系。电压或电流的相位与频率的关系。

利用容抗或感抗随频率而改变的特性,对不同频率的输入信号产生不同的响应,让需要的某一频带的信号通过,抑制不需要的其它频率的信号。1.电路输入信号输出信号电路输出电压与输入电压的比值2.传递函数一、低通滤波电路令则均为角频率的函数3.频率特性幅频特性相频特性高端截止频率

通频带：

上限截止频率:二、RC高通滤波电路1.电路2.传递函数输入信号输出信号均为角频率的函数3.频率特性一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性幅频特性相频特性令低端截止频率

通频带：0≤＜∞

截止频率:0=1/RC三、RC带通滤波电路1.电路2.传递函数输出信号输入信号均为角频率的函数频率特性设:3.频率特性曲线RC串并联电路具有带通滤波特性012幅频特性相频特性高端截止频率低端截止频率通频带4.9非正弦周期信号的谐波分析

分析非正弦周期电流的电路，仍然要应用电路的基本定律，但和正弦交流电路的分析还是有不同之处；本章主要讨论一个非正弦周期量可以分解为恒定分量（如果有的话）和一系列频率不同的正弦量。一、非正弦周期交流信号如：半波整流电路的输出信号1.特点

2.非正弦周期交流信号的