考研基础班经典数学讲义第十一章无穷级数

第十一章无穷级数三、幂级数和函数的求法一、数项级数及其审敛法二、求幂级数收敛域的方法五、函数的傅里叶级数展开法四、函数的幂级数展开法1为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.2一、数项级数及其审敛法(一)常数项级数的概念1.常数项级数的概念；2.常数项级数收敛与发散的概念；3.正项级数、交错级数、任意项级数的概念；4.绝对收敛与条件收敛的概念；常数项级数收敛(发散)存在(不存在)发散,而收敛,则称为条件收敛.收敛,则称为绝对收敛;3(二)常数项级数的性质（4个）

性质1.不变.敛散性级数的每一项同乘一不为零的常数,性质2.设两级数收敛则级数收敛，其和为在级数前面加上（或去掉）有限项不影响性质3.级数的敛散性,

但影响收敛级数的和.性质4.收敛加括号后收敛.收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和.收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散就不一定发散发散去括号后发散.4(三)收敛级数的必要条件若级数收敛注：不能用判断级数收敛.(四)应熟记的几个重要级数：1.几何级数2.调和级数是发散级数.3.P-级数5(五)常数项级数的审敛法：1.任意项级数的审敛法(3)性质法.(4)利用重要级数.(2)发散.(1)定义法：(5)级数收敛(发散)存在(不存在).62.正项级数的审敛法(2)比值法(1)比较法(3)根值法(常数k>0)；若大的收敛，则小的也收敛；若小的发散，则大的也发散.3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法)(i)(ii)7必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不确定比较审敛法用其它法判别性质法定义法★正项级数审敛程序：注意：比值法主要适应于通项中含之积的级数.根值法主要适应于通项中含的级数.8解:

(1)故原级数发散.另解:

(1)发散,故原级数发散.例1.判别级数的敛散性:9解(2)发散,故原级数发散.故该级数收敛.解(3)P323题2(1)10例2.判别下列级数的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛？解(1)所以原级数发散.解(2)1)先考察的敛散性11又由于原级数收敛，是条件收敛.12设正项级数收敛,证明收敛.例3.

证明:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不一定成立.例如,收敛,发散.13证明：[练习题]141.[03数三，4分]设则下列命题正确的是()条件收敛，则绝对收敛，则条件收敛，则敛散性都不定.绝对收敛，则(A)若(B)若(C)若(D)若都收敛.都收敛.敛散性都不定.几个考研真题：152.[06数一,数三,4分]若级数收敛，则级数()收敛.收敛.收敛.收敛.(A)(B)(C)(D)

D

性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.16(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).3.[04数三、4分]设有下列命题：(2)(3)(4)(1)则以上命题中正确的是()B

收敛加括号后收敛.17(11年数学三)性质：收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛；发散级数去括号后所成的级数仍发散.18(09数学一)比较审敛法的极限形式:有相同的敛散性；,都是正项级数196.级数的部分和数列有界是级数收敛的()条件(A)充分;(B)必要;(C)充要;(D)既不充分也不必要.定理1正项级数收敛部分和所成的数列有界.收敛收敛20定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数在处收敛，则它在开区间内的一切x处绝对收敛.(2)如果级数在处发散，则它在开区间内的一切x处发散.如果幂级数的所有系数定理2.

是它的相邻两项的系数且满足：二、求幂级数收敛域的方法几何说明:绝对收敛发散发散绝对收敛发散发散21★求收敛半径的方法总结:1.幂级数中奇偶项齐全时用公式求R.2.不满足定理2条件的级数(缺项)这时不能用以上公式求R.应该根据收敛半径的定义用直接法求R.如：3.若级数为则应用代换法，令先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.★求收敛域的方法:22例1.解：该级数发散.故所给级数的收敛域为此时该级数发散.23解:

因级数绝对收敛;级数发散;故收敛域为：一般项不趋于0,级数发散;例2.24例2.另解：则级数为25练习几个选择题(08数学一)261.求部分和式的极限;求和3.逐项求导或求积分法逐项求导或求积分对和式积分或求导难2.初等变换法:分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）.幂级数已知和函数的新级数转化三、幂级数和函数的求法27请熟记：常用函数的幂级数展开式28[2010数一]解：29例2.求幂级数解法1:

易求出级数的收敛域为30例2.求幂级数解法2:

易求出级数的收敛域为31求常数项级数的和法1:利用级数和的定义求法2:阿贝尔法(构造幂级数,用幂级数的和函数求)1)欲求的和构造幂级数求出它的和函数S(x)所求为S(1)2)欲求的和构造幂级数求出它的和函数S(x)所求为S(x)=S(b)32解：33说明：构造的幂级数是不唯一的.如还可构造幂级数：原则是所构造的幂级数的和函数容易求出.34四、函数的幂级数展开法展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开1.直接展开法第一步第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.求第二步写出泰勒级数则并求出其收敛半径R;352.间接展开法.根据唯一性,利用已知的函数展开式,通过变量(幂级数的运算性质),代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法函数已知展开式的新函数转化将所给函数展开成幂级数.经验：1)有理函数转化2)指数函数转化3)对数函数转化4)三角函数转化5)反三角函数：先求导化为有理函数，再积分36例1.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:于是并求级数3738解：(2010数2)39解：403.收敛定理：周期为2的函数f(x)，若满足狄利克雷充分条件

x为f(x)的间断点，五、函数的傅里叶级数展开法41★(1)S(x)与f(x)的定义域为(2)S(x)与f(x)的周期性相同且周期相等.

x为f(x)的连续点时(3)S(x)与f(x)的奇偶性相同.对定义域为R的周期为2的函数f(x)的和函数S(x)与f(x)的关系：42设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.周期为2l的函数f(x)傅里叶级数展开法4.正弦级数和余弦级数(1)奇函数f(x)的傅氏级数称为正弦级数.(2)偶函数f(x)的傅氏级数称为余弦级数.43作法:1)对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.5.对于非周期函数方法：

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数2)对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.44xyO-1解:(92考研)45

例2.设则(99考研)的傅里叶级数的和函数和函数的周期为246(09数学三)(08数学一)练习题3.设提示:(03