机械工程控制基础课件第5章：系统的稳定性

第五章

系统的稳定性5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh（劳斯）稳定判据5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据5.4Bode（伯德）稳定判据5.5系统的相对稳定性5.1系统稳定的初步概念一稳定的概念Ab、不稳定的摆AAA″a、稳定的摆收敛（稳定）等幅振荡（临界稳定）发散（不稳定）x0(t)t用图形表示：注意：线性系统的稳定性取决于系统的内部条件，与输入无关系统发生不稳定现象，必须有适当的反馈作用控制理论所讨论的稳定性是指输入为零时的系统稳定二稳定的定义和条件1定义在初始条件下，且不存在输入作用，系统的时间响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，则称该系统是稳定的，反之，则为不稳定。2条件线性定常系统经过Laplace变换（考虑到初始条件）其中：N(s)----与初始条件有关的s的多项式当输入为零时：Si--------系统的根Ai-------与初始条件有关的系数L-1当Re[si]<0时稳定不稳定时间响应txo(t)特征根的分布ReImtxo(t)ReIm稳定txo(t)ReIm不稳定txo(t)ReIm临界稳定ttxo(t)xo(t)ReImReIm系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都必须具有负实部；反之，若系统特征根只要有一个或一个以上具有正实部时，系统不稳定例系统稳定系统不稳定s1=-1s2=-2s3=-5s1=1s2=-2s3=-55.2Routh(劳斯）稳定判据劳斯判据是基于方程式根和系数之间的关系建立的一、系统稳定的必要条件闭环系统的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0当ai>0(i=1,2……n)时系统稳定例：特征方程D(s)=s5+7s4+3s2+2s+1，试判断系统的稳定性∵s3的系数为0，不满足劳斯判据的必要条件∴系统不稳定例：特征方程D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，试判断系统的稳定性用劳斯判据的必要条件无法判定系统的稳定性1、劳斯表闭环系统的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0二系统稳定的充要条件2、Routh稳定判据

Routh表中的第一列各元的符号均为正数，则闭环系统稳定。

若第一列各元的符号有改变，则改变的次数等于特征方程有右根的个数。++例系统的特征方程为D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，试判断的稳定性11∵劳斯表第一列元素不全为正，则系统不稳定s5162

s4731s2s3s1s0有两个右根二阶系统：特征方程D(s)=a2s2+a1s+a0系统稳定的条件：a2>0,a1>0,a0>0阶次较低的系统，Routh判据可表示为：劳斯阵列为：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2三阶系统：

特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0a3>0,a2>0,a1>0,a0>0a2a1-a3a0>0系统稳定的条件：s3

a3

a1s2

a2

a0s1s0a0例：控制系统的方框图如下，试确定当输入为单位速度信号时,系统的稳态误差ess<0.2s的K值的范围-Ks(s+5)(s+1)Xi(s)Xo(s)解：由系统的开环传函Gk(s)可确定为I型系统则在单位速度信号输入时，系统的速度偏差系数为：系统的稳态误差为K>25系统稳定时的K值范围∴系统稳定且ess<0.2的K的取值范围为25<0<30稳定条件5×6-1×K>0K>00<K<30例3：设某系统的特征方程如下，试确定待定参数及，以便使系统稳定。D(s)=s3+(+1)s2+(+-1)s+-1=0s31+-1s2+1-1s1+1(+)(+1)(+-1)-(-1)=(+)0so-1系统稳定的充要条件+1>0-1>0(+)>0>0>1>-1>0>1+>0三、Routh判据的特殊情况1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。处理方法：用一个很小的正数

代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令

0，按前述方法进行判别。如果零(

)上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态；如果零(

)上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。例系统的特征方程s4+2s3+s2+2s+1=0，试判断系统的稳定性∵第一列元素不全为正数∴系统不稳定，有两个右根s4111s322s201s1s01+++-+2、劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。j0-aaReIm0-jajaj0-aa-jbjb处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。令辅助多项式等于零得到辅助方程，解此方程可得这些成对的特征根。显然，辅助多项式的阶次总是偶数。例如：∴闭环系统临界稳定

系统具有两对共轭虚根5.3Nyquist稳定判据一幅角原理其中：zi---零点pi---极点令：设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，并设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s).若在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。Lsj[s]ReImF(s)s1F(s1)LFs2F(s2)若令：Z为包围于Ls内的零点数，P为包围于Ls的极点数，则：N=Z-P向量F(s)的相位角为：假设Ls内只包含了一个零点zi，其他零极点均位于Ls之外。jωσziz2p1p2s-zis-p1[s]Ls当s沿Ls按顺时针移动一周时:向量(s-zi)的相位角变化了-2，而其他各向量的相位角变化为0。即向量F(s)的相位角总的变化量为-2.jωσziz2p1p2s-z1s-p1ImReF(si)[s][F(s)]LsLF若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z圈。若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P圈。若Ls包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。二、Nyquist稳定判据1、开环、闭环传函零、极点与F(s)函数之间关系G(s)H(s)-Xi(s)X0(s)开环传函的表达形式为GK(s)=G(s)H(s)闭环传函为令辅助函数F(s)=1+GK(s)GB(s)F(s)GK(s)零点极点零点极点零点极点相同相同2、Nyqusit稳定判据j[s]+j∞0-j∞L1L2R=∞设F(S)在[s]右半平面有Z个零点和P个极点时，当s沿[s]平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在[F]平面上的影射曲线LF顺时针包围原点

N=（Z-P）圈∵系统稳定的条件：Z=0∴

N=-P即系统稳定时，F平面上的曲线逆时针包围原点P圈ReIm[F]F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)ImRe[GH](-1,j0)GK(s)Nyquist稳定判据：当由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性GK(j)逆时针方向包围（-1，j0)点P圈，则闭环系统稳定。P为GK(s)在右半平面的极点数。

（若由0到+∞时，则为P/2圈）注意：由-∞到从0的Nyquist轨迹与由0到+∞的Nyquist轨迹互为以实轴为对称轴的对称曲线表述1：开环稳定的系统，闭环稳定的充要条件是：系统的开环Nyquist轨迹不包围（-1.j0)点。P=0开环稳定由N=Z-P得：N=0例1：一个开环稳定的系统的Nyquist曲线如图所示，试判断闭环系统的稳定性∵Nyquist曲线不包围（-1,j0)点∴闭环系统稳定(-1,j0)0∞ImRe-∞(-1,j0)∞∴闭环系统不稳定-∞∵Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0)点2圈例2：0ImReP=0若：开环不稳，存在着右极点，数量为P闭环稳定的条件是：Z=0由N=Z-P，得到闭环稳定的条件：N=-P表述2开环不稳定时，系统稳定的充要条件是：开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点P圈（P为开环正极点个数）开环不稳，有一个正极点（P=1）∞∵Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点1圈∴闭环系统稳定0(-2,j0)-∞ImRe(-1,j0)开环不稳，有一个正极点（P=1）-∞∵Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点1圈∴闭环系统不稳定0∞(-2,j0)ImRe(-1,j0)-∞∵Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点1圈(N=1)∴闭环系统稳定P=1=NReIm(-1,j0)=0∞P=1例0ImRe∞开环传函：当=0时，|Gk(s)|=∞=0+(0+)三开环含有积分环节的Nyquist图当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时G(j0-)=∞∠λ×90oG(j0)=∞∠0oG(j0+)=∞∠λ×(-90o)0-0+ReIm在[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径从=0-(或=0)按顺时针方向转λ×180o(或λ×90o）到=0+。-0-λ=1∵Nyquist轨迹顺时针包围（-1，j0)点2圈∴闭环系统不稳定0+ImRe(-1,j0)例:系统的开环传函为试确定闭环系统的稳定性。=0-=-∞P=1∵开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点1圈∴闭环系统稳定(-1,j0)ReIm=0+=∞例：开环传函的Nyquist图如下图所示，试确定闭环系统的稳定性。P=0λ=1=0-=-∞∵N=-2≠P()=-180+(arctan4-arctan-arctan2)＞-180o

(0+)(-1,j0)Re=0+=∞例：开环传函图如图所示，试确定闭环系统的稳定性。Im的Nyquist∴闭环系统不稳定四穿越的概念开环Nyquist轨迹在（-1,j0)点以左穿过负实轴的称为穿越正穿越----相位增加负穿越-----相位减小相位大相位小ReIm(-1,j0)+1-1+0.5-0.5Nyquist稳定判据的表述形式3：闭环系统稳定的充要条件是，Nyquist曲线（由-到+）在负实轴上的正、负穿越次数之差等于开环正极点个数。即：当P=N+-N-时(由-到+）,系统稳定或当0.5P=N+-N-时（由0到+）,系统稳定N+=2N-=4∵N+-N-=-2

P=1∴系统不稳定-1+1-1-1,j0)P=1ImReλ=1=0+=∞=0-=-∞-1-1+1五关于Nyquist判据的几点说明Nyquist判据是在[GH]平面内判别系统的稳定性Nyquist判据应用简单开环不稳定时，闭环系统仍然可稳定六、影响系统稳定性的因数1、开环增益KK=1K=10稳定不稳定K↑→系统稳定性↓G(s)=Ks(s+1)(s+2)0+ReIm0+2、系统的型次系统的型次↑→系统稳定性↓稳定不稳定=0-=-∞=0+=+∞ImRe=0+=+∞ImRe=0-=-∞3、系统的阶次

阶次的增大→系统稳定性↓当开环为最小相位系统时，在三阶或三阶以上时，闭环系统才可能不稳定稳定不稳定ReIm=0=+∞=-∞ReIm=0=+∞=-∞(-1,j0)不稳定临界稳定稳定T1<T2T1=T2T1>T2()=arctanT1-arctanT2-180ReIm=0+=0-=+∞φ(0+)>-180o=-∞=0ImRe=0+=+∞=0-φ(0+)<-180o=-∞4、各环节时间常数大小5、开环传函零、极点个数零点多，可缓解不稳定的倾向例如：5.4Bode（伯德）稳定判据一、Nyquist图和Bode图的对应关系1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist图上以原点为圆心的单位圆对应对数幅频特性图上的0分贝线。单位圆以外的Nyquist曲线，对应L()>0的部分；单位圆内部的Nyquist曲线对应L()<0的部分。

Nyquist图上负实轴对应对数相频特性图上的－180°线。

Nyquist曲线与(-1,j0)点以左实轴的穿越点相当于L()>0的所有频率范围内的对数相频特性曲线与－180°线的穿越点。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist图中的正穿越对应于对数相频特性曲线当增大时从下向上穿越－180°线(相角滞后减小)；负穿越对应于对数相频特性曲线当

增大时，从上向下穿越－180°线(相角滞后增大)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist曲线的辅助线反映在对数相频特性曲线上。即将对数相频特性曲线的起始点(0+)与(0+)+v90°线相连(v为开环积分环节的数目)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°C---------剪切频率（幅值交界频率）g--------相位交界频率ReImL()0cgcg()二、Bode判据不稳定系统，C>gP=0=1ImRe（-1,j0)=0+=0-Cg稳定系统，C<gImRe（-1,j0)P=0=1=0+gC=0-∵C<g∴系统稳定L()()Cg-π0∵C>g∴系统不稳定L()()gC-π0Bode稳定判据表述1：

当开环稳定时，若在L()>0的所有频率下，其相频曲线都在-线以上的，闭环系统稳定。系统稳定L()()Cg0-π系统不稳定L()()gC0-π表述2：开环不稳定时，闭环稳定的充要条件是：在L()>0的所有频率下，系统的相频特性曲线在-线上的正负穿越次数之差等于系统开环正极点个数的一半正穿越次数开环正极点个数负穿越次数N+=1,N-=2大小≠闭环系统不稳定N+-N-=-1L()0P=2()+1-1-15.5系统的相对稳定性K<6,稳定K>6,不稳定K=6,临界稳定ImRe结论：开环Nyquist曲线与(-1,j0)点的接近程度可以反映系统闭环的相对稳定性，即稳定程度一、相位裕度幅值穿越频率c开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率c称为幅值穿