圆锥曲线的弦长与最值

..18圆锥曲线的弦长与最值1.斜率为的直线与椭圆相交于,两点,则的最大值为 A. B. C. D.2.已知直线与椭圆相交于,两点,若椭圆的离心率为,焦距为,则线段的长是 A. B. C. D.3.过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于,两点,且,则这样的直线的条数为 A. B. C. D.4.已知椭圆,左右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若的最大值为,则的值是 A. B. C. D.5.椭圆与直线相交于,两点,,两点在椭圆上,若四边形为平行四边形,则直线的方程为 A. B. C. D.6.抛物线的焦点为,过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于,两点,若,则抛物线的方程为 A. B. C. D.7.设抛物线：的焦点为,倾斜角为钝角的直线过且与交于,两点,若,则的斜率为 A. B. C. D.8.已知直线经过抛物线的焦点,则直线与抛物线相交弦的弦长为 A. B. C. D.9.已知抛物线,过焦点作直线与抛物线交于点,〔点在轴下方,点与点关于轴对称,若直线斜率为,则直线的斜率为 A. B. C. D.10.已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于,两点,直线与交于,两点,则的最小值为 A. B. C. D.11.已知,分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率,直线通过点,且倾斜角是．〔1求椭圆的标准方程；〔2若直线与椭圆交于,两点,求的面积．12.已知的两个顶点为,,周长为．〔1求顶点的轨迹方程；〔2若直线与点的轨迹交于,两点,求的面积．13.已知椭圆的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形,且该三角形的面积为．〔1求椭圆的方程；〔2设,是椭圆的左右焦点,若椭圆的一个内接平行四边形的一组对边过点和,求这个平行四边形面积的最大值．14.已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,是坐标原点．〔1求的方程；〔2设过点的直线与相交于,两点,当的面积最大时,求直线的方程．15.已知椭圆的中心在坐标原点,,是它的两个顶点,直线与直线相交于点,与椭圆相交于,两点．〔1若,求的值；〔2求四边形面积的最大值．16.在平面直角坐标系中,椭圆：〔的右焦点在直线：上,且椭圆的离心率为．〔1求椭圆的方程；〔2设与相交于,两点,点,在上．若四边形的对角线,求四边形面积的最大值．17.设,分别是椭圆的左、右焦点．〔1若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值；〔2设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,,且为锐角〔其中为坐标原点,求直线的斜率的取值范围．18.已知椭圆〔的左焦点与抛物线的焦点重合,椭圆的离心率为,过点〔作斜率不为的直线,交椭圆于,两点,点,且为定值．〔1求椭圆的方程；〔2求面积的最大值．19.已知斜率为的直线与抛物线相交于,两点,如果线段的长等于,求直线的方程．20.已知圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为,曲线与直线相交于,两点．〔1求曲线的方程；〔2当的面积等于时,求的值．21.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线交轴于点,过作直线交抛物线于,两点,且．〔1求直线的斜率；〔2若的面积为,求抛物线的方程．22.设为抛物线的焦点,点为抛物线上一点,若点到点的距离等于点到直线的距离．〔1求抛物线的方程；〔2设过点的直线与抛物线的另一交点为点,且线段的中点坐标为,求的值．23.如图,已知抛物线,过点作斜率分别为,的两条直线,与抛物线相交于点,和,,且,分别是,的中点．〔1若,,求线段的长；〔2若,求面积的最小值．24.已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上,顶点在坐标原点．在,上各取两个点,将其坐标记录于表格中：〔1求,的标准方程；〔2已知定点,为抛物线上一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于,两点,求面积的最大值．25.如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点．〔1当直线的方程为时,求抛物线的方程；〔2当正数变化时,记,分别为,的面积,求的最小值．18圆锥曲线的弦长与最值答案第一部分1.C [解析]设,两点的坐标分别为,,直线的方程为,由消去,得,则,．所以当时,．2.B [解析]由已知,,,所以,,椭圆方程为．联系直线方程与椭圆方程得所以．3.B [解析]提示：椭圆的焦点弦中,最短的是通经〔过焦点与长轴垂直的弦长,最长的是长轴．4.D [解析]由椭圆的定义得,,所以,因为的最大值为,所以的最小值为,当直线与轴垂直的时候,最小,所以此时,代入椭圆方程解得．5.B 6.D [解析]由题意可知过焦点的直线方程为,联立抛物线方程整理可得,所以,,所以,又求得,所以抛物线的方程为．7.D [解析]由,得,设所在直线方程为,联立,得．设,,则,因为,所以,因为倾斜角为钝角,所以．8.B 9.C 10.A [解析]如图,,直线与交于,两点,直线与交于,两点,要使最小,则与,与关于轴对称,即直线的斜率为,又直线过点,则直线的方程为,联立方程组则,所以,所以,所以的最小值为．方法二：设直线的倾斜角为,则的倾斜角为,根据焦点弦长公式可得,．所以．因为：,所以当时,最小,最小值为．第二部分11.〔1由已知得,,又,解得：,,所以椭圆的标准方程是．

〔2由〔知,,直线的斜率为,所以直线的方程为：,联立得,解得,,所以,点到直线的距离为：,所以．12.〔1由题意,得,根据椭圆定义,知顶点在以,为焦点,长轴长为的椭圆上,所以顶点的轨迹方程为．

〔2设,,则,的坐标是方程组的解,解得或所以,,所以,又点到直线的距离为,所以的面积为．13.〔1设椭圆的短轴的一个顶点为,两个焦点分别为,,由题意知,,由勾股定理可知,,即,则,所以,所以,所以,所以,所以椭圆的标准方程为．

〔2设过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,连接,．则整理得：,由韦达定理,得：,,所以,所以,椭圆的内接平行四边形面积为,令,则,注意到在上单调递减,所以,当且仅当,即时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为．14.〔1设,由条件知,得,又,所以,,故的方程为：．

〔2当轴时,不合题意,故设,,,联立得．当,即时,,．从而．又点到直线的距离．所以的面积为,设,则,当且仅当,即时取""．所以,即时等号成立,且满足,所以当的面积最大时,的方程为或．15.〔1由题设条件可得,椭圆的方程为,直线的方程为．设,,,其中,由得,解得由,得,所以．由是上,得,所以．所以,化简,得,解得,或．

〔2根据点到直线的距离公式和式可知,点,到的距离分别为,,又,所以四边形的面积为当且仅当,即时,等号成立．故四边形面积的最大值为．16.〔1在直线中,令,得．由题意,右焦点,即．又,则,又,则．所以椭圆的方程为．

〔2由解得或因此．由题意可设：〔．设,．由得．于是,．所以．由已知,四边形的面积,当时,,所以四边形面积的最大值为．17.〔1易知,,,所以,,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值；当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值．

〔2显然直线不满足题设条件,可设直线,,,联立消去,整理得,所以由得所以又因为,即,所以故由①,②得18.〔1设,因为抛物线的焦点坐标为,且椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合,所以,又椭圆的离心率为,得,于是有．故椭圆的标准方程为：．

〔2设,,直线的方程为：,由整理得．,,,,要使为定值,则,解得或〔舍,当时,,点到直线的距离,面积．所以当,面积的最大值为．19.设的方程为,有消去并整理,得．设,,则,．因为,所以．即,解得．从而的方程为．即．20.〔1设圆心的坐标为,由题意,知圆心到定点和直线的距离相等,故圆心的轨迹的方程为．

〔2由方程组消去,并整理得．设,,则,．设直线与轴交于点,则．所以因为,所以,解得．经检验,均符合题意,所以．21.〔1过,两点作准线的垂线,垂足分别为,,易知,,因为,所以,所以为的中点,又是的中点,所以是的中位线,所以,而,所以,所以,,所以,而,所以；

〔2因为为的中点,是的中点,所以,所以,所以,所以抛物线的方程为．22.〔1由抛物线定义知,抛物线的准线方程为．因为抛物线方程为标准方程,所以,即,所以抛物线的标准方程是．

〔2设直线或〔舍去,,,解方程组消去,得,由题意,得,．因为线段的中点坐标为,所以,解得,验证知成立．所以,,,,所以．23.〔1设,,不妨设,则设直线的方程为,代入,可得,所以,,因为,所以,所以,．所以,因为,所以线段和关于轴对称,所以线段的长为．

〔2因为,所以两直线互相垂直,设,则,将代入,得,则,,所以．同理,所以,,所以,当且仅当时取等号,所以面积的最小值为．24.〔1设,由题意知,点一定在椭圆上,则点也在椭圆上,分别将其代入,得,,解得,,所以的标准方程为．设,依题意知,点在抛物线上,代入抛物线的方程,得,所以的标准方程为．

〔2设,,,由知,故直线的