2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第三章第2讲导数与函数的单调性Word版解析版

[基础题组练]1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的递加区间是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)分析：选D.由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1，应选D.32．(2020河·南省六校第二次联考)函数y＝x＋x＋2lnx的递减区间是( )A．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)32分析：选B.法一：令y′＝1－x2＋x<0，得－3<x<1，又x>0，故所求函数的递减区间为(0，1)．应选B.法二：由题意知x>0，故消除A、C选项；又f(1)＝4<f(2)＝7＋2ln2，故消除D选项．故2选B.xe的图象大体为()3．函数f(x)＝xexxex－ex分析：选B.函数f(x)＝x的定义域为{x|x≠0，x∈R}，当x>0时，函数f′(x)＝x2，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈(0，1)时，函数是减函数，x>1时，函数是增函数，而且f(x)>0，选项B、D满足题意．ex当x<0时，函数f(x)＝x<0，选项D不正确，选项B正确．4．(2020·山市摸底考试唐)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数－xxx－x)＝－f(x)，故f(x)为分析：选A.通解：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e＋e)＝－x(e＋ex－xx－xx－xx－xx－x>0，所奇函数，f′(x)＝e＋e＋x(e－e)，当x>0时，e>e，所以x(e－e)>0，又e＋e以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，应选A.优解：依据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)<f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，应选A.5．(2020江·西七校第一次联考)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，2]D．(－∞，2)分析：选C.由于f′(x)＝6(x2－mx＋1)，且函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝6(x2－mx＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2－mx＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤x2＋111(x∈(1，＋∞))，由于当x∈(1，＋∞)x＝x＋在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x＋xxmin时，x＋1>2，所以m≤2.应选C.x6．函数y＝4x2＋1的增区间为________．x分析：由y＝4x2＋1，得y′＝8x－1，xx211令y′>0，即8x－2>0，解得x>.x2所以函数y＝4x2＋1的增区间为1，＋∞.x21答案：2，＋∞7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象以下列图，则不等式xf′(x)≥0的解集为．分析：由f(x)图象特色可得，f′(x)在－∞，1和[2，＋∞)上大于0，在1，2上小于0，22所以xf′(x)≥0?x≥0，或x≤0，?0≤x≤1或x≥2，f′（x）≥0f′（x）≤02所以xf′(x)≥0的解集为1∪[2，＋∞)．0，21答案：0，2∪[2，＋∞)8．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，fπ，f(2)的大小关系为(用“<”连接)．2分析：由题意知，函数f(x)为偶函数，所以f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，πππ当x∈，π时，f′(x)<0.所以f(x)在区间，π上是减函数，所以f2＞f(2)＞f(3)＝f(－223)．答案：f(－3)<f(2)<f

π29．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′2.3(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.22222－1，当x＝时，得a＝f′＝3×3＋2a×333解得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，令f′(x)>0，解得x>1或x<－1；31令f′(x)<0，解得－3<x<1.所以f(x)的增区间是－∞，－1和(1，＋∞)；31f(x)的减区间是－3，1.10．已知函数f(x)＝ebx－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，2)．谈论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性．解：由于f(0)＝b－1，所以过点(0，b－1)，(2，－2)的直线的斜率为k＝b－1－（－2）＝－b＋1，0－22而f′(x)＝－b，由导数的几何意义可知，ef′(0)＝－b＝－b＋1，2所以b＝1，所以f(x)＝1x－1.e则F(x)＝ax＋1x－1，F′(x)＝a－1x，ee当a≤0时，F′(x)<0恒成立；当a>0时，由F′(x)<0，得x<－lna，由F′(x)>0，得x>－lna.故当a≤0时，函数F(x)在R上是减少的；当a>0时，函数F(x)在(－∞，－lna)上是减少的，在(－lna，＋∞)上是增添的．[综合题组练]1．(2020郑·州市第二次质量展望)函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为()A．(0，2)B．(0，3)C．(2，3)D．(3，＋∞)分析：选B.令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0，2)时，g(x)＝xf(x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，g(x)＝xf(x)是增函数．又f(3)＝0，所以g(3)＝3f(3)＝0.在(0，＋∞)上，不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，又g(0)＝0，所以f(x)<0的解集是(0，3)，应选B.2．设函数f(x)＝x－1，且f(mx)＋mf(x)<0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则实数m的取值x范围是．分析：由f(mx)＋mf(x)<0得mx－1＋mx－mx<0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，整理得mx11恒成立，即2mx21恒成立，明显m≠0，当m>0时，2x21，明显当2mx<m＋mx<m＋m<1＋m2x＝1时y＝2x2获得最小值为2，无最大值，不吻合题意；当m<0时，2x2>1＋12，当x＝1m时y＝2x2获得最小值为2，1＋12<2，解得m<－1.综上，实数m的取值范围是m<－1.m答案：(－∞，－1)1ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.3．设函数f(x)＝x3－32(1)求b，c的值；(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在递减区间，务实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，f（0）＝1，c＝1，由题意得f′（0）＝0，即b＝0.故b＝0，c＝1.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立．2则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，即－a>－x－2.xmin由于x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，22则－x－x≥2（－x）·－x＝22，2当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以－a>22，则a<－22.所以实数a的取值范围为(－∞，－22)．4．(2020·都七中检测成)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝1－ex，此中a∈R，e＝2.718xe为自然对数的底数．(1)谈论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.解：(1)由题意得12ax2－1f′(x)＝2ax－＝x(x>0)．x当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞