电路分析第13章

第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期信号周期函数分解为傅立叶级数有效值、平均值和平均功率4.非正弦周期电流电路的计算1学习目的与要求1、了解非正弦周期量与正弦周期量之间存在的关系；2、理解和掌握非正弦周期信号的谐波分析法；3、明确非正弦周期量的有效值与各次谐波有效值的关系及其平均功率计算式；4、掌握简单线性非正弦周期电流电路的分析与计算方法。2电路中的激励信号周期信号非周期信号正弦周期信号非正弦周期信号3§13.1非正弦周期信号一．非正弦周期信号按非正弦规律变化的周期性电压和电流为非正弦周期信号。例ut方波电压it脉冲波形ut三角波半波整流波形ut4tu(t)0上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。二．谐波分析法

5tu(t)0以一个周期的情况为例进行分析：u1u1与方波同频率,称为方波的基波u3u3的频率是方波的3倍,称为方波的三次谐波。u1和u3的合成波,显然较接近方波U1m1/3U1m6tu(t)0u5的频率是方波的5倍,称为方波的五次谐波。u1、u3和u5的合成波,显然更接近方波1/5U1mu135u57由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成一个非正弦周期波。u1、u3、u5等等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的谐波，并按照k是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波……。

k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次以上的谐波均称为高次谐波。8这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。1、应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；2、根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；3、最后，把所得各分量按时域形式叠加，得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。谐波分析法：

9§13.2周期函数分解为傅里叶级数

一．傅氏级数周期电流、电压、信号等都可以用一个周期函数表示，即f(t)=f(t+kT)

式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。

如果给定的周期函数满足狄里赫利条件【狄里赫利条件：在每个周期上满足(1)连续或有有限个第一类间断点；(2)有有限个极值点。】，它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，即10傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:

A0—为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(ω1t

+ψ1

)

—为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原周期函数f(t)相同；其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、…k次谐波。11上式中的系数，可由下列公式计算：上述计算式中k=1,2,3,…12二．频谱用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为f(t)的频谱图。幅度频谱：表示各谐波分量的振幅的频谱为幅度频谱。相位频谱：把各次谐波的初相用相应线段依次排列的频谱为相位频谱。13例:0Akmkω1ω15ω14ω13ω12ω16ω1由于各谐波的角频率是ω1的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为线频谱。14例:求图示周期性矩形信号的傅立叶级数展开式及其频谱。f(t)Em-Em0π2πω1ttT/2T解:f（t）在第一个周期内的表达式为利用公式求系数为:1516当k为偶数时:cos(kπ)=1,bk=0当k为奇数时:cos(kπ)=-1,bk=4Em/kπ由此求得:频谱图:0kω1ω15ω13ω1Akm17三、利用函数波形的对称性简化系数计算周期函数常常具有对称性，其傅里叶级数中不含某些谐波，利用函数的对称性，可使系数a0、ak、bk的确定简化。1.偶函数tOf(t)tOf(t)偶函数有纵轴对称的特点，即对所有的k，bk=0此时182.奇函数奇函数有原点对称的特点，即对所有的k，ak=0tOf(t)tOf(t)此时193.奇谐波函数奇谐波函数有镜对称的特点，具有这种性质的函数的正半波无论是后移或前移半个周期都与负半波互成镜像。其数学表达式为对所有的k，a2k=b2k=0a0=0tOf(t)不包含直流分量和偶次谐波分量。20§13.3有效值、平均值和平均功率一．有效值

任一周期电流i的有效值定义为：设一非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数：代入有效值公式，则得此电流的有效值为：21对上式展开后，可求得i的有效值为：

非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。

此结论适用于所有的非正弦周期量。

22二．平均值

以电流i为例，其定义由下式表示：即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。按上式可求得正弦电流的平均值为：它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。23对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。例如：用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的恒定分量；

因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。

用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；

24式中u、i取关联参考方向。

平均功率为：

不同频率的正弦电压和电流乘积的积分为零（即不产生平均功率）；只有同频的正弦电压、电流才产生平均功率。

即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和。

三．平均功率

任意一端口吸收的瞬时功率为：

25§13.4非正弦周期电流电路的计算

计算步骤:非正弦周期电流电路的计算采用谐波分析法，具体步骤如下：

(1)把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数(高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低而定。)

（2）分别求出恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。(3)应用叠加定理，把各次谐波的响应的解析式(时域形式)进行叠加，求得所需响应。26在计算时注意：对直流分量，电感视作短路，电容视作开路。2、求最终响应时，一定是在时域中叠加各次谐波的响应，若把不同次谐波正弦量的相量进行加减是没有意义的。3、非正弦周期电压、电流、平均功率与各次谐波有效值和平均功率的关系为：1、对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗与频率的关系，即：27例已知电路中：由于直流下C相当于开路，因此I0=0解例1f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。一次谐波电压单独作用时，应先求出电路中的复阻抗，然后再求一次谐波电流三次谐波电压单独作用时：28五次谐波电压单独作用时：电流解析式根据叠加定理可求得：电流的有效值：其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振。29例2已知电阻和电容并联电路R=20Ω，C=50µF，外加电压us=30+14.14cos1000t(V)，求电路的电流i(t)。对谐波分量Xc=20Ω

m=14.14/0。

/14.14/-45。=1/45。A解：对直流分量I0=30/20=1.5A

i(t)=1.5+cos(1000t+45。)A30＊例3：图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求负载两端电压的各谐波分量。Lus+-CRusUm0π2πω1t解:将给定的us分解为傅立叶级数,得（参见p323表13-1）31令k=0,2,4,•••,并代入数据,可分别求得各谐波的有效值:us＋－CRL32思考回答非正弦周期量的有效值和平均值如何计算？非正弦周期电流电路的分析计算中，应注意哪些问题？零次谐波单独作用下电感和电容分别作何处理？不同正弦谐波下L和C上的电抗相同吗？不同频率的电压、电流能否作用后产生平均功率？33作业补充题13-7补充题:一个RLC串联电路,其R=11Ω,L=0.015H,C=70μF,外加电