大学物理课件第09章温度与气体动理论

一、热学的研究对象热学是研究与热现象有关的规律的科学。凡是与物质的热运动或温度有关的物质特性和状态的变化，统称为热现象。大量分子的无规则运动称为热运动。第2篇热学

Thermology1统计规律：

大量偶然事件整体满足的规律。二、热运动的特点（1）微观粒子的运动永不停息、无规则。每个粒子的运动有极大的偶然性——无序性。（2）对大量粒子的整体，运动表现出必然的、确定的规律——统计规律。2三、热学的研究方法（1）热力学（宏观法）：实验规律→严密的推理（应用数学）优点：可靠、普遍。缺点：未及微观本质宏观法与微观法相辅相成。（2）统计物理学（微观法）：物质的微观结构+统计的方法。优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。3第9章温度和气体动理论

(TemperatureandKinetictheoryofgases)

主要内容：

平衡态

温度的概念

理想气体温标理想气体状态方程气体分子的无规则运动

4理想气体的压强温度的微观意义能量均分定理麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律的实验验证玻耳兹曼分布律实际气体等温线范德瓦尔斯方程非平衡态输运过程5⒈系统与外界热力学系统：作为研究对象的一个或一组物体。外界：系统以外的物体。2.平衡态——系统的各种性质不随时间改变的状态。是动态平衡：微观总平均效果不变。9.1平衡态

EquilibriumState6e.g.

P、V、T等3.宏观状态参量——描述平衡态的宏观量4.微观参量描述系统内分子运动状态的物理量如分子的质量m、直径d、速度v、动量p、能量

等。平衡状态下，宏观参量是微观参量的统计平均值。79.2温度的概念Temperature1.温度的定义2.热力学第零定律

如果物体A和物体B能分别与C的同一状态处于平衡态，那么A、B必定处于共同的平衡态。——共处于平衡态的系统具有相同的温度。83.温标——温度的数值表示法三要素：（1）测温物质和测温属性；（2）选定点；（3）规定测温属性随温度的变化关系。4.摄氏温标（1）选：液体（水银或酒精）体积随温度膨胀标志温度；（2）定点：1atm下水的冰点及沸点；9（3）液体体积随温度成线性关系：标准状态下，冰水混合，留一刻痕，水沸腾，又一刻痕，之间100等份，1份就是1C（摄氏度）。A和B处于平衡态，tA=tBAB酒精或水银5.热平衡两个相互接触的物体，当它们的温度相等时达到的平衡态。109.3理想气体温标（IdealGasofTemperatureScale）1.玻意耳定律

一定质量的气体，在一定温度下，其压强P和体积V的乘积是个常数。2.理想气体

在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。

常量（温度不变）113.理想气体温标

（1）选：理想气体为测温物质由玻意耳定律：（2）标准温度定点（1954年国际规定）：水的三相点：K：理想气体温标单位名称：开[尔文]水、冰和水蒸汽共存时的平衡态温度三相点温度12（3）测温属性随温度的变化关系由玻意耳定律：三相点温度测定某状态P、V，即可确定相应温度T。134.定体气体温度计

体积保持不变气体温度计使用范围：（1）T>0.5K（低压3He气）（2）实际气体在P

0时的极限模型（理想气体）4.定体气体温度计

5.热力学温标（绝对温标）

不依赖于任何物质的特性的温标在理想气体温标有效范围内，两种温标一致14热力学温度又叫绝对温度。6.国际温标：摄氏温标与绝对温标的关系：

t=(T－273.15)℃国际上按最接近热力学温标的数值，规定的一些固定点的温标。7.热力学第三定律

热力学零度（绝对零度）是不能达到的！

159.4理想气体状态方程（IdealGasEquationofState）对质量为m

的理想气体由于得到：标准状态下：P0=1.013105Pa

1mol气体的体积Vm,0=22.4l=10-3m3则：V0=vVm,0

T0=273.15K

得：16——理想气体状态方程m——气体质量(kg)Mmol——摩尔质量(kg/mol)——普适气体常量or摩尔气体常量其中：17理想气体状态方程的另一形式：n——分子数密度(m-3)k=R/NA=1.3810-23J/K1mol

的任何气体都有：

——玻尔兹曼(Boltzmann)常量——阿伏伽德罗常量18一房间的容积为。白天气温为21℃

，大气压强为0.98105Pa，到晚上气温降为12℃

，而大气压强升为1.01105Pa

。窗是开着的，从白天到晚上通过窗户漏出了多少空气（以kg表示）？视空气为理想气体并已知空气的摩尔质量为29.0g/mol。例9.1解：由理想气体状态方程得到：19由于V等于房间容积始终不变，所以漏出的空气为：结果负号表明，从白天到晚上有空气流进了房间。20恒温气压。求大气压强P

随气体的高度

h

变化的规律。设空气温度不随高度改变.例9.2解：设高度h处有一薄层空气，厚dh，底面积为S，其上下面的气体压强分别是P+dP和P.该薄层空气的重力为由力的平衡条件：21由理想气体状态方程得到代入dp公式可得分离变量积分得出22或

——恒温气压公式——一种高度计的原理（适用高度2km）对珠穆朗玛峰顶，h=8844.43m(2005年)，算出珠穆朗玛峰顶温度很低，p值实际更低。取239.5气体分子的无规则运动（MotionofGasMolecular）1.分子的平均自由程和平均碰撞频率一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。（1）平均自由程一个分子连续二次碰撞之间所经过的各段路程的平均值。（2）平均碰撞频率二者关系：242.平均自由程和平均碰撞频率的统计解释②分子有效直径为d（分子间距平均值）（1）分子模型

①分子为刚性小球Addd③其他分子皆静止,只有分子A以相对平均速率运动.以A分子球心所经过的轨道为轴线，以d为半径作一圆柱体25Addd凡中心在圆柱体内的分子均会与A相碰（2）统计计算碰撞截面一秒钟内与该A碰撞的分子数为：可证可得平均碰撞频率为一秒钟内与该A碰撞的分子数为：26由由理想气体状态方程可得平均自由程为平均自由程又可写为

——T一定时，平均自由程与P成反比。对空气分子d≈3.510-10m标准状态下气体容器线度时，实际就是容器的线度。279.6理想气体的压强（Pressure

ofIdealGas）类比：压强产生于大量分子在无规则运动中对器壁的碰撞。推导：理想气体分子模型＋统计方法28⒈关于每个分子的力学性质的假设⑴分子可看作质点；

⑵除碰撞外，分子之间和分子与器壁之间均无相互作用；⑶碰撞是弹性的；⑷分子的运动遵从经典力学规律。

自由的、遵循经典力学规律的弹性质点。理想气体分子的微观模型：292.关于分子集体的统计假设①分子运动速度不同，通过不断碰撞而变化；——揭示大量偶然事件整体规律的方法

大量分子对器壁碰撞：恒定的、持续力的作用单个分子对器壁碰撞:偶然性、不连续性②平衡态时，分子按位置的分布是均匀的；分子数密度各处相同30③平衡态时，分子的速度按方向的分布是均匀的，即其中由于对每个分子两侧取平均则31注意①

dV应是宏观小微观大的体积元Eg.标准状态下，1cm2的空气中有2.71019个分子若dV=10-15m，dV内有1010个分子②

涨落——各时刻的dN/dV

值相对于平均值n的差别。通常，dV=10-15m——“宏观大”，涨落相对于平均值n可忽略不计。32⒊压强公式的推导设容器体积：V

每个分子的质量mni为第i组分子的分子数密度总的分子数密度总分子数：N把分子按速度区间分成若干组到区间，其速度都为设第i组分子的速度在33设dA法向为x轴选取容器上一面积微元dA①分子一次碰撞给予器壁的冲量：器壁对分子：分子对器壁：②

dt时间内与dA碰撞的分子数：⑴第i组分子对器壁的冲量34③在dt时间内，分子给器壁的冲量：⑵

dt时间内，所有分子对器壁的总冲量对所有vix>0的分子求和：⑶气体的压强35由于气体压强其中——分子的平均平动动能压强公式369.7温度的微观意义(TheMicroscopicInterpretationofTemperature)1.温度公式由或——温度公式各种理想气体在平衡状态下，其分子平均平动动能只与温度有关，且与T成正比。37注意①T是宏观状态参量，只适于平衡态；②温度T是统计概念；③温度与热力学系统的整体运动无关。是相对于系统的质心参考系测量的.内动能：系统内所有的平动动能的总和。——温度反映的是分子的无规则运动（又称热运动）。382.方均根速率由得到——方均根速率求00C时，氢气和氧气分子的平均平动动能和方均根速率。例9.3解：氢气和氧气分子的平均平动动能相等39“量子零度”按温度公式，当T0K时，气体分子的0，即分子运动停止。这是经典理论的结果。金属中的自由电子也在不停运动，组成“电子气”，在低温下不遵守经典统计规律。量子理论给出，即使在0K时，电子气中的电子的平均平动动能并不为零。例如，铜块中的自由电子在0K时的平均平动动能为4.23eV。如按经典理论的计算，这样的能量相当于多高的温度？例9.4解：差异大！409.8能量均分定理(EquipartitionTheoremofEnergy)⒈运动自由度（自由度）物体的能量常以“平方项”和的形式出现，能量表示式中“平方项”的数目即运动自由度。Eg.自由物体的平动动能转动动能412.分子的自由度一维振子的能量HeO2①单原子分子Ne自由度i=3——平动自由度t=3②单原子分子H2自由度i=5——平动自由度t=3+转动自由度r=242平动自由度t转动自由度r总自由度i＝t＋r单原子分子303刚性双原子分子325刚性多原子分子336H2OCO2NH3CH3OH③多原子分子自由度i=6——平动自由度（t=3）+转动自由度（r=3）气体分子的自由度43由统计假设：平衡状态下，大量气体分子沿各方向的运动机会完全相等。平衡状态下，分子的每一个平动自由度的平均动能都相等。3.能量均分定理①平动自由度上的平均动能44②能量均分定理

——在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均能量都相等，等于。分子的平均总动能：单原子分子——刚性双原子分子——刚性多原子分子——454.理想气体的内能气体的内能——所有分子的无规则运动动能与分子间相互作用势能的总和。理想气体的内能=所有分子动能的总和。每个分子的平均动能为分子总数为Ｎ理想气体的内能为由上式变为46理想气体的内能只是温度的函数，且与热力学温度成正比。质量为m的理想气体的内能为479.9麦克斯韦速率分布律(DistributionofMaxwellSpeeds)⒈速率分布函数设一定温度下，分布在某一速率间隔v—v+dv内的分子数为dN，其占总分子数N

的百分比dNv/N与dv成正比，也是

v

的函数。一个分子的速率在速率v所在的dv区间内的概率——“概率密度”48表示：平衡态下，速率在v附近所在的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

一个分子的速率处于v附近单位速率区间的概率—“概率密度”——速率分布函数其中性质：——归一化条件492.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数为：在平衡态下，理想气体分子速率在v—v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比为3.麦克斯韦速率分布曲线①几何意义50曲线下小窄条的面积为曲线形状：f(v)v0T1,m1T2,m2对应于：m1=m2时,T2>T1T1=T2

时,m2<m1曲线下的面积为51②三种速率最概然速率vP——vP所在区间内的分子数占分子总数的百分比最大。温度越高，速率大的分子数越多由而v=vP时，52平均速率53方均根速率三种速率比较：54大气组成。计算He和N2分子在20oC时的方均根速率，并以此说明地球大气中为何没有氦气和氢气而富有氮气和氧气。例9.5解：地球表面的逃逸速度为v=11.2km/s，由速率分布原因，大部分He可逃逸，而大部分N2不能。553.麦克斯韦速度分布率的推导（1）设总分子数N，粒子速度在x，y，z三个方向的分量分别为vx

，vy，vz

。dNvx：

vx—vx+dvx速度分量区间的粒子数粒子在vx

附近dvx区间内出现的概率:平衡态时，粒子在各个方向出现的概率相等:56

分布函数g(vx):粒子在单位vx

区间内出现的概率。（2）粒子出现在vx—vx+dvx，vy—vy+dvy，vz—vz+dvz间的概率：——速度分布函数（3）粒子向各个方向运动的概率相等，速度分布函数与粒子速度方向无关57则因而g(vx)应有的形式为：由此：令由归一化条件，得到：58利用数学公式：得到：得到麦克斯韦速度分布函数：59用麦克斯韦按速度分量分布函数，求出单位时间内碰撞到单位面积器壁上的分子数。例9.6解：dt内碰到面积dA容器上速度在dvx区间的分子数:单位时间碰到单位器壁面积上速度在dvx区间的分子数:由60由于相同时间内泄漏出的分子数与分子的质量的平方根成反比。（富集天然铀中的235U，见书P322）619.10麦克斯韦速率分布律的实验验证(VerificationtestofdistributionofMaxwellSpeeds)L=20.40cmr=10.00cml=0.0424cm=4.8R以转动，改变，相应速率v的原子通过；测相应v—v+dv的射线强度，就可测气体速率分布。62由麦克斯韦速率分布知：D上v—v+v区间的原子数通过细槽的v区间的原子数极大值：63*9.11玻耳兹曼分布律(DistributionofBoltzmann)求状态区间dvxdvydvzdxdydz的分子数为?

1.玻尔兹曼分布律平衡态下（温度一定）速度区间vx—vx+dvx

vy—vy+dvy

vz—vz+dvz位置区间x—x+dxy—y+

dy

z—z+

dz64——称为玻尔兹曼因子玻尔兹曼将麦克斯韦速率分布率推广，以Ep+Ek代替Ek

，得到玻耳兹曼分布律：在温度为T的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量Ｅ有关，而且与成正比——玻尔兹曼分布652.重力场中分子按位置的分布重力场中分子的分布状态区间dvxdvydvzdxdydz分子的总能量

由玻尔兹曼分布求体积元dxdydz中的分子数

66C与[

]中的定积分合并为常数C′体积元dxdydz中的分子数密度为

——分子在EP=0处分子的数密度67EP=mgh，则重力场中气体分子的密度n随高度h的增加按指数规律而减小。1909年的皮兰实验的验证由理想气体的压强P=nkT——恒温气压公式689.12实际气体等温线(IsothermalsofrealGas)←CO2的等温线PVO理想气体等温线较大压强及较低温度时，不能看作是理想气体691.基本概念：饱和蒸汽：液体与其蒸汽共存且能处于平衡的状态；饱和蒸汽压：饱和蒸汽的压强临界温度临界等温线临界点临界态临界参量702.实际气体的等温线的四个区域:蒸汽或汽态(能液化)：KB曲线右侧区域；汽液共存：BKC曲线以下区域；液态：临界等温线和KC左面的区域。气态(不能液化)：临界等温线以上的区域719.13范德瓦尔斯方程(VanderWaalsequation)分子力示意图当r<r0时，斥力；当r>r0时，引力；当r>s时，分子力0当r=r0时，分子力=0r0：平衡距离当r<r0时，斥力；1.分子力s:有效作用距离72实际气体的分子模型：有引力的刚性球d:分子的有效直径2.范德瓦耳斯方程1mol气体考虑分子本身的体积理论上，b约为1mol气体分子本身体积的4倍p增大，容积与b可比拟时，b的修正必须考虑73分子间引力引起的修正器壁受到的压强要比没考虑引力时要小气体内压强的产生

内压强pin

：表面层分子受到指向气体内部的单位面积的作用力.或a：反映分子之间引力的常量741mol气体的1mol气体的1mol气体的1mol

气体的范德瓦耳斯方程质量为m的气体的范德瓦耳斯方程（其中）对氮气，常温和压强低于5107Pa范围a=0.84105PaL2/mol2，b=0.0305L/mol75范德瓦尔斯气体等温线CF：过热液体引入汽化核心—汽化气泡室BC：虚线实际气体FE：实际不可实现BE：过饱和蒸汽引入凝结核心-液化BC云室3.范德瓦耳斯气体等温线临界等温线3.范德瓦耳斯气体等温线76气泡室的外形和高速粒子径迹的照片77*9.14非平衡态输运过程(non-equilibriumstateandTransportprocess)当气体的宏观物理性质（如：流速、温度、密度）不均