二次函数北师大版数学 九年级下册 二次函数 课件

二次函数北师大版数学九年级下册第二章二次函数1、什么是函数？2、什么叫做一次函数？3、函数有哪些表示方法？

在某一变化过程中，有两个变量x

和y

，如果对于x的每一个可取的值，都有唯一一个y值与它对应，那么y称为x的函数。形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)解析法列表法图象法知识回顾在以往所学函数的基础上，本节课我们学习一种新的函数形式——二次函数，二次函数的在日常生活中很常见，我们一定要学好它！情境引入

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

(100+x)棵(600-5x)个

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000新知探究总

结果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000.1知识点二次函数的定义做一做银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式.（1）两数和是20，设其中一个数是x，你能写出中两数之积y的表达式吗？（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？想一想1．定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示

成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x

的二次函数；其中a是二次项系数，b为一次项系数，c为

常数项．要点精析：(1)二次函数必须满足三个条件：①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.(2)二次函数中自变量的取值范围是一切实数，函数值范围不

是一切实数．2．判断一个函数是否为二次函数的方法：(1)将函数表达式整理为右边是含自变量的代数式，左边是

因变量的形式；(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式；(3)判断自变量的最高次数是否为2；(4)判断二次项系数是否为0.3．易错警示：判断一个函数是不是二次函数，化为一般形

式后当二次项系数包含字母时，一定要注意二次项的系

数不能为零这一条件．例1

下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数

的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；(3)y＝3a3＋2a2；(4)y＝x－2＋x;(5)y＝3(x－2)(x－5);(6)y＝x2＋.解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为

－5，一次项系数和常数项为0；(5)化为一般式，

得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的

二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项

式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．

例2已知函数y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋

是y关

于x的二次函数，求a，b的值．解：由题意得

解得1、m取何值时，函数是y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数？随堂练习12、拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x(m),种植面积为y(m2).1113x解：y=(60-x-4)(x-2)3、下列函数表达式中，一定为二次函数的是(

)A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1D．y＝x2＋4、下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A．y＝B．y＝x2＋

＋1C．y＝2x2－1D．y＝5、下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A．y＝ax2＋bx＋cB．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2D．x2－y2＋1＝05、若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，

则(

)A．m≠－2B．m≠2C．m≠3D．m≠－36、若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是(

)A．1B．－1C．1或－1D．27、下列结论中正确的是(

)A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值可以是所有实数C．形如y＝ax2＋bx＋c的函数叫二次函数D．二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能为零2知识点利用二次函数的表达式表示实际问题

1．根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下

几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关

系列出方程或等式．(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．2．易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范

围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必

须使实际问题有意义．

例3

填空：(1)已知圆柱的高为14cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半

径r(cm)之间的函数关系式是_______________；(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，y与x之间的函数关系式是_____________________．(1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解；(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x)

＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2

＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10

－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)导引：总

结(1)求几何问题中二次函数的关系式，除了根据有关面积、体积公式

写出二次函数关系式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变

量的取值(在一些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一

定的范围内)；(2)如果不能通过已知条件直接写出函数关系式(直接法)，应适当考

虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积和差的问题(间接法)，

再寻求解答；判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，

不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的取值范围的常

见方法．(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是在自变量取

值范围内的部分图象．例4〈易错题〉在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要

在一块靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，

花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设

花园平行于墙的一边长为xm，花园的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)满足条件的花园的面积能达到200m2吗？若能，求出此

时x的值，若不能，说明理由．导引：本例根据实际问题建立数学模型，转化为几何问题，

得出的有关结果要符合实际，因此列函数关系式时，

要求出自变量的取值范围．解：(1)因为栅栏的总长为40m，如图，

若BC的长为xm，则AB的长为m.

由

可得0<x≤15.

根据题意，得y＝x·，即y＝－

x2＋20x，

所以y＝－

x2＋20x(0<x≤15)．(2)不能．理由如下：当y＝200时，－

x2＋20x＝200，所

以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因为0<x≤15，所以此

花园的面积不能达到200m2.总

结(1)此题将生活问题转化为几何问题，列生活中有关几何

面积问题的函数关系式，一般先要根据题中条件求出

自变量的取值范围，再由相关的面积公式求出函数关

系式．(2)求自变量的取值范围，应结合问题，全面考虑，不要

漏掉一些约束条件(如本例中墙长15m)，列不等式组

是求自变量取值范围的常用方法．(3)本例(2)中常常因不考虑自变量x的范围而出现错误结

论．1、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(

)A．y＝60(1－x)2B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2D．y＝60(1＋x)2随堂练习22、如图，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH，已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分的面积为y，则y与x