第七章应力与应变分析、强度理论

第七章应力与应变分析、强度理论第一,二节应力状态的概念

第三节平面应力状态分析(解析法)

第四节平面应力状态分析(图解法)

第五节三向应力状态简介

第八节广义虎克定律

第十一,十二节四种强度理论请看下列实验现象：低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的扭转实验应力状态概述问题的提出复习:低碳钢拉伸实验韧性材料-低碳钢轴向拉伸时为什么会出现滑移线？滑移线铸铁扭转实验脆性材料-铸铁扭转时为什么会沿450螺旋面断开？以前的知识不能解释这些现象

钢筋混凝土简支梁问题的提出轴向拉伸杆件斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：梁弯曲的强度条件：z问题2

一点处应力该如何校核？

——有必要研究一点的应力状态。一方面：研究通过一点各不同方位截面上应力的变化规律。一方面：需要探求材料破坏的规律。建立复杂受力时的强度条件研究在各种不同的复杂受力形式下：强度失效的共同规律假定失效的共同原因利用单向拉伸的实验结果强度理论FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受力之前,表面斜置的正方形这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。

受拉后，正方形变成了菱形。FPFP拉伸表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。圆变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。扭转MxMx？一点的应力状态：

过一点处，即一微元所有方位面上的应力集合，称为该点的应力状态。（1）什么是一点的应力状态围绕一点作一微小单元体，即微元为什么分析一点的应力状态？找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。1.基本概念根据微元的局部平衡拉中有剪剪中有拉不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。横截面上的正应力分布应力的点的概念：同一面上不同点的应力不一定相同。横截面上的剪应力分布应力的面的概念：同一点不同方向面上的应力也不一定相同。应力指明哪一个面上

哪一点？哪一个点上

哪一方向面？应力状态分析(analysisofstress-state)是用平衡的方法，分析过一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系，并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。

研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析在单元体各面上标上应力：应力单元体

应力状态的分类yxz各边边长,,dxdydz2.两个相互平行侧面上的应力情况相同.3.代表点三个相互垂直方向上的应力情况.1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的.单元体的特点应力与应变分析PMeMePPMeMec)同b)但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面As=P/Ast=Me/WnABC几种受力情况下截取单元体方法：

（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面(法线)，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。

（2）面的方位用其法线方向表示单元体上的应力分量应力与应变分析

根据材料的均匀连续假设，微元体各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系:

正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz应力与应变分析应力角标规定：第一角标表示应力作用面(法线表示)，第二角标表示应力平行的轴，角标相同时只用一个角标表示.二、应力状态分类(按主应力)

基本概念主平面：单元体上剪应力为零的面；

主应力：主平面上作用的正应力，用s1、s2、s3表示，按s1≥s2≥s3(根据大小排列).应力与应变分析旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy

2、应力状态的分类1)、空间应力状态:

三个主应力1、2、3均不等于零2)、平面应力状态:

三个主应力1、2、3中有两个不等于零3)、单向应力状态

三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111空间应力状态yxzxy平面应力状态特例三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例特例取单元体示例FPl/2l/2S截面5432154321S截面5432154321S截面12

3

alSF

例:画出如图所示梁危险截面危险点的应状态单元体

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213例:分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积:mmnpD′nn(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F直径平面(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象p"yOFNFNd一、平面应力分析的解析法

1.平面应力状态图示：

第三节平面应力状态分析sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx

平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx–3方向角与应力分量的正负号约定拉为正压为负正应力剪应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。方向角由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。平衡对象平衡方程参加平衡的量——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积–3微元的局部平衡利用三角中的倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：

3738xyxy例:图示单元体，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况n30°ef解:求

ef截面上的应力403020asata

例:图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力[例]分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。解：y＝0，yx＝0。

当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力：

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。

认为屈服是由最大剪应力引起的[例]分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆轴试样扭转破坏的主要原因。解：纯剪应力状态下x＝y＝0，纯剪应力状态压应力最大拉应力最大根据公式：铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面(即-45º螺旋面)断开的。因此，认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

1)最大正应力及方位令:0和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.将0和

0+90°代入公式:得到max和

min(主应力）

txy箭头指向第几象限(一、四)，则较大主应力在第几象限txys's"a0*txys"s'a0*2)最大切应力及方位:令:1和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.将1和

1+90°代入公式:得到max和min可见解（1）求主平面方位因为x

=y

，且xy>0例:求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max对应45°（2）求主应力1=，2=0，3=-13xyxy例:图示单元体，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:(1)求

ef截面上的应力xyxy22.5°13(2)求主应力和主单元体的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa=-30°403020asata40203014.9os"s's"s'

例:图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。例:简支梁如图所示.已知mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图xAA01313tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态解:取单元体ABCD例:

分析圆轴扭转时的应力状态。

4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s35)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。RO第四节平面应力分析的图解法—应力圆1.理论依据：

①

为半径的圆。②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y以为半径的圆。2.应力圆的绘制：

①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata2.应力圆的绘制：

①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。说明夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2OCBAsxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE单向拉伸

单向拉伸tsodac2×45º2×45ºbe可见，45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。单向拉伸ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs1＝ts3＝tBE纯剪应力状态结果表明：45º方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。otsttADs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主应力单元体a(0,t)d(0,-t)bec2×45º2×45º纯剪应力状态4、主应力与主平面(1)主应力与主平面主平面（PrincipalPlane）：切应力为零的平面(与应力圆上和横轴交点对应的面)主应力：作用于主平面上的正应力主单元体:各侧面上只有正应力作用,而无剪应力作用的单元体

(2)主应力的确定(4)主应力的表达式(3)主方向的确定过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力(5)主应力的排序301050单位：MPa3010FF求：1)a=30o斜截面上的应力；

2)主应力及其方位；

3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020xasata40.3-40.3

例:

用应力圆法重解例题。求例D’60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆

D’60EFτσO

例:两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面c上a,b

两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC12015152709zab250KN1.6m2mABC解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图+200kN50kN+80kN.mFSmax=FC左

=200kNMmax=MC=80kN•m(2)横截面C上a点的应力为a点的单元体如左图所示axxxyyx由x，xy

定出D

点由y，yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆OC(3)做应力圆

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力

1和

3A1点对应于单元体上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)横截面C上b点的应力b点的单元体如图所示bxxb点的三个主应力为1所在的主平面就是x

平面,

即梁的横截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1第五节三向应力状态yxz在受力物体的任一点处一定可以找到一个主应力单元体，其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为σ1、σ2、σ3。对危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算时，通常需确定最大正应力和最大切应力。1).弹性理论证明，单元体内任意截面上的应力都对应着应力圆上或阴影区内的一点。tmax结论——3).整个单元体内的最大切应力为：2).整个单元体内的最大正应力为：4).整个单元体内的最大切应力所在的平面：与主平面垂直，并与和主平面互成45°夹角。例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：1)x面为主平面之一2)建立应力坐标系如图，画y—z平面的应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,2)求y—z面内的最大、最小正应力。3)主应力4)最大切应力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面应力状态作为三向应力状态的特例20050O3005030050O第八节广义虎克定律知识点复习

设杆原长为l，直径为d,受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。轴向(纵向)应变：其中：拉应变为正，压应变为负。横向应变：

胡克定律：

实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数u----称为横向变形系数（泊松比）一、广义虎克定律1.有关概念：

主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；

2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：第八节广义虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2IIIs3二、例题

例:在一体积较大的钢块上有一直径为50.001mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，u=0.30。PpPP/AppppP/App

解：①在柱体横截面上的压应力为：②在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，由于柱与凹座之间有间隙，因此应变e2的值为：③由广义虎克定律：

求得：④柱内各点的三个主应力为：单元体的应变能密度：利用广义胡克定律:

第九节复杂应力状态下的应变能密度

对于在线弹性、小变形条件下受力物体，所积蓄的应变能至取决于外力的最后数值，而与加力顺序无关。体积胡克定律:形状改变比能:单元体的比能

(单位体积储存的变形能)：利用广义虎克定律:

2

3

1

图a

m

m

m图b

2

3

1-

m-

m-

m图c图b体积改变，形状不变；图c形状改变，体积不变。单元体的应变能：—

称为体积改变比能

图c

图b图

a图C单元体的体积应变：单元体的比能＝体积改变比能(b)＋形状态改变比能(c)—

称为形状改变比能所以图C单元体体积不变图a

单元体的体积应变：——称为形状改变比能或畸形能图c图b图ab图的体积应变比能：1.简单应力状态下强度条件可由实验确定

2.复杂应力状态下，材料的失效方式与材料性质、其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关第十节强度理论的概念强度理论：构件在静载荷作用下的两种失效形式：

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。

人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）

。强度准则：①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂；②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说

(假说—实践—理论)③通过强度准则，并利用单向拉伸实验结果来建立各种应力状态下的失效判据以及相应的设计准则。两类强度理论：1.第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）既第一,第二强度理论

2.第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志）既第三,第四强度理论四个强度理论

准则：无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力s1达到某一极限值则材料发生断裂。1.断裂原因：最大拉应力s1（与应力状态无关）3.强度条件：

2.破坏条件：一、第一强度理论（最大拉应力理论）4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；由于未考虑其余主应力影响因此不能用于无拉应力的应力状态。二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）

准则：无论材料处于什么应力状态，只要最大伸长线应变e1达到某一极限值,材料即发生断裂。1.断裂原因：最大伸长线应变e1（与应力状态无关）；

3.强度准则：

2.破坏条件：4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。

三、最大切应力理论（第三强度理论）

准则：无论在什么样的应力状态下，只要最大切应力tmax达到某一极限值材料就发生屈服。

1.屈服原因：最大切应力tmax（与应力状态无关）；

2.屈服条件：

3.强度准则：

4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。

四、第四强度理论（形状改变比能理论）

准则：不论应力状态如何，只要畸变能密度达到某一极限值材料就发生屈服。1.屈服原因：最大