第三章测量误差分析与数据处理

第三章测量误差分析与数据处理

测量误差的概念测量误差分类和误差理论分析误差传递原理测量数据处理安全检测的质量控制第一节测量误差的概念

测量是一个变换、选择、放大、比较、显示诸功能的综合作用，又是一个对比、示差、平衡、读数的比较过程。作为测量者的主观愿望，总是力求测量结果与被测量的真实值尽量接近。但由于客观与主观诸多因素影响，使得测量结果与被测量的真实值之间总存在一个或大或小的差值，称之为测量真误差，或简称差。第一节测量误差的概念

真实值与测得值

真实值是指某一被测量在一定条件下客观存在的、也就是实际具备的量值。严格讲：由于测量误差的普遍存在，若想通过测量得到某被测量的真实值是不可能的。通过测量得到的只能是真实值的近似值。但在实际工作中可把下面三种量值看作是真实值。

真实值第一节测量误差的概念

真实值与测得值

（1）真值(A0)

真值也称为理论值、理论真值或定义值，即根据一定的理论，在严格的条件下，按定义确定的数值。在实际测量中这种值是测不到的，但这种值又确实存在。（2）指定值(As)

指定值又称约定真值、相对真值或代替真值。由于被测量的真值不能通过测量得到。为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法术来确定真值。

（3）传递值(A)

由于指定值(As)的获得比较困难，而在实际测量中对测量结果的精度要求又不是那样高，因此在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精度，其测量误差可以忽略的测量结果，称为传递值或称实际值。

以上三种值，就是在理论研究和科技工作中所能遇到的、可认为是被测量真实值的数值。第一节测量误差的概念

真实值与测得值

测得值包括通过各种实验所得到的量值，其来源多是测量仪器或各种测量装置的读数和指示值，由于测量过程中普遍存在着测量误差，所以测得值都是被测量真值的近似值。对一般测量，可直接把测得值作为测量结果表示出来。对于精密测量，则应根据误差理论及有关知识对测得值进行加工整理，然后才能给出合理的测量结果。只有这样，才能充分利用所具备的测量条件，得到比较精确的测量结果。测得值

常用的把测得值作为测量结果的表示方法单次测得值算术平均值

真实值与测得值

第一节测量误差的概念

加权平均值

中位值

众值

几何平均值方均根平均值测量误差主要来自两个方面的原因：(1)在测量过程中产生的误差(2)在处理测量数据时产生的误差

测量误差的来源第一节测量误差的概念

（1）在测量过程中产生的误差测量误差的来源第一节测量误差的概念

①方法误差

②装置误差

③环境误差

④主观误差

上述四种测量误差的来源是从参加测量的四个环节，即人员、设备、方法和条件概括出来的。

（2）在处理测量数据时产生的误差

测量误差的来源第一节测量误差的概念

①有效数字的化整误差

②利用各种数学常数引起的误差如，＝3．141593…e＝2．71828…

③利用各种近似计算带来的误差，例如

④利用各种物理常数产生的误差

例如，物质的密度、粘度、导热系数、热膨胀系数、特种导体的电阻率、光学材料的折射率等。

（1）按误差的表达式划分——绝对误差与相对误差

①绝对误差误差的分类第二节测量误差分类和误差理论分析

测试误差绝对值的大小，表明了测试的精确度。误差的绝对值越大，则测试的精度越低；绝对值越小，精度越高。因此，在测试过程中如何设法尽量使测试误差减至最小，是提高涸试精确度主要考虑的问题。

②相对误差，相对误差是绝对测量误差与被测量真值的比值对测试装置的相对误差常用示值误差与示值范围(即满刻度值)的比值来表示。如某电感式测微仪，具有四挡，其示值范围分别为：±100m、±30m、±10m、±3m，如果其示值的绝对误差相应为±2m、±0.6m、±0.2m、±0.06m，则其相对示值误差均为2％。（2）按误差出现的规律划分—系统误差、渐变误差、随机误差与粗大误差

①系统误差

误差的分类第二节测量误差分类和误差理论分析

系统误差是测量系统本身固有的。是由其构造因素所决定的。

②渐变误差随着时间缓慢变化的测试误差称为渐变误差。由于存在渐变误差，故必须对各种仪器及传感器作定期的检定和校正。

③随机误差

在一定的测试条件下，对某一参数进行多次重复测量时，所得各次测定值的误差没有确定的规律，其符号和数值大小均不定，这种误差称为随机误差，又称偶然误差。④粗大误差

粗大误差亦称过失误差(或反常误差)，它是由于某种过失引起的明显与实际不符的误差。（3）按使用条件划分—基本误差与附加误差

①基本误差

误差的分类第二节测量误差分类和误差理论分析

仪器或传感器在标准条件下使用时所具有的误差称为基本误差，它后于系统误差。其标准条件由国家标准或企业标准明确规定，称为标准条件(例如：温度为20℃±0．5℃，电源电压为220V±50％，相对湿度小于80％等等)。②附加误差

当使用条件偏离标准条件时，仪器或传感器必然在基本误差的基础上增加新的系统误差，称为附加误差。

（4）按被测量速度划分－静态误差与动态误差①静态误差

误差的分类第二节测量误差分类和误差理论分析

当被测量稳定且不随时间变化时的测试误差称为静态误差。②动态误差

在被测量随时间而变化的过程中所产生的附加误差称为动态误差。

研究误差的目的①分析误差的性质和产生的原因，并采取相应的措施，以便从根源上消除误差，或将误差减小到最低限度。误差的分类第二节测量误差分类和误差理论分析

②正确计算和处理各种测量数据，尽可能提高测量结果的精确度。正确表达测量结果以适应各方面的需求和交流。

③合理地安排测量过程，正确地设计或选用计量器具和测量方法，以求在满足测量精度要求的前提下，提高测量效率，降低测量成本。⑴随机误差①对称性绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。即当测量次数n相当大时，绝对值相等符号相反的随机误差出现的机会相同。

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

②有界性绝对值很大的误差出现的概率为零。即在一定的条件下，随机误差的绝对值不会超过某一界限。

③单峰性绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率。绝对值小的误差较绝对值大的误差出现的次数多。

1）随机误差所遵循的统计特征④抵偿性随着测量次数n的增加，随机误差代数和趋于零。

2）随机误差的正态分布规律凡是符合随机误差四条特征的随机误差，都服从高斯(正态)分布定律。⑵系统误差

①不变的系统误差(恒系差)不变的系统误差就是指在整个测量过程中，误差的符号和大小都是固定不变的误差。

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

②线性变化的系统误差在测量过程中，随某些影响因素(如测量次数或测量时间)的变化，误差值也成比例增大或减小的系统误差称线性变化的系统误差，也称累进系统误差。

③周期性变化的系统误差

在测量过程中，随着测量值或测量时间的变化，以差值呈现周期性变化的系统误差皆属周期性变化的系统误差。

1）系统误差的性质和分类

④

复杂规律变化的系统误差除前述三种比较典型的系统误差变化规律外，其它都可用复杂规律变化来概括。

①实验对比法

实验对比法是通过改变产生系统误差的因素或条件进行不同条件或不同方法的测量来发现系统误差的存在。这种方法适用于发现不变的(或称恒定的)系统误差。它也是发现恒定系差最根本的方法。

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

②发现系统误差的方法还有：剩余误差观察法；剩余误差效核法等。

2）发现系统误差的简单方法

①从产生系统误差的根源上消除系统误差

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

②利用修正值C消除系统误差

③几种消除系统误差的典型方法

a.置换法(代替法)b.零示法c.抵消法

d.补偿法

e.交换法(对置法)

f.对称观察法

g.半周期观察法

3）消除或削弱系统误差的方法

⑶误差合成分项误差是指在研究测量误差对最后测量结果的影响时，根据需要与可能而确定的单独某一因素或环节的影响而产生的测量误差。

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

分项误差是总误差的一个分量，而总误差是受许多因素影响而构成的。

误差的合成，也称误差的综合，它是解决如何根据各分项(单项)误差来评定最后测量结果的误差。

2）误差所遵循分布规律的确定对服从统计规律的测量误差，即随机误差和未定系统误差，只有掌握它所遵循的统计规律才能对它进行研究。

误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

3）各分项误差间相关程度的确定在对各分项误差进行合成时，必须考虑各分项误差之间是否相互独立问题。4）分项误差的划分及项数的确定从不同的角度或按不同的原则划分出各分项误差，得到不同的项数。

1）误差性质的确定根据测量误差的性质可把误差分为系统误差，随机误差和粗大误差。

随机误差的合成误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

①利用误差传递定律合成

利用误差传递定律对分项随机误差进行合成，各分项随机误差应满足：分项误差所遵循的统计规律可用正态分布规律来描述；各环节或各种因素构成的分项误差是相互独立的，各环节或各种因素的取值与最后测量的函数关系为己知，即

②利用随机变量方差合成原理合成

对于要进行合成的各分项随机误差，若能用最后测量结果的相同单位表示其大小（若用不同单位则用无单位的相对值表示，但作为比较标准的固定值，数值过小时应慎重对待），各分项随机误差可按线性求和的关系考虑时，则最后合成的综合误差可按随机变量求和后的方差来进行误差合成，最后求出其均方根差（即标准误差）。

系统误差的合成误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

①已定系统误差的合成无论是不变的系统误差还是按线性规律、周期性规律和复杂规律变化的系统误差，都应出用代数和的方法计算其合成误差。即②未定系统误差的合成未定系统误差系指测量误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机误差一面。对未定系统误差可用下述几种方法合成。a.绝对和法b.方和根法c.广义方和根法⑷误差合成误差理论分析

第二节测量误差分类和误差理论分析

把影响最后测量结果的所有随机误差和系统误差的权限误差进行合成，就可得到最后测量结果的综合极限误差，或称最后测量结果的综合不确定度。设影响最后测量结果的有：含有r项已定系统误差：m项未定系统误差和n项随机误差则最后测量结果的综合极限误差U可按下式计算在日常工作中遇到的大量测量都是间接测量。即被测量需通过许多直接测量的结果，经过一定关系的组合才能得到。如何根据各直接测得量的测量误差来评定组合后的误差；或总的精度要求为己知，在满足总要求的前提下，如何解决组合内部直接测得量误差的合理分配问题，都是误差传递理论所要解决的问题。误差传递理论实质上就是解决间接测量结果的误差评定所需的理论。作为间接测量最后测量结果的最佳表达式也应当由两部分组成。即测量结果及相应的精度参数两部分第三节误差传递原理

通过各种实验和测量得到数据，并不是工作的完结，还需对实验数据进行处理。

根据数字占有的位数是否有效，可把数分为两大类：有效位数为无限的数，如1/3，等

第四节测量数据处理

有效位数为有限的数

23

23.00

不考虑测量误差，单从有效数字来考虑，在数学上23与23.00两个数是相等的。而作为表示测量结果的数值，两者相差是很悬殊的。用23表示的测量结果，其误差可能为±0.5；而23.00表示的测量结果，其误差可能是±0.005。

有效数字的概念

由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切值或可疑值外，其它数字皆为可靠值或确切值，则组成该数的所有数字包括末值数字称为有效数字，除有效数字外其余数字为多余数字。

第四节测量数据处理

整数前面的“0”无意义，是多余数字。对纯小数，在小数点后，数字前的“0”因只起定位，决定数量级的作用(相当于所取的测量单位不同)，所以，也是多余数字。处于数中间位置的“0”是有效数字。处于数后面位置的“0”是否算有效数字可分三种情况：数后面的“0”，若把多余数字的“0”用10的乘幂来表示，使其与有效数字分开。这样在10的乘幂前面所有数字包括”0“皆为有效数字。作为测量结果并注明误差值，其表示的数值等于或大于误差值的所有数子，包括“0”皆为有效数字。有效数字的概念

一个数，有效数字占有的位数，即有效数字的个数，为该数的有效位数。

第四节测量数据处理

00713，0.0715，703，7.03×103，这四个数的有效位数皆为3，有效数字都是3个。

⑴对不需要标明误差的数据，其有效位数应取到最末一位数字为可疑数字(也称不确切或参考数字)。⑵对需要标明误差的数据，其有效位数应取到与误差同一数量级。有效位数的判定准则

第四节测量数据处理

⑶

测量误差的有效位数应按以下四条准则判定：

①

一般情况下，只取一位有效数字；②

对重要的或是比较精密的测量；处于中间计算过程的误差；为避免化整误差过大，表示误差的第一个数字为l或2时，应取三位有效数字；③

在进行误差计算过程中，为使最后计算结果可靠最多取三位方效数字；④

根据需要有时应计算误差的误差，则误差的误差皆取一位有效数字，而误差的有效位数应取到误差的误差相同数量级。

有效位数的判定准则

第四节测量数据处理

⑷

算术平均值的有效位效应取到与所标注的误差同一数量级；用算术平均值计算出的剩余误差大部分具有二位，对特别精密测量可有三位有效数字；因计算和化整所引起的误差，不应超过最后一位有效数字的一个单位。

有效位数的判定准则

第四节测量数据处理

⑸

在各种运算中，数据的有效位数判定准则是：①

对多项数值的加、减运算，应以数据中有效数字末位数值最大者为准，其余各数均向后多取一位，项数过多可项后向后多取二位有效数字。②在几个数进行乘、除运算时，应取数据中有效数字个数最少者为准，其余各数和所得的积或商皆多取一位有效数字。③

在对一个数进行开方或乘方运算时，所得结果可比原数多取一位有效数字。④

在进行对数运算时，所取对数的位数应与真数有效数字的位数相等。

有效位数的判定准则

第四节测量数据处理

⑹

常用数表的有效位数判定准则是：用对数表进行运算,n位有效数字数值应该用n位对数据计算。

有效位数的判定准则

第四节测量数据处理

⑴

在整数后面经判定有多余数字，则舍弃多余数字用“0”来代替，而这些“0”用10的乘幂来表示。若为带小数的数或小数，则只舍弃多余数字。⑵若判定应舍弃数字的第一位数字小于“5”则舍弃(即4舍)。⑶若判定应舍弃数字的第一位数字大于“5”则进l，即把保留的末位数字加1(即6入)。⑷若判定应舍弃的第一位数字正好是“5。则要分情况区别对待：①若“5”后面的数字不是“0”，则把“5”舍弃应进1。②若“5‘后面的数字是“0”，则要看保留的有效数字是奇数还是偶数；若为奇数则舍弃“5”进1，使有效数字末位成偶数；若为偶数则舍“5”不进1，使有效数字本位仍为偶数。也就是说，应舍弃数字的第一个数完全处于临界，则采取凑偶原则。③若在“5”后面没有数字，则按凑偶原则处理。⑸在某些特殊情况下，所处理的数据多余数字的第一个数字是“5”的数值过多，可不按凑偶原则来处理。而采用一半的数值进1，另一半只舍不进的办法。这样可避免造成舍入误差(或称凑整误差)，即因数值化整而造成的误差过大。

有效数字的化整原则

第四节测量数据处理

数字化整误差的计算公式

设将数值A经化整得一个由n个有效数字k1k2kn组成的近似值a。则a为化整后的极限误差例如，有效数为39.78。则m=1，n=4，所以此有效数的舍入误差的绝对根据相对误差的定义，舍入误差的相对误差为数值化整后的误差第四节测量数据处理

含有粗大误差的测得值称可疑值(亦称坏值)。因为在测量中若产生粗大误差，就会严重影响和歪曲测得值，使测得值失去可靠性和使用价值。所以，对粗大误差的处理问题。也就是设法从测量数据中剔除可疑值的问题。若不设法消除可疑值，就会影响测量结果的正确性，严重时甚至会得出错误的结论。可疑数据的剔除第四节测量数据处理

（1）在测量过程中剔除可疑值

在进行测量中若发现异常数据，能作到随时发现、及时处理，是剔除可疑值的最理想办法。

①

进行补充测量处理在测量过程个由于疏忽和失误，在测量仪器的操作、读值、记录和计算等环节造成差错，而造成疏失误差。这样在测量过程中发现异常测得值，应及时进行补充测量。根据补充测量的结果能够判定是疏失误差造成的可疑值时，则可把可疑值及时剔除。②利用校核性测量处理对于在测量过程中因疏失原因造成的疏失误差或因瞬变系差(如电源电压的波动，机械性的冲击或振动)造成的疏失误差，很容易用补充测量法确认疏失误差的存在(也可能在进行补充测量时干扰已消除)。③

对粗大误差的处理在测量过程中虽然经过补充测量和校核测量，仍然找不到判定可疑值的依据时，也就是在现有的测量条件下找不出确切的原因时，则对异常测量值(比一般数据偏大或偏小)不能轻易的剔除。在这种情况下，就认为是粗大误差对测得值影响的结果。

可疑数据的剔除第四节测量数据处理

（2）粗大误差判别准则

对测量数据由于各种原因若提不出任何剔除可疑值的依据时，对数据中的异常值只有利用粗大误差判别准则来判断剔除与否。粗大误差判别准则，就是依据数理统计的原理，在—些人为的假设条件下，确立的一些标淮，来作为对异常值的取舍判断原则。显然，利用粗大误差判别准则对异常值做出的取合判断，其可靠性不会超出数理统计中假设检验所能达到的水平，它只能是一个比较科学的对可疑值进行取舍的依据，不是绝对可靠十全十美的。因此建议：根据粗大误差判别准则剔除的可疑值，应当在数据记录的备注中加以注明，以备今后对数据进行研究时查对和参考。可疑数据的剔除第四节测量数据处理

可疑数据检验是基于一个基本假设：被检验的一组数据来自同一个正态分布的总体，给定一个置信水平（1-α），根据（1-α）和样本容量确定一个合理的误差限度，即统计检验的临界值，如有（1-α）以上的置信度认为该数据不属于随机误差的范围，应舍去，否则应保留。（教材P197-202）①狄克逊（Dixon）检验法②格鲁勃斯（Grubbs）检验法③t值检验法可疑数据可靠性检验第四节测量数据处理

测量数据处理采用的方法有表格法、图示法和经验公式法。1表格法用表格来表示函数的方法，称为表格法。2图表法所谓图示法是指用图形来表示函数之间的关系。3经验公式法测量数据不仅可用图形表示出函数之间的关系，而且可用与图形对应的公式来表示所有的测量数据，当然这个公式不能完全准确地表达全部数据。所以，常把与曲线对立的公式称为经验公式。应用经验公式可以研究各自变量与函数之间的关系。建立经验公式可以按下列步骤进行：(1)描绘曲线，将数据以自变量为横坐标，以函数为纵坐标，将数据点描绘成曲线。(2)对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式。(3)曲线化直。如果测量数据描绘的曲线被确定为某种类型曲线，可将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。(4)确定公式中的常量。代表测量数据的直线方程或曲线化直后的直线方程表达式为y＝a0+a1x，可根据一系列测量数据确定方程中的常量a0和a1，其方法有图解法、端值法、平均法和最小二乘法等。(5)检验所确定的公式的准确性，用测量数据中自变量值代入公式计算出函数值，检查它与实验测量值是否一致，若差别很大，则应重新建立公式。

数据处理方法第四节测量数据处理

如果两个变量x和y之间存在一定关系，并通过测量获得x和y的一系列数据，用数学处理的方法得出这两个变量之间的关系式，这就是工程上所说的拟合问题，也是回归分析的内容之一。所得关系式称为经验公式，也称拟合方程。

如果两个变量之间的关系是线性关系，就称为直线拟合，也称一元线性回归。如果变量之间的关系是非线性关系，则称为曲线拟合或称为一元非线性回归。对于典型的曲线方程可通过曲线化直法转换为直线方程，即直线拟合问题。一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

1.直线拟合——元线性回归设两变量x和y之间的关系为y＝f(x)，并有一系列测量数据为

一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

如果上列测量数据相互间基本上是线性关系，则可用一个线性方程来表示，即y=a0+a1x称为测量数据的拟合方程(直线拟合)。拟合方法通常有下列三种：

端值法平均法最小二乘法（1）端值法

将上述测量数据中起点和终点测量值(x1,y1)和(xn,yn)代入式y=a0+a1x

，求常数a0和a1，即用两个端点连成的直线来代表所有测量数据，代入后得

一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

将a0和a1代入y=a0+a1x即得到用端值法拟合线性方程。

解上式联立方程得（2）平均法

将全部测量数据分别代入式y=a0+a1x

，得

一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

将a0和a1代入y=a0+a1x即得到用平均法拟合线性方程。

令则解之有（3）最小二乘法

最小二乘法是数据处理和误差分析中有力的数学工具。因此，它成为数据处理中应用最广泛的方法之一。最小二乘法在误差理论中的基本定义是：在等精度的多次测量中，当各测量值和残差平方和为最小时所求得的值，是最可靠的值。设某物理置A无系差、等精度、重复测量值分别为

一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

表明测量列的最佳估计值是其算术平均值。

则该物理量的最佳估计值a应满足这就是最小二乘法原理。式中vi是Ai的剩余误差，所以，简单地讲最小乘法原理就是“剩余误差的平方和为最小”。

令可得

2.曲线拟合――元非线性回归

在实际测量中，两个变量之间的关系除一般常见的线性关系外，有时也呈现非线性关系即两变量之间是某种曲线关系。对这种非线性的回归曲线的拟合问题，可根据前面讨论的原则来处理，其处理的方法和步骤：

一元线性与非线性回归第四节测量数据处理

(1)根据测量数据(xi,yi)绘制图形；(2)由绘制的曲线图形分析确定其属于何种函数类型；(3)根据已确定的函数类型确定坐标。将曲线方程变为直线方程，即曲线化直；(4)根据变换的直线方程，采取某种拟合方法确定直线方程中的未知量；(5)求出直线方程的未知量后，将该直线方程反变换为原来的曲线方程，即为最后所得的与曲线图形对应的曲线方程式。

质量控制是以统计学的原理和方法来揭示实验分析过程中所产生误差的科学。质量控制的目的是把检测结果的误差控制在允许的范围内，它所采用的手段是制作质量控制图。质量控制应包括三方面的内容：①采样质量控制；②实验室质量控制；③质量管理程序控制。采样质量控制包括采样点、采样方法、采样时机的选择