第三章振动、波动和声

第三章振动、波动和声广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。

振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。振动在空间的传播过程叫做波动如:无阻尼自由谐振动—简谐振动3-1

简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其所受的回复力跟离开平衡位置的位移成正比、方向相反。一、简谐振动的基本特征及其表示线性回复力简谐振动的动力学特征弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置（取为坐标原点）：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点简谐振动微分方程简谐振动的微分方程积分得其通解为：简谐振动的运动方程，A、是积分常量运动学特征四种简谐振动的特征表述均等价。简谐振动特点：等幅振动；周期振动二、描述简谐振动的特征量1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、角频率对弹簧振子角频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。0

是t=0时刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，决定谐振动物体的运动状态(或.T).A和三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。相位差对两同频率的谐振动=20-10初相差当

=2k,(k=0,1,2,…),两振动步调相同,称同相当

=(2k+1),(k=0,1,2,…),

两振动步调相反,称反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相若=2-1>0,则x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。超前和落后x2TxoA1-A1A2-A2x1t2

超前于1

或1滞后于

2

位相差反映了两个振动不同程度的参差错落三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0xt+0t=toX谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系旋转矢量法分析简谐振动直观、简洁。t=0t+oxxt=t·1.解析法2.曲线法oxmx0=0

=/2oA-AtxT由：已知表达式A、T、已知A、T、表达式已知曲线A、T、曲线已知A、T、简谐振动的描述方法：3、旋转矢量与谐振动的对应关系A谐振动旋转矢量t+T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期旋转矢量确定初位相

例1：

一质点沿x

轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0

=0.06m,

此时刻质点向x

正向运动。求此简谐振动的表达式。解取平衡位置为坐标原点。由题设T=2s，则A=0.12m由初条件x0

=0.06m，v00得简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为例2

已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：方法1设振动方程为故振动方程为v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位由图知方法2：用旋转矢量法辅助求解。以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、

简谐振动的能量(1)动能(2)势能情况同动能。分析：分析：(3)机械能简谐振动系统机械能守恒xtTEEpEk(1/2)kA2oEt2.由起始能量求振幅一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:3-2

简谐振动的合成如A1=A2,则A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:合振动不是简谐振动式中随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成---拍分振动合振动当21时,拍：合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆所以质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。*四、两个相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线，这种曲线称为利萨如图形一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。3-3

阻尼振动受迫振动共振阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比—阻力系数弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期二、受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力——策动力稳定解(1)频率:等于策动力的频率(2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动三、共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。1、位移共振(1)共振频率:(2)共振振幅:2、速度共振一定条件下,速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波3-4机械波的产生和传播波动一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质二、纵波和横波横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。结论：1、机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。2、波源完成一次全振动向后传出播出一个完整的波（形）。所以，一个完整波形通过介质中固定点所需的时间就是波源一次全振动的时间T三、波线和波面波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面四、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速1、波速u在固体媒质中纵波波速为E为媒质的杨氏弹性模量、为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些G为媒质的切变弹性模量、为介质的密度3、波长2、波的周期和频率波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。(波前进一个波长的距离所需要的时间）波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用表示。同一波线上相邻的位相差为2

的两质点的距离。介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）3-5

波动方程一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标p点的振动方程：则t时刻p处质点的振动状态是重复O点时刻的振动状态O点振动状态传到p点需用就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为p点的振动落后与原点振动的时间沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程若波源（原点）振动初位相不为零或波矢，表示在2长度内所具有的完整波的数目。二、波动方程的物理意义1、如果给定x，即x=x0tTTx0处质点的振动初相为为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t)若x0=

则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志2、如果给定t，即t=t0

则y=y(x)表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0

时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差XYOx1x2同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志3.如x,t

均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形t时刻的波形方程t+t时刻的波形方程t时刻,x处的某个振动状态经过t

，传播了x的距离在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x行波在时刻点的运动状态（相位）和时间处的运动状态想同。解：原点的振动方程波动方程：原点的振动方程波动方程：例3：如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程（2）写出距P点为b的Q点的振动方程OPQXYuPQXOYuOPQXYuPQXOYu（2）写出距P点为b的Q点的振动方程将将例4.一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A＝10cm，圆频率当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a经过平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=20cm处的质点b的位移为5cm,且向y轴正方向运动。设该波波长，试求该波的波动方程。解：设该波的波动方程为：求解的关键是求出波速u及原点的初位相由题意知t=1.0s时a点（x=10cm）运动状态：所以XOabu取故得波动方程为时，b点的位相只能取－（还考虑了以及的条件。）注意b点落后于a点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相取同理XOabu一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波质量为在x处取一体积元质点的振动速度3-6

波的能量体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的总机械能量为：1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。说明不断从前一体元吸收能量，向后一体元释放能量体积元△V内的能量在02）在波传动过程中，任意体积元的总的机械能量不守恒。在能量由零增大到幅值的过程中，该体元吸收能量；在能量由幅值减小到零的过程中，该体元放出能量体积元内媒质质点的总机械能量为：能量密度单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度一个周期内能量密度的平均值。适用于平面简谐横波、纵波平均讲来，该体元的能量密度保持不变能流:单位时间内通过介质中某一垂直波线的截面的能量。二、波的能流和能流密度波强平均能流：在一个周期内能流的平均值。能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。三、波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx的介质，其强度衰减量为-dI介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关一、惠更斯原理惠更斯原理：介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。3-7波的叠加原理波的干涉t时刻波面

t+t时刻波面波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)电视信号波长短，沿直线传播，受山区阻挡，不易发生衍射，所以需要转播；而无线电广播信号可以直接到达，不需要转播。二、波的叠加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的独立性原理或波的叠加原理：说明：振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。相干条件具有恒定的相位差振动方向相同两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。三、波的干涉现象和规律传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：其中：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。其中：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：相长干涉的条件：相消干涉的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为相长干涉相消干涉称为波程差波的非相干叠加例5

位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程:在X轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程:B点的振动方程:在X轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：相干相消的点需满足：因为：四、驻波当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波，称为驻波。

将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮P对弦线提供一定的张力，调节刀口B的位置，就会在弦线上出现驻波。1、驻波方程取两波的振动相位始终相同的点作坐标轴的原点函数不满足它不是行波它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。

驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。（1）、波腹与波节驻波振幅分布特点2、驻波的特点相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。（2）、驻波的位相的分布特点时间部分提供的相位对于所有的

x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。

在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。3-8声波声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上是这种物理现象可引起人的听觉。声波：可听声频率20Hz~20000Hz

次声频率<20Hz

超声频率>20000Hz声波是纵波，可在固、液、气态中传播声的主要特征量：频率和声压一、声压、声强和声强级

1．声压：当声波在介质中传播时，介质的密度作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强之差。若声波方程为：则可以证明：声压的幅值：2．声阻抗声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量声压的单位即压强的单位N/m2,声阻抗的单位是kg.m-2.s-1。讨论：（1）声压与介质振动速度具有相同位相，（2）声压超前位移/2，（4）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比，（5）要注意声速与介质振动速度区别。3.声强：单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平均能量，也叫能流密度。例6：1000hz的痛域强度I=1W/m2在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。4．声强级：例7：已知两声强级之差为20dB，求两声强之比。表3-2几种声音的声强、声强级声源 声强（w/m2）声强级（dB） 引起听觉伤害的声音 100 140 炮声1 120 引起痛觉的声音 1 120 钻岩机或铆钉机 10－2 100 闹市车声 10－５

70 通常的谈话 10－6 60 耳语 10－10 2