流体流动3-守恒定律1

1.3

流体流动中的守恒定律讨论了流体静止时内部压强的变化规律流体在流动过程中常遇到的问题对于流动着的流体内部压强变化的规律液体由低能位向高能位输送时所需能量由高位槽向设备输送一定量的流体时高位槽应安装的高度等而反映流体流动规律:有质量守恒方程（连续性方程）和柏努利方程1.体积流量

单位时间内流经管道任意截面的流体体积。

qV——m3/s或m3/h2.质量流量单位时间内流经管道任意截面的流体质量。

qm——kg/s或kg/h。

二者关系：（一）流量一、流量与流速（二）流速2.质量流速

单位时间内流经管道单位截面积的流体质量。流速（平均流速）单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离。

kg/（m2·s）流量与流速的关系：

m/sG=qvρ/A=uρ对于圆形管道：流量qV一般由生产任务决定。流速选择：3.管径的估算

↑→d↓→设备费用↓流动阻力↑→动力消耗↑

→操作费↑均衡考虑uu适宜费用总费用设备费操作费一般液体：0.5~3m/s气体流速：10~30m/s注意：管径的计算：工程上管径的表示方法：Φ89×3.5意味着：管外径为89mm，壁厚为3.5mm在计算管内流速时使用的管径为内径：d=89-3.5×2=82mm未注明内径或外径，均按内径计算注意圆整二、质量守恒方程（连续性方程）ContinuityEquation此方程的推导方法很多最简单的即利用物料衡算即质量守恒的原理进行推导1、推导：一变径管流体充满整个管道连续地从1-1截面流向2-2截面u1ρ1A1=u2ρ2A2（累积量）＝0

推广至1-1和2-2截面之间的任何一个截面均有：uρA=常数当流体为不可压缩流体时，密度为常数，则uA=常数对1-1和2-2截面有：u1A1=u2A2均称做定态流动时的质量守恒定律，或连续性方程continuityequation2、讨论（使用注意事项）（1）物理意义：反映了在定态流动系统中，管路各截面上流速的变化规律2）不可压缩流体的平均流速，其数值只随管截面变化而变化即：截面增大，流速减小在均匀管中定态流动时平均流速随管长保持定值，并不因阻力损失而减速（3）质量守恒定律的成立，与管路的安排、以及管路上是否有管件、阀门和输送机械无关[思考]

如附图所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一段φ108×4mm的管2和两段φ57×3.5mm的分支管3a及3b连接而成。若水以9×10－3m3/s的体积流量流动，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管内的速度。

3a123b二、机械能守恒

—柏努利方程二、伯努利方程式（一）伯努利方程式dxpA(p+dp)Agdmdz在x方向上对微元段受力分析：（1）两端面所受压力分别为及（2）重力的分量故合力为动量变化率动量原理——伯努利方程式

不可压缩性流体，（1）

流体因处于重力场内而具有的能量。

①位能：质量为m流体的位能

单位质量流体的位能

②动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。

质量为m，流速为u的流体所具有的动能

单位质量流体所具有的动能

③压力能（流动功）

通过某截面的流体具有的用于克服压力功的能量。流体在截面处所具有的压力

流体通过截面所走的距离为则单位质量流体所具有的压力能为：

单位质量流体本身所具有的总能量为：其中

称为比容v=1/ρ（二）伯努利方程式的物理意义——单位质量流体所具有的位能，J/kg；——单位质量流体所具有的静压能，J/kg；——单位质量流体所具有的动能，J/kg。各项意义：将(1)式各项同除重力加速度g:（2）式中各项单位为z——位压头——动压头——静压头总压头式（1）为以单位质量流体为基准的机械能衡算式，式（2）为以重量流体为基准的机械能衡算式，表明理想流体在流动过程中任意截面上总机械能、总压头为常数，三种能量形式可以相互转换。Hz2210世居瑞士的柏努利家族

(Bernoullifamily)数学史和科学史上最杰出的家族之一从十七、十八两世纪以来，三代中出现了八位非常了不起的数学家和科学家柏努利家族在十七、十八世纪的微积分的发展应用上扮演著领导的角色三、实际流体的机械能衡算式（一）实际流体机械能衡算式（2）外加功（外加压头）1kg流体从流体输送机械所获得的能量为W

(J/kg)。（1）能量损失（压头损失）设1kg流体损失的能量为Σhf（J/kg）。（3）（4）或——伯努利方程式

其中H——外加压头或有效压头，m;Σhf——压头损失，m。（二）伯努利方程的讨论

（1）若流体处于静止，u=0，Σhf=0，W=0，则柏努利方程变为说明柏努利方程即表示流体的运动规律，也表示流体静止状态的规律。

W、Σhf

——在两截面间单位质量流体获得或消耗的能量。（2）zg、、——某截面上单位质量流体所具有的位能、动能和静压能；（3）伯努利方程式适用于不可压缩性流体。对于可压缩性流体，当时，仍可用该方程计算，但式中的密度ρ应以两截面的平均密度ρm代替。

序号

适用条件

方程形式以单位质量流体为基准以单位重量流体为基准

1①稳定流动②有外功输入③不可压缩、实际流体

2①稳定流动②无外功输入③不可压缩理想流体

3①不可压缩流体②流体处于静止状态

柏努利方程的常用形式及其适用条件1）作图并确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡标范围。2）截面的截取两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面上或两截面之间，截面的有关物理量z、u、p等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。（三）应用柏努利方程的注意事项

3）基准水平面的选取

所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，Δz=0。4）单位必须一致

在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法(表压或真空度)一致。5）柏努利方程式适用于不可压缩性流体。对于可压缩性流体，当时，仍可用该方程计算，但式中的密度ρ应以两截面的平均密度ρm代替。（四）伯努利方程的应用

管内流体的流量；输送设备的功率；管路中流体的压力；容器间的相对位置等。利用伯努利方程与连续性方程，可以确定：柏努利方程的应用（1）计算输送机械的有效功率[例1]

用泵将贮槽中密度为1200kg/m3的溶液送到蒸发器内，贮槽内液面维持恒定，其上方压强为101.330kPa，蒸发器上部的蒸发室内操作压强为26670Pa（真空度），蒸发器进料口高于贮槽内液面15m，进料量为20m3/h，溶液流经全部管路的能量损失为120J/kg，求泵的有效功率。管路直径为60mm。解：取贮槽液面为1―1截面，管路出口内侧为2―2截面，并以1―1截面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程。式中z1=0z2=15mp1=0（表压）

p2=－26670Pa（表压）u1=0（1）计算输送机械的有效功率续例1将上述各项数值代入，则泵的有效功率Pe为：

Pe=We·qm式中

Pe=246.9×6.67=1647W=1.65kW

实际上泵所作的功并不是全部有效的，故要考虑泵的效率η，实际上泵所消耗的功率（称轴功率）为设本题泵的效率为0.65，则泵的轴功率为：续例1例1解答完毕

[例2]水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，计算管内截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’处的压强，大气压强为760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。求各截面P分析：求P求u柏努利方程某截面的总机械能理想流体（2）计算管路某截面处的压力22’

解：在水槽水面1－1’及管出口内侧截面6－6’间列柏努利方程式，并以6－6’截面为基准水平面式中：

P1=P6=0（表压）

u1≈0代入柏努利方程式例2解答u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基准水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa对于各截面压强的计算，仍以2-2’为基准水平面，z2=0，z3=3m，z4=3.5m，z5=3m续例2（1）截面2-2’压强

（2）截面3-3’压强续例2（3）截面4-4’压强（4）截面5-5’压强

从计算结果可见：P2>P3>P4

，而P4<P5<P6，这是由于流体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。

续例2例2解答完毕[例3]20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h?

当地大气压强为101.33×103Pa。（3）确定流体的输送量分析：求流量qv已知d求u直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’

截面1-1’处压强：

截面2-2’处压强为：例3解答

在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。由于两截面无外功加入，We=0。

能量损失可忽略不计Σhf=0。柏努利方程式可写为：式中：z1=z2=0

P1=3335Pa（表压），P2=-4905Pa（表压）

续例3化简得：

由连续性方程有：

续例3联立(a)、(b)两式续例3例3解答完毕[例4]如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg(不包括出口的能量损失)，试求高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？

(4)确定容器间的相对位置分析：解：

取高位槽液面为截