板壳的稳定性

03二月20231薄板稳定性03二月20232§7.1稳定基本概念

本章主要研究薄板稳定问题的有关理论和计算方法。03二月20233

在刚体力学中，一个处于平衡状态的刚体，可以有三种性质不同的平衡状态：稳定平衡不稳定平衡随遇平衡03二月20234小球的平衡——平衡的稳定性的概念红球:稳定平衡蓝球：不稳定平衡03二月20235(a)刚球受到侧向干扰力而稍离其平衡位置后，它仍能回复到原来的平衡位置，这种平衡是稳定的。

(b)刚球如果有一微小侧向干扰力使其偏离平衡位置，则刚球将继续沿着凸面滚动，不能恢复到原来的平衡位置，这种平衡是不稳定的。03二月20236(c)刚球偏离原来的平衡位置，则它既不回到原来的位置，又不继续离开，而是能在任何一个新的位置处于平衡，这种平衡叫随遇平衡或中立平衡。03二月20237构件在外力作用下，保持其原有平衡状态(configuration)的能力。稳定性：①杆、柱、梁、轴、环、拱；②薄板、薄壳；③开口截面薄壁梁.存在稳定问题的构件：03二月20238显然，上述刚球的平衡稳定性是决定于它所处位置的几何形状。弹性系统也有三种平衡状态。现以受轴向压力作用的直杆为例，如图所示PABl03二月20239PABl压杆的临界力：倾覆力偶：恢复力偶：平衡状态：M=m①稳

定

平

衡——②不稳定平衡——③临

界

状

态——xyPABPPABPQPByQPM弹性杆的平衡03二月202310(1)轴向压力P小于某一临界值Pcr时，杆轴是挺直的，倘若有一微小的横向干扰力使杆轴产生微小的弯曲，而当横向力除去后，杆轴仍能恢复到直线形状。在这种情况下，杆在直线形式的平衡是稳定的。03二月202311(2)轴向压力P大于临界值Pcr时，只要有任一微小的横向力使杆产生微小弯曲，那么，即使在横向力消除后，杆轴仍将继续弯曲而平衡于某一弯曲位置。在这种情况下，杆轴原来直线形式的平衡是不稳定的。03二月202312(3)轴向压力P等于临界值Pcr时，杆轴由于微小横向力引起微小弯曲，不管横向力是否消除，杆轴仍能保持任一微小弯曲状态，这种平衡称为随遇平衡。03二月202313

由上述可知，当轴向压力P超过某一临界值时，杆件将由原来的稳定平衡状态突然转变为不稳定平衡状态。而这载荷的临界值就称为临界载荷。在飞机结构中，由于要满足最小重量的要求，采用了大量的薄壁元件(薄壁杆、板、壳等)。当它们受到压力或剪力时，也有一个稳定问题。03二月202314

求临界载荷的方法很多，其中主要的是静力法和能量法。(1)静力法是根据结构处于临界状态时的静力特征而提出的方法。(2)能量法是根据临界状态时结构的能量特征而提出的方法。03二月202315研究薄板稳定问题的目的

就是要找出薄板失稳的临界载荷，分析薄板失稳的有关因素，以指导薄板设计和强度计算。03二月202316

本章主要讨论静力法。而且在研究的问题中，均假设系统的失稳是在小变形的弹性范围内发生，属于线性稳定问题。03二月202317§7.2薄板压曲的基本微分方程

在前面讨论中，假定薄板只受横向载荷，而且假定薄板的挠度很小，可以不计中面内各点平行于中面的位移。这时，薄板的弹性曲面是中性面，不发生正应变和剪应变。这是薄板在横向载荷作用下的小挠度弯曲问题。

当薄板在边界上受有纵向载荷时，由于板很薄，可以假定只发生平行于中面的应力，而这些应力不沿薄板厚度而变化。03二月202318这是薄板在纵向载荷作用下的平面应力问题。这时，薄板每单位宽度上的平面应力将合成如下的所谓中面内力其中t是薄板厚度，Nx和Ny是单位宽度上的拉压力，Nxy和Nyx是单位宽度上的纵向剪力。03二月202319

当薄板同时受到横向载荷及上述纵向载荷时，如果纵向载荷很小，因而中面内力也很小，它对于薄板弯曲的影响可以忽略不计。那么，就可以分别计算两种载荷引起的应力，然后叠加。但是，如果中面内力并非很小，那就必须考虑中面内力对弯曲的影响。下面来导出薄板在这种情况下的弹性曲面微分方程。03二月202320

试考虑薄板任一微分体的平衡，如图所示。将横向载荷及薄板横截面上的内力用力矢和矩矢表示在中面上。首先，以通过微分体中心而平行于z轴的直线为矩轴，写出力矩的平衡方程，得出

Nxy＝Nyx03二月20232103二月20232203二月202323简化为03二月202324

当薄板受有已知横向载荷q，并在边界上受有已知纵向载荷时（1）首先按照平面应力问题由已知纵向载荷求出平面应力σx，σy，τxy由求解过程：03二月202325求出中面内力Nx，Ny和Nxy

（2）根据已知横向载荷q和薄板弯曲问题的边界条件，由微分方程式求解挠度w（3）求出薄板的弯曲内力，即弯矩、扭矩和横向剪力。03二月202326这种问题的求解是比较繁难的。本节导出的微分方程，主要的目的是将它应用于求解薄板的稳定问题。03二月202327说明薄板在边界上作用有纵向载荷时，板内将产生一定的中面内力。（1）当纵向载荷很小时，那么，不论中面内力是拉力还是压力，薄板的平面平衡状态都是稳定的。03二月202328（2）如果纵向载荷所引起的中面内力在某处是压力，则当这一纵向载荷达到临界载荷时，薄板的平面平衡状态将是不稳定的。此时，薄板一受到干扰力，就会发生弯曲，而且，即使这干扰力被除去，薄板也不再恢复到原来的平面平衡状态，而将处于某一弯曲平衡状态，薄板在纵向载荷作用下而处于弯曲平衡状态，这种现象称为失稳或压曲。03二月202329注意在分析薄板的压曲问题或求临界载荷时，我们总是假定纵向载荷的分布规律是指定的，而它的大小是未知的。然后我们来考察为使薄板可能发生压曲，上述纵向载荷的最小数值是多大，而这个最小值就是临界载荷的数值。03二月202330利用前面导出的微分方程，令q=0，得出如下的薄板压曲微分方程这是挠度w的齐次微分方程03二月202331

其中系数Nx，Ny和Nxy是用已知分布而未知大小的纵向载荷表示的。而所谓“薄板可能发生压曲”，是以这一微分方程具有“满足边界条件的非零解”表示的。03二月202332求临界载荷的问题：为使压曲微分方程具有满足边界条件的非零解，纵向载荷的最小值是多大。03二月202333§7.3四边简支轴压稳定性

03二月202334无横向载荷q，微分方程为只有x向载荷时，上式为03二月202335式中m、n分布为薄板压曲以后沿x轴和y轴方向的正弦半波数03二月202336

Nx具有最小值时就是临界载荷如,n=1,则Nxmin，表示压曲后沿y向只有一个正弦半波03二月202337三阶屈曲模态二阶屈曲模态一阶屈曲模态03二月202338

令m=1,2,…，算出a/b取不同值时的kσ

，得到如图所示一条曲线03二月202339纵向均匀受压简支矩形板的稳定系数k03二月202340每根曲线起决定作用的部分用实线表示，这部分所给的kσ值小于其它曲线所给出的kσ值

邻近两条曲线间的交点极易求出，m=1和m=203二月202341最小临界载荷总是相应于m=103二月202342工程中03二月202343临界载荷（m=1时）03二月202344有了临界载荷，可以求临界应力其中t为板厚度，b为受压边宽度03二月202345临界应力（对于金属，ν=0.3）03二月202346

上面讨论的是四边简支、单向受压矩形板的临界载荷，对于其它情况，形式与上式一样，只是系数k值不同说明：系数k值决定于下列条件：（1）载荷形式，例如受压或受剪；（2）四边支持情况；（3）板的边长比。03二月20234703二月202348SS表示简支边C表示夹持边F表示自由边03二月202349系数ε表示不同弹性程度ε＝0时，夹持边蜕化为简支边ε＝∝时，夹持边与固支边相当03二月202350Nxy单独作用下

ks是剪切应力系数，与边界条件、长宽比a/b以及失稳皱损时长边半波数有关。见下图03二月20235103二月202352§7.4薄壁杆的局部失稳和总体失稳

飞机结构中的桁条、梁缘条广泛采用薄壁杆件。其截面形状有各种不同的形式：挤压型材，如图(a)所示板弯制成的型材，如图(b)所示。03二月202353

挤压型材各壁板的连接处比板弯型材刚硬，因此，在同样条件下，挤压型材的临界应力比板弯型材高。

03二月202354薄板杆总体失稳

若薄板杆较长，受轴压作用可能发生整个轴线弯曲失稳，通常称总体失稳总体失稳只能发生在与板中线平行的轴上03二月202355其临界应力可用压杆的欧拉公式确定：其中：E弹性系数，L为杆长，i为杆截面的惯性半径，C为支持系数，两端铰支时C=1，两端固支时C=403二月20235603二月202357薄板杆局部失稳

若杆较短，受轴压作用可能其壁失去稳定而压曲，而杆轴仍为直线，通常称局部失稳03二月202358薄壁杆局部失稳与薄板失稳类似，其局部失稳临界应力可用薄板相应公式确定。薄壁杆局部失稳应力一般指截面的平均应力。对于由n个薄板组成的板弯型材薄壁杆，其临界应力为03二月202359fi为第i个壁板的截面面积为第i个壁板的失稳临界应力03二月202360§7.5加劲板受压失稳后的工作情况——有效宽度概念飞机结构中所采用的薄壁结构，一般都是由纵向和横向骨架加强的加劲板。如图表示的是加劲板件的典型结构。03二月202361加筋板

在薄板上固定一系列筋条(或长桁)。筋条的轴线方向与压载荷的方向一致，把有筋条加固的薄板叫做加筋板。目的提高薄板受压时的承载能力。03二月202362屈曲从薄板中央开始

当压载荷达到临界值时，发生屈曲，首先发生屈曲的是板的中央部分，随着载荷增加，屈曲区域随之增大03二月202363

03二月202364对于纵向受压的平板，如果两侧边是自由边界，当板失去稳定后，该板就不能承受继续增加的外载荷，认为该板已达到破坏。但是，如果板四边支持在骨架上，板被桁条加强，而桁条的临界应力远高于板的临界应力。所以，当板件受压的平均应力小于板的临界应力时，板件的应力是均匀分布的。03二月202365

压应力随外载荷的增加而增大，直到平均应力等于板的临界应力，板开始出现压曲现象。因为板支持在桁条上，所以靠近桁条附近的板并不失稳，而可以承受增加的外载荷，这时板中间部分的应力不再增加，增加的外载荷由靠近桁条处的部分承受，横截面上的压应力呈不均匀分布，其分布规律如图所示。03二月20236603二月202367在桁条支持处的应力最大，随外载荷的增加而增加。直到桁条应力达到失稳临界应力，才认为整个板件失去了承载能力。板所受的总载荷为式中t为板厚，b为板宽。03二月202368

实际应力的分布是较复杂的，它与桁条对板所提供的支持程度以及板的几何参数有关。为计算方便，引入“有效宽度”概念。即假设板截面上的应力是均匀分布的，其大小等于σmax，03二月202369应力不是分布在整个宽度b上，而只分布在靠近桁条的一段宽度上，用2c(2c<b)表示，其余部分应力为零，如图(b)所示。这个宽度2c被称为板的“有效宽度”。03二月20237003二月20237103二月202372也就是说，假想失去稳定后的板仍象未失稳的平板那样承受载荷，其应力为σmax

但不再用全部剖面面积F=bt，而是其中的一部分面积Fc=2ct承受应力，这部分面积称为减缩面积。03二月202373减缩面积与全部面积之比称为板的减缩系数中，即03二月202374

有时也采用平均应力概念，用表示板的平均应力；减缩前后板的总载荷保持不变，故有显然03二月202375

有效宽度2c可由下式确定。如果取板的宽度等于2c，其临界应力就等于σmax

，由下式确定03二月202376所以

在计算机翼或机身的强度时，经常粗略地取蒙皮的有效宽度

2c=40t这是因为一般桁条的临界应力取16000N／cm2

，硬铝的E=7×106N／cm2；蒙皮看成四边简支，k=4，代入上式可求得。03二月202377板的临界应力为σcr0

，可得因此由03二月202378如果桁条与板的材料相同，板与桁条的连接处应变相同，其应力也必然相同。此时板的σmax应等于桁条的应力，用σst表示，则03二月202379

当减缩系数φ已知时，可求得板的有效宽度2c=φb，即可求得板件能承受的总载荷式中f为桁条的面积，σst为桁条的应力，为所有桁条的面积与板的有效面积之和03二月202380例题1

试计算图所示加劲板件的最大受压载荷。已知板的几何尺寸如图所示,桁条为等边角材30×30×2，板与桁条材料相同，材料弹性系数为E=7×106N／cm2

03二月20238103二月202382【解】板的临界应力为桁条截面积03二月202383等边角材，两缘板均可看成三边筒支一边自由的受压板，其k值由表得03二月202384桁条局部失稳临界应力为蒙皮的减缩系数为03二月202385加劲板件可承受的最大载荷为03二月202386

上式是根据桁条局部失稳临界应力求得的加劲板件最大承载力。下面，再根据桁条若发生总体失稳时计算板件的最大承载力。03二月202387借用已算出的板的减缩系数φ=0.763计算板件横截面的有效面积、形心位置以及截面对平行于板中心线的形心轴的惯性矩03二月202388C为支持系数，两端铰支时C=1，两端固支时C=4L为杆长，i为杆截面的惯性半径压力杆的临界应力公式为03二月202389式中：F为桁条截面积与板的有效面积之和；Jxx为组合面积