第30讲 求空间前妙招迭出施向量法更添风采 讲义-高考数学二轮复习经典微专题

第30讲求空间前妙招迭出，施向量法更添风采一、攻关方略空间角的探究是立体几何的一类重要题型.空间的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,求空间角首先要把它转化为平面角(即降维策略的应用),然后用代数的方法、三角的方法求解,或者直接用向量的方法求解,异面直线所成角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是1.异面直线所成角的求解（1）平移法.在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线;也可在两条异面直线外空间选择“特殊点”,分别作两条两异面直线的平行线(单移或双移).（2）补形法.把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,从而发现两条异面直线间的关系.（3）向量法.建立适当的空间直角坐标系,求出两异面直线所在向量的坐标,代入向量夹角公式即可求出.求异面直线与的夹角.2.直线与平面所成角的求解(1)直接法.通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,连接垂足和斜足,找出线面角(斜线段和斜线段在平面上的射影所成的角),在直角三角形中求解.（2）向量法.建立适当的空间直角坐标系,求出平面的法向量的坐标和斜线段所在直线的向量坐标,代入向量夹角公式,求出法向量与斜线段所在直线的夹角,则直线与平面所成角为,求直线与平面所成角(其中为平面的法向量,为与的交点,为上不同于的任一点).3.二面角的求解(通常通过平面角求解)(1)定义法.直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面中作棱的垂线,得出平面角,在相应的平面图形中计算.(2)三垂线法.已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角,在直角三角形中计算.(3)垂面法.已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线,所成的角即为平面角,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.(4)射影法.利用面积射影公式:(5)向量法.建立适当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,然后代入向量夹角公式,求出两法向量的夹角,则两个平面的二面角的平面角为或求二面角,有分别为两个平面的法向量)对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法.真可谓:三维化二维紧扣定义,转化与归纳配合运用,求空间角妙招迭出,施向量法更添风禾.二、例题展示例1在三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为解题策略本例求两异面直线所成角的余弦值,从立体几何角度讲,作角是关键，通常采用平移法,但有时平移后的图形不易作出或者虽然可以作出但论证较为复杂.可考虑补形的方法,当然补形的方法也许不唯一,一定要注意的是异面直线所成角平移后的两条相交线所成的角是锐角还是直角.从空间向量角度讲,运用向量法求两异面直线所成的角是好方法,而向量法通常又分为纯向量法和坐标法,相比较,纯向量的方法必须能找到合适的基底,而不必建立空间直角坐标系,当空间直角坐标系难以建立时,可考虑纯向量的方法.但这种方法有很大的局限性,在求线面角、二面角或点到直线距离时显得非常麻烦,本例由于条件充分,用纯向量的方法是可以操作的,但若能通过建立空间直角坐标系,相关点的坐标又容易求得,则应当首选坐标法.本例是训练学生发散思维,移花接木,寻找最佳解法的好题.策略一运用直接平移法,必须双移并运用余弦定理求解’:策略二运用补形法,在原三棱柱上底面补上一个大小相同的三棱柱,再通过平移并策略三将三棱柱补成平行六面体,解法更显直观策略四向量坐标法，运用向量数量积的夹角公式求解策略五纯向量法,依次求代入公式得解解法一(直接平移法)如图所示,作底面,由可知,为的角平分线,且面,于是,四边形为矩形.取的中点,连接交于点,则为的中点,.异面直线与所成角等于与所成的角,即或其补角.设三棱柱的棱长为2,由题意即可得.于是.故异面直线与所成角的余弦值为.解法二(补形法一)在三棱柱的上底面补一个大小相同的三棱柱,如图所示,连接且交于,则或其补角为异面直线与所成角.设,易见,在中,有,故异面直线与所成角的余弦值为.解法三(补形法二)将三棱柱补为平行六面体,再放同样的一个平行六面体,如图所示,就是异面直线与所成的角.设棱长为1,在中,易求得,即.在中,易求,易得.从而在中,求得.在中,由余弦定理得.解法四(向量坐标法)如图所示,以为原点,过作平面于,则必在轴上,且,从而.设棱长为1,则,,设异面直线与所成角为,则. 解法五(纯向量法)不妨设长为,.,设异面直线与所成角为,则例 如图所示,四棱雉中,底面为线段上一点,为的中点.（1）证明:平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.解题策略本题主要考察空间直线和平面平行关系的证明以及求直线与平面所成角的正弦值.第(1)问,可以利用线面平行的判定定理证明,也可以用纯向量法或向量坐标法证明;第(2)问,可以通过作出相应射影角求解,若结合等体积法求点到平面的距离也会对解题带来方便,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值也是好方法.应指出的是:直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角不是一回事.两者之间关系为.第(1)问策略一：立体几何方法，由线线平行线面平行:策略二：纯向量法，即证明向量与平面内两个不共线向量满足共面向量定理.策略三：向量坐标法，即证明向量与平面的法向量垂直.第(2)问策略一：转化为求斜线与其与平面内射影所成角策略ニ：运用等体积法求点到平面的距离,再求线面角.策略三：运用向量坐标法求向量与平面的法向量所成角的余弦值,即为与平面所成角的正弦值证法一（立体几何常规证法:先证线线平行,再推得线面平行）由已知得,取的中点,连接,如图30-6所示.由为的中点知.又,故,四边形为平行四边形,于是.平面平面平面.为的中点,以向量为基底共面,又平面平面.证法三(向量坐标法)取中点,连接,易证,即,以为原点建立空间直角坐标系,如图30-7所示.则,可取平面的法向量,则,平面（2）解法一（立体几何方法一:转化为求射影角）如图所示,取中点,连接,易证平面.作,垂足为点,易证平面.连接,则为与平面(即平面)所成的角.易求得.解法二（立体几何方法二:等积法求距离再求线面角）由已知图,平面即平面,由易求得点到平面的距离.设与平面(即平面)所成的角为,则.解法三(向量坐标法)取中点,连接,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,..设为平面的法向量,则,即可取.于是.则直线与平面所成角的正弦值为.列3如图所示,四棱锥中,底面为平行四边形,底面（1）证明:;（2）若,求二面角的余弦值.解题策略本例考查线面垂直及二面角的求法.两小问均有多种不同的证法和解法,若用向量法解,在建立空间直角坐标系后,运算一定要细心,一旦点的坐标及法向量求错,则必导致最后结果出错,这是运用向量法特别要注意的地方.在求二面角时还要注意所求二面角为铺角.解决数学问题,由于解题者看问题的视角不同,运用的相关知识各异,必然会呈现精彩纷呈的解题过程,解题方法越多,说明对数学中的众多知伬点掌握得越牢固,理解得越透彻.数学思维是发散型的,迎是空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力的展示.第（1）问：策略一：:证线面垂直线线垂直策略二：运用三垂线定理进行证明策略三：运用向量运算，证明策略四：运用向量坐标运算,证明第（2）问：策略一通过证明所求二面角转化为两向量所成角,运用向量运算、依据向量关系求出相应的角策略二运用向量坐标运算求出平面和平面的法向量,通过计算两法向量所成角求二面角的余弦值策略三:运用分割法转化为求二面角与二面角之和策略四转化为异面直线所成角并运用异面直线上两点间距离公式:策略五定义法,扣住二面角的定义作出其平面角,通过计算平面角的余.弦值得二面角的余弦值策略六四棱锥补成直四棱柱,转化为求与二面角相邻且互补的二面角,此二面角通过等积求距后容易求得,则所求二面角即可得到（1）证法（证线面垂直：∵,由余弦定理得,从而,故.又底面,可得平面,故.证法(运用三垂线定理)设,在中作,垂足为,如图所示.则,从而.而在平面内的射影是,由三垂线定理知.证法三(运用向量运算)平面.,即.证法四(运用向量坐标运算)作,垂足为,分别以为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系,如图30-11所示.令,则,.设,由于,则于是,即.（2）解法(运用向量运算)由第问的证法一知,又,过作,垂足为,如图所示.则二面角的大小等于与所成角的大小,设为.设,则,.在中可求得,在中,由余弦定理求得.又,解得,二面角的余弦值为.解法二(运用向量坐标运算)以为坐标原点,的长为单位长,射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系(见图,则,设平面的法向量为,则,即因此可取.设平面的法向量为,则,可得.,故二面角的余弦值为.解法三(分割法)把二面角分成与两部分,转化为求二面角与二面角的和.由知,又,又可证,平面,于是平面平面,即二面角的大小为,过作,垂足为,连接,如图所示.可证.是二面角的平面角.设,则.在中,,在中,.二面角的余弦值为.解法四：(转化为异面直线所成角并运用异面直线上两点间距离公式）由证法一知,又底面,平面.如图所示,作,垂足为点,连接异面直线与所成的角为所求二面角的平面角的补角.设,则在平行四边形中,可知.在中,易知,可求得,由异面直线上两点间距离公式得.即所求二面角的余弦值为.解法五(定义法)由(1)证法一知,又.又可证平面,于是.如图所示,过点在平面内作直线,交的延长线于点,则是二面角的平面角.设,则.易求.求得,于是在中,由余弦定理求得,,在中,由勾股定理求得,在中,易得,故.在中,求得.在中,由余弦定理得.二面角的余弦值为.解法六(补形法)将四棱锥补成直四棱柱,如图所示,则二面角的大小与二面角的大小互补.易证,而.设点到平面的距离为,则由