数值分析误差

科学和工程计算第一章绪论福州大学数学与计算机科学学院教材及参考资料清华大学出版社《科学和工程计算基础》

施妙根顾丽珍编著清华大学出版社《数值分析》

李庆扬王能超易大义编数值分析的学科别名1.1数值分析研究对象与特点计算方法科学与工程计算1.1数值分析研究对象与特点

应用实例湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低，这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，是的下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观测数据如下：环境工程师希望：根据给定的数据能求出T(x)。1.1数值分析研究对象与特点什么是数值分析“数值分析”就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法。数值算法的构造算法的理论分析计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解1.1数值分析研究对象与特点计算机只能进行加减乘除四则运算和简单的函数计算1.数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接方法。2.插值和数值逼近。3.数值微分和数值积分。4.常微分方程和偏微分方程数值解法。1.2数值计算的误差误差的基本理论1用计算机进行实际问题的数值计算时,往往求得的是问题的近似解,都存在误差误差来源与分类在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.—模型误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有观测误差误差来源与分类如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。Taylor展开误差来源与分类机器字长有限—舍入误差由于计算机的字长有限,只能对有限位数进行运算,超过的位数按一定规则舍入,产生“舍入误差”.误差来源与分类小结:模型误差.观测误差不是数值分析讨论的内容,计算方法主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对计算结果的影响,以提高计算的精度.2误差是不可避免的,既要允许误差,又要控制误差.要重视误差分析,分析误差的来源,误差的传播及对误差作出估计1.2数值计算的误差误差的基本理论据说，美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长:根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。2.传播与积累/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题

/*ill-posedproblem*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。

例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取

Wejustgotlucky?考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。误差与有效数字绝对误差/*Absoluteerror*/定义1.

Heyisn’titsimple?Ohyeah?ThentellmetheabsoluteerrorofOops!绝对误差限或误差限,或且误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏.注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。

e*>0不唯一，当然e*越小越具有参考价值。显然Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.哪个更精确呢?定义2.

relativeerrorNowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限条件是较小,这是因为Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：从的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是，与是否反映了同一数量级的误差？因此是的平方项集,所以可以忽略不计!例.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位有效数字有4位有效数字有6位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字定义2.有效数字是0到9中的一个数字。那么注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！定理1.证明:定理说明，有效位数越多，相对误差限越小§2ErrorandSignificantDigits

例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n

位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。例3.解:则有定理3,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%.问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheorem=f’()(x*x)x*与x非常接近时，可认为f’()

f’(x*)，则有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f’(x*)|倍。故称|f’(x*)|为放大因子

/*amplificationfactor*/

或

绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.数值运算的误差估计相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的

/*well-conditioned*/\坏条件的

/*ill-conditioned*/。在数值运算中，参加运算的数若有误差，那么一定会影响到计算结果的准确性.数值运算的误差估计数值运算的误差估计例4已测得某场地长l的值为宽d的值为已知试求面积的绝对误差限与相对误差限？解：1.3.2避免误差危害的若干原则1.四则运算中的稳定性问题(1)防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上上式是解二次方程的数值公式求

的小正根.

方程的两根为

只有一位有效数字小正根为避免两相近数相减可改用

(2)作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等例：a