流体力学第九章+量纲分析和相似原理

量纲分析与相似原理

第九章9.1量纲和谐原理量纲的概念什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？

答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。基本量纲与导出量纲基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲。

基本量纲：质量M、长度L、时间T。导出量纲：其他物理量量纲。

无量纲量无量纲量：可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到，也可以由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的各基本量纲指数为零得到。量纲分析依据量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？

答：1.提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。

2.作用可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

量纲和谐原理

凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式中，谢齐系数C的量纲为，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。

解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。9.2量纲分析法瑞利法(物理量不超过4个)试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关，用函数关系式表示为解题步骤2.将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即3.写出量纲表达式解题步骤4.选M、L、T作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

M：0=bL：2=a-3b+cT：-1=-2ca=3/2b=0c=1/2

6.代入指数乘积式，得

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m0，由实验来确定。解题步骤即题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H有关。1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H

有关,用函数关系式表示为解题步骤2.将N写成γ，Q，H的指数乘积形式，即3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

6.代入指数乘积式，得

其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。解题步骤π定理简述布金汉π定理的运用步骤？答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。3.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。

解题步骤4.满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π项基本物理量的指数a、b、c。

5.写出描述现象的关系式。

题目在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。题目

文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度η以及大小直径D1，D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。文丘里流量计1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的密度ρ，液体的粘度η以及大小直径D1,D2有关，用函数关系式表示为：可以看出函数中的变量个数n＝6解题步骤解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1，运动学量Q以及动力学量ρ。2.选取基本物理量量纲指数行列式由量纲公式：故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。解题步骤3.列出无量纲π值列出个无量纲的π值。其中为待定指数。4.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲式为：所以：解题步骤解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3

，其量纲式为：解题步骤5.写出无量纲量方程

上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：

对于同一个问题，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n≤4~5个，而布金汉π定理是具有普遍性的方法。

9.3相似理论基础模型模型：通常指与原型(工程实物)有同样的运动规律，各运动参数存在固定比例关系的缩小物。作用：通过模型试验，把研究结果换算为原型流动，进而预测在原型流动中将要发生的现象。

力学相似何为模型试验的力学相似，它包括哪几个方面的内容？

答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对

应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）

之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指

矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间

与压强的数值等）。

力学相似流体力学相似包括以下四个方面：1.几何相似

2.运动相似

3.动力相似4.初始条件和边界条件相似几何相似定义：指两个流动(原型和模型)流场的几何形状相似，即相应的线段长度成比例，夹角相等。

几何相似运动相似定义：指两个流动(原型和模型)相应点速度方向相同，大小成比例。

运动相似动力相似定义：指两个流动(原型和模型)相应点质点受同名力的作用，且力的方向相同，大小成比例。

边界条件和初始条件相似边界条件相似：指两个流动(原型和模型)相应边界性质相同。初始条件相似：指两个流动(原型和模型)相应初始性质相同。流体力学相似简化为：几何相似、运动相似、动力相似三个方面。雷诺准则

模型和原型试验的雷诺数相等。

雷诺数表示惯性力与粘滞力之比，两流动相应的雷诺数相等，粘滞力相似。

弗劳德数准则

模型和原型试验的弗劳德数相等。

弗劳德数表示惯性力与重力之比，两流动相应的弗劳德数相等，重力相似。

欧拉准则

模型和原型试验的欧拉数相等。

欧拉数表示压力与惯性力之比，两流动相应的欧拉数相等，压力相似。

牛顿数佛汝德数雷诺数欧拉数柯西数韦伯数斯特劳哈尔数7.谐时准则6.表明张力相似准则5.弹性力相似准则4.压力相似准则3.粘滞力相似准则2.重力相似准则1.牛顿相似准则相似准则力的比例尺相似准则9.4模型试验原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。因为：当重力相似时而粘滞力相似时可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。模型准则选择

若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时而粘滞力相似时联立以上两式，可得当时，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。

模型试验做到完全相似是困难的，一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作用的力相似。

有压管流，粘滞力起主要作用，应按雷诺准则设计模型。在堰流、闸孔出流、明渠流动中，重力起主要作用，应按弗劳德准则设计模型。模型准则选择雷诺准则：模型设计弗劳德准则：模型设计流量比：模型设计雷诺准则模型：弗劳德准则模型：相似理论的应用题目有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数

，管中通过油的流量