小学数学思想方法例谈

小学数学思想方法例谈第一页，共一百六十页，2022年，8月28日背景数学课程标准【总目标】通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

第二页，共一百六十页，2022年，8月28日教材哪些地方渗透着基本思想？倒底有哪些基本思想？怎样教才能培养孩子们真正的数学思想?为什么要把这些基本思想作为教学目标？数学思想怎么检测？什么是数学基本思想？第三页，共一百六十页，2022年，8月28日你知道哪些数学思想？第四页，共一百六十页，2022年，8月28日一、化归思想

二、符号化思想三、类比思想四、分类思想五、模型思想六、数形结合思想七、对应思想八、极限思想九、集合思想十、统计思想十一、假设思想十二、代换思想十三、单位化思想十四、函数思想十五、运筹思想十六、抽象思想……第五页，共一百六十页，2022年，8月28日数学的基本思想数学思想可以有许多，并且是有层次的。数学的基本思想则是其中带有基本重要性的思想，处于较高的层次。其它思想都在基本思想中派生出来。第六页，共一百六十页，2022年，8月28日什么是数学基本思想？第七页，共一百六十页，2022年，8月28日概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的一些程序、手段基础、躯壳精髓数学学科精神数学方法数学思想表层知识与深层知识数学素养表层知识深层知识核心精神灵魂第八页，共一百六十页，2022年，8月28日哪些是数学基本思想？首先要回答的问题是数学学科的思维特点什么是对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法？？？什么是数学学科精神第九页，共一百六十页，2022年，8月28日什么是数学数学的对象：数、形、机会、算法、变化数学的特点：高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性数学的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、模型第十页，共一百六十页，2022年，8月28日数学学科的特点反映在学生身上1、抽象思维2、推理思维3、建模思维4、理性精神数学真正学得好的学生思维特点他究竟缺了什么？杨振宁的话贯穿数学学习始终核心精神第十一页，共一百六十页，2022年，8月28日这个学生缺的究竟是什么？“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：52×150×12=……在他眼中，数字都是用来算的，而且都要放进去算。还没有建立清晰的数量关系模型。第十二页，共一百六十页，2022年，8月28日接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”恐慌，极端不自信。解决问题的思路建立在计算经验的基础上，而不是建立在运算意义基础上。第十三页，共一百六十页，2022年，8月28日启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”无法脱离具体的事物演算。第十四页，共一百六十页，2022年，8月28日启而不发？“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”……第十五页，共一百六十页，2022年，8月28日他究竟缺了什么？可怜的孩子，在数学面前他只有恐慌，没有思考。他没有办法脱离具体的情境。这孩子数学入门了吗？他究竟缺了什么？（1）运算意义的理解（2）数量关系（3）数学的基本思维——抽象第十六页，共一百六十页，2022年，8月28日我的一生很庆幸，因为我曾经在两个不同的国度生活过，一个国家注重演绎，一个国家注重归纳。

——杨振宁第十七页，共一百六十页，2022年，8月28日速度时间路程每小时80千米行了5小时一共行了400千米vtSS=vt抽象具体符号化模型80*5＝400（千米）30*9＝270（千米）……归纳推理路程＝速度*时间数学的学习过程处处也处处体现第十八页，共一百六十页，2022年，8月28日

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；

通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；

通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。第十九页，共一百六十页，2022年，8月28日他们真的学好数学了吗?他们数学成绩很好,但：对概念不求甚解；对定理、公式、法则不考虑它们为什么成立，在什么条件下成立；做练习时，对题型、套公式，不去领会解题方法的实质。第二十页，共一百六十页，2022年，8月28日他们真的学好数学了吗?他们数学成绩很好,但：缺乏自己的思考，特别不能进行长时间持续性的思考，浅尝辄止。第二十一页，共一百六十页，2022年，8月28日他们真的学好数学了吗?他们数学成绩很好,但：对书中内容趋之若鹜，对课外的数学题避而远之。数学学得呱呱叫，生活中却没有用数学的冲动。第二十二页，共一百六十页，2022年，8月28日理性精神理性思辨，不感情用事。实事求是，不盲从权威。尊重数据，不弄虚作假。科学严谨，不随欲而为。第二十三页，共一百六十页，2022年，8月28日西方文化的重要组成部分，也是中国文化最缺少的部分电影艺术的理性美——泰坦尼克号对数据的尊重：

哪里来的？可靠吗？实证过吗？

敬畏真实的数据

深入挖掘数据关于理性精神第二十四页，共一百六十页，2022年，8月28日概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的一些程序、手段基础、躯壳精髓数学学科精神数学方法数学思想表层知识与深层知识数学素养表层知识深层知识核心精神灵魂第二十五页，共一百六十页，2022年，8月28日概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能数学基本思想：基础、躯壳精髓表层知识与深层知识数学素养表层知识深层知识核心精神灵魂抽象思想模型思想推理思想数学学科精神第二十六页，共一百六十页，2022年，8月28日概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能数学基本思想：基础、躯壳精髓表层知识与深层知识数学素养表层知识深层知识核心精神灵魂抽象思想模型思想推理思想理性精神第二十七页，共一百六十页，2022年，8月28日数学的基本思想

抽象思想

推理思想

模型思想第二十八页，共一百六十页，2022年，8月28日基本思想一：抽象思想第二十九页，共一百六十页，2022年，8月28日国外的一则笑话幼儿园放学后，女儿告诉做数学家的父亲：“我们今天学了‘集合’！”父亲：“老师是怎么教的？”女儿：“女教师让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；“接着，她又让所有的女孩子站起来，说这是女孩子的集合。”“然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……”“最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”第三十页，共一百六十页，2022年，8月28日国外的一则笑话父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”……

迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”第三十一页，共一百六十页，2022年，8月28日一、数学抽象的思想数学抽象的内容现实对象抽象的数字具体的对象抽象的乘法算式男孩数目乘以苹果数目直线（几何）拉紧的绳子数学是从量的方面反映客观实在的，即在数学的抽象中我们完全舍弃了事物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属性。——这就是数学与一般自然科学的一个基本区别第三十二页，共一百六十页，2022年，8月28日具体事物符号化数的模型具体化直观感性直观形式化（模型）直观思维直观6的认识第三十三页，共一百六十页，2022年，8月28日第一次抽象第二次抽象舍去高矮长短宽窄等非本质特征几何模型第三十四页，共一百六十页，2022年，8月28日

数学抽象的思想派生出的有：

分类思想

集合思想

数形结合思想；

符号化思想；

对称思想；

对应思想；

极限思想

……第三十五页，共一百六十页，2022年，8月28日分类思想数学分类思想，它是人们在研究数学对象时，常常采用的根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织，再进行研究分析的思想。既是一种重要的数学思想。又是一种重要的数学逻辑方法。一、数学抽象的思想第三十六页，共一百六十页，2022年，8月28日分类思想数学价值：应用分类讨论，往往能使繁杂的问题清晰化。（三角形内角和、一个非零正整数乘小数的结果判断）教育价值：分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力。（统计、编码都是建立在分类思想的基础上）一、数学抽象的思想第三十七页，共一百六十页，2022年，8月28日渗透分类思想的课例:图形的分类四边形、角的分类、三角形的认识数的分类认识奇数偶数质数合数算式的分类认识有余数除法等式的分类认识方程一、数学抽象的思想第三十八页，共一百六十页，2022年，8月28日以《三角形内角和》为例选择研究的三角形对象为什么要强调“不同类型”？1、在无法穷尽的情况下，选择各种类型的样本进行研究，用样本反映整体。2、分类讨论的思想。不同类型指的是哪几种类型？除了各选一个锐、直、钝的方法，还有其它的吗？第三十九页，共一百六十页，2022年，8月28日分类思想渗透的研究:怎样驱动学生有目的地分类；怎样引导学生找到合适的标准；分类如何做到不重不漏；形成分类讨论的意识……

一、数学抽象的思想第四十页，共一百六十页，2022年，8月28日集合思想集合理论的创始者德国数学家康托夫这样描述集合：集合：指把确定的、彼此可以区分的具体的或想象的对象（它们将称为集合的元素）看成一个整体。集合思想：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。一、数学抽象的思想第四十一页，共一百六十页，2022年，8月28日集合思想典型案例

加减法的意义——并集、差集数的认识——有限集、无限集长方形、正方形的关系——子集因数和倍数、质数和合数

2、3、5的倍数的特征——交集公因数和公倍数最大公约数和最小公倍数平行四边形、长方形、正方形的关系三角形的分类重叠问题一、数学抽象的思想第四十二页，共一百六十页，2022年，8月28日（1）认识加法：很久很久以前，还没有文明人类的时候，那时候还只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人妈妈。爸爸负责每天出去打猎找食物，妈妈负责在家里做家务带宝宝。有一天早上，野人爸爸出门打猎，到了晚上，野人爸爸回来了。野人妈妈问：‘你今天打了什么猎物啊？’野人爸爸说：‘我今天打到了一只兔子。我们今天晚上有兔肉吃咯。野人妈妈说：‘不行不行，我们前几天还有很多东西没吃完，先别急着吃。”集合思想典型案例第四十三页，共一百六十页，2022年，8月28日讲到这里，我在黑板上贴一只兔子图片，我问：“那怎么办呢？”居然有学生想都不想说：“放到冰箱里。”我晕。还是把兔子养起来吧。野人妈妈说。于是野人爸爸就用树枝编了个围栏，把小兔子圈在里面。讲到这里，我在兔子图外画了一个圈，写上1（呵呵。。。。集合圈的雏形）第二天，野人爸爸又出去打猎，回来的时候，妈妈问，今天你又打了什么啊？爸爸说，我今天运气特别好，我打到了两只兔子，今天晚上我们可以大吃一顿了。妈妈说，先别急着吃，我们先把前几天食物吃完。这两只兔子也养起来，准备过冬。于是野人爸爸又编了一个围栏，把兔子养起来。一、数学抽象的思想集合思想典型案例第四十四页，共一百六十页，2022年，8月28日这时，我贴上两只兔子，在外面画一个圈。野人妈妈看到了，说，为什么不把这两个圈的兔子，放到一个圈里养呢？于是野人爸爸就把这两部分兔子合在一起，养在一个圈里。现在一共养了多少只兔子呢？”讲到这里，我用一个大圈把三只兔子都圈了起来。一、数学抽象的思想集合思想典型案例第四十五页，共一百六十页，2022年，8月28日(2)认识减法：动物都过冬了，兔子要遭殃了。大饥荒来了(3)0的认识：一、数学抽象的思想集合思想典型案例第四十六页，共一百六十页，2022年，8月28日数形结合思想指通过数(数量关系)和形(空间形式)之间的对应关系来研究、解决问题的思想。让学生有写一写、画一画的冲动。例：众数一、数学抽象的思想第四十七页，共一百六十页，2022年，8月28日用数形结合的思想解释等差数列求和公式。如求1+2+3+4+5=（1＋5）*5/2

数形结合思想典型案例之二第四十八页，共一百六十页，2022年，8月28日用数形结合的思想解释（a+b）2=a2+2ab+b2ababa2ababb2数形结合思想典型案例之三第四十九页，共一百六十页，2022年，8月28日用数形结合的思想解释a2

－b2=(a＋b）（a－b)ababa－bab＋《周髀算经》注解中记载赵爽的证明方法：数形结合思想典型案例之四第五十页，共一百六十页，2022年，8月28日一种新思路

百科情境下的数学问题解决乘法分配律数形结合思想典型案例之五第五十一页，共一百六十页，2022年，8月28日学习两位数乘两位数笔算前师：你是怎样算的？生：个位二四得八，1×1=1；十位2×1=2，1×4=4数形结合思想典型案例之六第五十二页，共一百六十页，2022年，8月28日师：你是算出的？生：先二二得四，二三得六；再一二得二，一三得三。这个二是十位乘的，要和十位对齐。师：为什么可以这样算？生：（停顿思考，摇摇头）就是记住要乘四次。师：这个64表示谁与谁的乘积？生：就是2×2和2×3。课前熟练掌握两位数乘两位数笔算的同学。第五十三页，共一百六十页，2022年，8月28日表内乘法的计算模型第五十四页，共一百六十页，2022年，8月28日12×10=12012×4=48120+48=1681234567891011121314123456789101112第五十五页，共一百六十页，2022年，8月28日用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第五十六页，共一百六十页，2022年，8月28日用三个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第五十七页，共一百六十页，2022年，8月28日用四个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第五十八页，共一百六十页，2022年，8月28日用五个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第五十九页，共一百六十页，2022年，8月28日用六个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第六十页，共一百六十页，2022年，8月28日用七个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第六十一页，共一百六十页，2022年，8月28日用八个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第六十二页，共一百六十页，2022年，8月28日用九个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第六十三页，共一百六十页，2022年，8月28日用十二个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数数形结合思想典型案例之七第六十四页，共一百六十页，2022年，8月28日计算：＝数形结合思想典型案例之八第六十五页，共一百六十页，2022年，8月28日计算：＝121418116132“1”数形结合思想典型案例之八第六十六页，共一百六十页，2022年，8月28日长宽面积长方形的面积=长×宽数量总价总价=单价×数量单价数形结合思想典型案例之九——面积法第六十七页，共一百六十页，2022年，8月28日（二）解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？总千克数=每天吃的千克数×天数长方形的面积=长×宽数形结合思想典型案例之九——面积法第六十八页，共一百六十页，2022年，8月28日（二）解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？总千克数=每天吃的千克数×天数提前2天吃完多吃5千克计划吃8天AB原计划每天吃多少千克？数形结合思想典型案例之九——面积法第六十九页，共一百六十页，2022年，8月28日一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米数形结合思想典型案例之九——面积法第七十页，共一百六十页，2022年，8月28日一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米数形结合思想典型案例之九——面积法第七十一页，共一百六十页，2022年，8月28日一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米减少20%2米数形结合思想典型案例之九——面积法第七十二页，共一百六十页，2022年，8月28日一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米减少20%2米减少1/5，把正方形的边长平均分成五份，减少其中1份，还剩下4份数形结合思想典型案例之九——面积法第七十三页，共一百六十页，2022年，8月28日一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米1份2米4份BAC数形结合思想典型案例之九——面积法第七十四页，共一百六十页，2022年，8月28日A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？数形结合思想典型案例之十——逻辑推理第七十五页，共一百六十页，2022年，8月28日数形结合诗数形本是相依偎，焉能纷作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.几何代数统一体，永远联系莫分离.华罗庚第七十六页，共一百六十页，2022年，8月28日数学语言所包含的信息量的大小，直接影响着数学思维的质量。运用各种简洁的符号对问题进行抽象表达，既能以浓缩的形式表达大量信息，大大简化了数学运算或推理的过程，加快了数学思维的速度，更能去伪存真，抓住问题的本质和关键。因此，在数学中，人们大量地运用符号。几乎所有的数学表述用语，包括公理、定理、法则、公式、概念等都是一串串符号链，而数学研究的过程就是把一个符号链变换成另一个符号链。符号化思想一、数学抽象的思想第七十七页，共一百六十页，2022年，8月28日符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素甚至说：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”

符号化思想一、数学抽象的思想第七十八页，共一百六十页，2022年，8月28日途径之一1．认识已有的数学符号系统。符号化思想一、数学抽象的思想第七十九页，共一百六十页，2022年，8月28日小学阶段的数学符号数值符号：

阿拉伯数字0－9数量符号：x、a、π……（常量、变量、未知数）关系符号：><=≈运算符号：

＋－×÷：（）[]符号组合：代数式、方程、字母公式、复合单位还有一些特例：统计领域：统计图正字统计法、用分数表示可能性的大小

第八十页，共一百六十页，2022年，8月28日（1）理解数学符号的含义和实质。（2）经历符号化的过程。（3）适当渗透一些符号化通用规则。途径之一1．认识已有的数学符号系统。例：速度时间路程例：负数符号化思想一、数学抽象的思想第八十一页，共一百六十页，2022年，8月28日倍的认识线段图第八十二页，共一百六十页，2022年，8月28日第一小组得了5个笑脸，第二小组得的笑脸数是第一小组的3倍，第二小组得了多少个笑脸？符号化思想一、数学抽象的思想第八十三页，共一百六十页，2022年，8月28日（1）理解数学符号的含义和实质。（2）经历符号化的过程。（3）适当渗透一些符号化通用规则。（1）尊重学生原发思维的同时，鼓励符号的优化。途径之一1．认识已有的数学符号系统。途径之二2．尝试用符号化的思想进行数学思考。（2）强化符号化过程的规则意识。符号化思想一、数学抽象的思想第八十四页，共一百六十页，2022年，8月28日打电话第八十五页，共一百六十页，2022年，8月28日例：一下统计√√√√√√√2342正第八十六页，共一百六十页，2022年，8月28日典型案例

角的初步认识数学广角：搭配的学问用字母表示数长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、圆柱、圆锥的周长、面积和体积的计算公式推导比和比例用字母表示数解放程求未知数X

加法交换律、结合律、乘法。乘法交换律、结合律、分配律列方程解应用题解比例环形面积字母公式。第八十七页，共一百六十页，2022年，8月28日基本思想二：推理思想第八十八页，共一百六十页，2022年，8月28日什么是推理？推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理合情推理演绎推理归纳类比第八十九页，共一百六十页，2022年，8月28日

由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分对象全部对象个别事实一般结论归纳推理第九十页，共一百六十页，2022年，8月28日歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，…，歌德巴赫猜想:第九十一页，共一百六十页，2022年，8月28日从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。演绎推理第九十二页，共一百六十页，2022年，8月28日数学推理的思想派生出的有：

归纳推理；

演绎推理；

联想与类比的思想；

公理化思想；

化归思想；

逐步逼近的思想；

……第九十三页，共一百六十页，2022年，8月28日问题A问题A’解答A解答A’化归还原化归思想第九十四页，共一百六十页，2022年，8月28日除数是小数的除法——除数是整数的除法求多边形内角和——几个三角形内角总和多加的要减去，多减的要加上（1）改变形式的非恒等化归（2）简化问题的非恒等化归恒等化归在确保量不变的前提下，将求解问题通过改变形式使之成为已有解的问题非恒等化归将求解问题通过改变形式成为已有解问题或是简单的问题时，结果出现变化，此时返回值需要加以处理，才能得到问题的解（3）制造变化冲突的非恒等化归化归思想第九十五页，共一百六十页，2022年，8月28日直角三角形的内角和是180度180+180-90-90=180（度）钝角三角形的内角和是180度360度所有三角形的内角和都是180度180+180-90-90=180（度）锐角三角形的内角和是180度第九十六页，共一百六十页，2022年，8月28日小学阶段几何图形面积计算公式推导过程中的化归思想（箭头表示化归方向）平面图形面积计算立体图形体积计算组合图形的面积或体积计算两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形割圆术，化曲为直两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形切割拼补两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的1/3化归思想第九十七页，共一百六十页，2022年，8月28日面积法某修路队抢修一段公路，原计划36天可以完成任务，为了赶工程进度，开工时又调来一个修路队，结果实际每天比计划多抢修200米，只用了20天就完成了任务。这段公路长多少米？36天200米20天第九十八页，共一百六十页，2022年，8月28日找寻学生思维的路径例：平行四边形的面积计算1、产生错误的原因是什么？2、错误也是有价值的。第九十九页，共一百六十页，2022年，8月28日核心思想1、化归并不是一种无目的的活动，因此，在实践过程中，我们就应始终盯住目标，即应当始终考虑这样的问题：怎样才能达到解决原来问题的目的？以可变的观点去看待问题，善于对所要解决的问题进行变换。注意：2、由于只有通过反复的实践，才能找到正确的化归方向与方法，因此在解题过程中，应保持一定的灵活性。化归思想第一百页，共一百六十页，2022年，8月28日数学推理的思想派生出的有：

归纳推理；

演绎推理；

联想与类比的思想；

公理化思想；

化归思想；

逐步逼近的思想；

……第一百零一页，共一百六十页，2022年，8月28日基本思想三：模型思想第一百零二页，共一百六十页，2022年，8月28日模型思想模型是人们为了某种特定的目的而将原型的某一部分信息加以简略和提炼而构建出来的这个原型的某个代替物。第一百零三页，共一百六十页，2022年，8月28日典型案例

二年级上册数学广角：握手的次数、打乒乓球的次数

10以内数的认识

20以内进位加法、退位减法四则混合运算法则的总结四年级下册植树问题三年级上册搭配、排列与组合数学的概念、定理、公式、法则探索、研究、提炼、总结的过程，都是一个数学建模的过程。第一百零四页，共一百六十页，2022年，8月28日S=πr2计算公式是模型第一百零五页，共一百六十页，2022年，8月28日方程是刻画等量关系的模型第一百零六页，共一百六十页，2022年，8月28日数学模型的思想派生出的有：

简化的思想；量化的思想；

函数的思想；方程的思想；

优化的思想；随机的思想；

抽样统计的思想等。第一百零七页，共一百六十页，2022年，8月28日函数思想函数反映的是相关联的量运动变化中的对应关系。函数思想即以运动变化的观点去反映客观世界中变量间的相互联系和内在规律的。第一百零八页，共一百六十页，2022年，8月28日函数思想尽管函数的定义没有在小学数学教材中专门给出，但从低年级开始就有所渗透。如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化；积变化的规律（讨论“一个因数不变，另一个因数扩大或缩小，引起的积的变化”）；正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。再如利息随着利率的变化而变化，综合实践活动内容中出租车的票价随着出租车运行的千米数而变化，进一步帮助学生加深对函数的认识与理解，画龙画晴地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。第一百零九页，共一百六十页，2022年，8月28日口算60+60+60=80+50+50=100+45+35=150+20+10=170+5+5=180180180180180+=和不变+第一百一十页，共一百六十页，2022年，8月28日ABCAAAAAAAA形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？第一百一十一页，共一百六十页，2022年，8月28日∠A∠B∠CABCAAAA++形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？第一百一十二页，共一百六十页，2022年，8月28日(1)对数或者图形排列规律的探索

※探索图形的排列规律第一百一十三页，共一百六十页，2022年，8月28日※探索数的排列的规律第一百一十四页，共一百六十页，2022年，8月28日(2)对数的运算规律的探索第一百一十五页，共一百六十页，2022年，8月28日(2)对数的运算规律的探索第一百一十六页，共一百六十页，2022年，8月28日用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。

用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格(3)对图形变化规律的探索序号长宽周长面积示意图12…第一百一十七页，共一百六十页，2022年，8月28日2.对“关系”的体验（1）感受“一一对应”的对应关系第一百一十八页，共一百六十页，2022年，8月28日（1）感受“一一对应”的对应关系第一百一十九页，共一百六十页，2022年，8月28日※乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数“一一对应”※找规律填数:数列中的每一个数与它的项数“一一对应”※折线统计图：一组数据与统计图中的一个点“一一对应”……第一百二十页，共一百六十页，2022年，8月28日如：学习“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”又如：“找次品问题”，次品数在10至27个时，均需要称量3次（2）感受“多对一”的对应关系第一百二十一页，共一百六十页，2022年，8月28日将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习：以上所列举的内容丰富了学生对于两个集合“关系”的认识第一百二十二页，共一百六十页，2022年，8月28日（3）结合基本数量关系或图形计算公式，

强化对变量之间关系的感受S=vt(路程=速度×时间)，当速度v固定时，S是t的函数。C=πd(圆的周长=圆周率×直径)，C是d的函数。S=1/2ah(三角形面积=底×高÷2)，当a固定时，S是h的函数可以设计如下的训练：学校有120名学生排队做操，

，可以站几排？第一百二十三页，共一百六十页，2022年，8月28日3.对多种数学语言的感受和初步使用※感受和使用字母语言※一般的函数解析式都是借助字母来表

达的。引进字母表

示，是用符号表示

数量关系和变化规

律的基础。解析式：S=πr2第一百二十四页，共一百六十页，2022年，8月28日（2）感受和使用表格语言第一百二十五页，共一百六十页，2022年，8月28日(3)感受和使用图像语言图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，它是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图六年级成正比例的两个量的图像绘制第一百二十六页，共一百六十页，2022年，8月28日鼓励学生将表格、图像和关系式结合起来，谈自己对正比例关系的认识第一百二十七页，共一百六十页，2022年，8月28日举例：正比例的意义原来的设计：1.复习时说长方形的长、宽、高，速度、时间、路程等之间的关系2.出示例题，学生思考：（1）表中有哪几种量？（2）它们是两种相关联的量吗？（3）你发现了什么规律？3.判断练习，强调比值或商一定学生做判断练习的正确率比较高。4.例2的图像让学生自主画图，集体交流答题情况后并没有过多停留。过于重视判断技巧的习得，忽略了图像教学的价值。第一百二十八页，共一百六十页，2022年，8月28日化静为动，感悟函数思想课始呈现：蜡烛燃烧（时间与被烧的长度的变化关系）汽车行驶（时间与速度的变化关系）股票行情正方形周长与边长的变化关系两人年龄情况正方形面积计算公式思考：1.观察每个情景中的两种变量，它们是怎样变化的？2.在这些情景中，哪些量的变化具有相同的特点？

第一百二十九页，共一百六十页，2022年，8月28日分类：1.两个变量，一个量增加，另一个量也增加（同时增加）2.两个变量，一个量增加，另一个量却减少。3.两个变量，一个量增加，另一个量时增时减。对同时增加的一类再深入研究：分为直线上升、曲线上升经历：体会变化的量之间的关系——感受变量之间关系的不同——通过分类，关注正比例变化的情况※直观感受变量之间的相互依存关系，预测动态变化趋势第一百三十页，共一百六十页，2022年，8月28日在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则:（1）创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。（2）激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。第一百三十一页，共一百六十页，2022年，8月28日典型案例

用字母表示数商不变的性质正比例和反比例

“周长和面积”的练习课利用数量关系在解决实际问题，如单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……

统计与概率六年级上册“位置”

一年级上册《20以内进位加法表》

一位数乘法口算

0和任何数相乘都得0的计算过程倍的认识；倍数应用题除数是一位数的除法自然数与直线上的点的关系乘数是两位数的乘法计算归一、归总应用题；除数是两位数的除法差（和）对应两步应用题相遇问题分数的初步认识小数与数轴上的点。第一百三十二页，共一百六十页，2022年，8月28日一个综合性的例子第一百三十三页，共一百六十页，2022年，8月28日鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？

策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试；策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试；策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第一百三十四页，共一百六十页，2022年，8月28日策略4：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。2只脚4只脚8个头鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？

第一百三十五页，共一百六十页，2022年，8月28日策略5：金鸡独立法。

所有的鸡、兔都起立，兔子两腿站立，鸡一脚独立，此时腿数是22÷2=11（支），此时鸡的腿数和头数相等，而兔子的腿数比头数多1。因此11－8=3（个），就是兔子的只数。鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？

第一百三十六页，共一百六十页，2022年，8月28日鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？

策略6：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔；策略7：方程思路：用□表示鸡的只数，用○表示兔的只数，根据已知条件可以发现□＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○＝3。第一百三十七页，共一百六十页，2022年，8月28日引导与体验第一百三十八页，共一百六十页，2022年，8月28日1、教师要深入理解每种思想的本质，把握教学内容渗透数学思想的机会。第一百三十九页，共一百六十页，2022年，8月28日我们通常会这样问：等边三角形的三个角分别是多少度？如果改成这样呢：等边三角形是否可能有直角？2、好问题才会有好思维,才能提升高级思维第一百四十页，共一百六十页，2022年，8月28日几年前，一位朋友问郭思乐教授：“什么是教学？”郭教授回答说：“如果你告诉学生，3乘以5等于15，这不是教学。如果你说，3乘以5等于什么？这就有一点是教学了。”“如果你有胆量说：‘3乘以5等于14’，那就更是教学了。这时候，打瞌睡的孩子睁开了眼睛，玩橡皮泥的学生也不玩了：‘什么什么？等于14？’”“然后他们就用各种方法，来论证等于15而不是14。比如4个3是12，再多加一个3，是15；数一数，5个3是15，等等。”这一段小小的对话，闪烁着郭思乐教授“生本教育”理论的智慧之光。第一百四十一页，共一百六十页，2022年，8月28日3、留一只眼睛审视思维过程。数学思考过程中的元认知——评估自己的数学思考（留一只眼睛给自己）：“我所面临的是怎样的问题？”“我所选择的是怎样的一条解题途径？”“我为什么作出这样的选择？”“我现在已经进行到了哪一阶段？”“这一步的实施在整个解题过程中占有怎样的地位？”“我目前所面临的主要困难是什么？“解题的前景如何？”“我获