轨迹方程的求法及典型例题

轨方的法一知复轨方的法见有1）直法（2）义（3）定数（4）参法5）交法6）关法注：轨方时意杂，漏.一知复例1：点（是x2求心M轨方。

2

－－55=0的点动M与已知相，过，

111例、图示已，是x+y的点B圆两点且足APB=90，矩APBQ的顶Q的迹程111解设的中为R坐为(,y，在eq\o\ac(△,Rt)ABP中|AR又为是AB中，依径理在eq\o\ac(△,Rt)OAR中AR

2AO2|OR－(

+y

2

)又||=

2

y

2所有(－2

+y2

－x2

y

2

),即x2

y2－－10=0因点一圆，当此上动，Q点即在求轨上动.设Qx,y，(xy)，为R是中，以x

=

x2

y

y2

代方x

2y2

－－(

xy))22

－10=0整得x2

+2

就所的迹程

12112或2AB例3、如图,直L和L相于M,LL,NLA,为点曲段C上12112或2AB的一到L距与N距相若AMN为锐角角|AM|==且BN|=6.建适的标求线C的方解法一：如图建立坐标系，以l为轴，MN的垂直平分线为轴，点坐标原点。1依题意知：曲线段C是以点为焦点，以l为准线的抛物线的一段，其中，分别为C的端点。2设曲线段C的方程为

y

2

px(0),(xx0)

，其中xx分别为A，B横坐标，。所M(

pN(由AN|得(x)(x)

22

px(1)px(2)由①，②两式联立解得

xA

4p

p2。再将其代入①式并由p>0解得Ax因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍A∴p=4,x=1A由点B在曲线段上，得

x|4

。综上得曲线段C的方程为

y24,0)解法二：如图建立坐标系，分别以l、l为12轴，为坐标原点。

作AE⊥,AD⊥l，⊥l垂足分别为E、DF1设A(x,y)、,y)N(xAA依题意有xME|ANyAM

2

DA|

2

由AMN锐角三角形故有xME|NAM|

2

2

xBE|设点(x是曲线段C上任一则由题意属于集合{(x)()N故曲线段C方程

2

x

2

xxy0}y

2

2)(3x

QB例4、知点QB

(Q

以一直y=x设为

的段AB直上动求线和交M轨方．解PA和QB的交M（，y）随AB的动变，可

(tt),t

，则PA：

y

tt(xtxttt消t得

x

2

2

y当=－，=－时QB交坐也足式所点M的轨迹程x

2

2

xxy

121pb112例5、设A和抛线2(p0)上原以的个点已知⊥OMAB，点M轨方，说它示121pb112解一设My)直方为=b由⊥得k=

xy由

px及=kx+，去,得

x

+(2－4p+

所x

=

bk

22

y

=，由OA⊥OB得y=所

=－

bk

22

=－4kp故=kxbk(－),得x2

+－pxx≠故点M轨方为2

+－4px≠，它示(为心以2为半的，掉标点

12212121121111221212112111px212121211解二设

AyBx,yM,y依意有

122yyx2yy1121

①②③④⑤①得(y－y)(+)=4()若≠,则

121

p1

2

⑥②得y2·

2=16

2x

③入式⑦有y=－2⑥入，⑥代入⑤，12

4y11yyx4

所4y1

4(y)14px1即pxy

21

=y(y－y⑦⑧入式得

2y

－=0(≠0)当=时⊥x，得M(4p仍足程故M的轨迹方程为x2去坐原

+y－=0(x≠它示(,0)圆，为半径圆

25121轨迹方程(习1)251211．(08、东22)知线

C1

：

||y0)a

所成封图的积4曲C内圆径，记以与3标的点顶的圆(1)椭C的准程设是过椭圆中的意L线段AB垂平线，ML异椭中的．①MO|λ|OA|(坐原)，当点在椭C上运时求点M的迹程②ML椭C交，的积最值

x2yM240x2yM240(1)由

42

2

，

2

2y25

(2)若AB所在AB为y＝kx(k≠0)A(

，yA

A

)

2y5kx

x

202，24k

2OA2x2A

20(142

)

设Mxy)，由|OA|(

2＝2|OA|2

2

20(1)42

为LAB的线Lykxy2

x220(1)y2xx4y

2)x

由x25220

当＝0或不立，，M的轨迹方程为45

0k且k

2

204k

2

，

2

204

2

|OA|2＝

AA

20(142

)

251yk

x

2M

20k20，55k

2

OM

20(152

)

1OA

2

1

2

1192)2)204k

2

5k

22|OA||OA

2

920

OA|

9S

140|OB||OB2

2240当＋5k2＝5＋2时，即k2240

时等

1k，5

409

当k不存在时，

1S5

409

，AMB9

2（07江21设点P点(B的离别为d2

，存在数

，得

dsin

．证：P的双线并的程(2)过作线双线

C

的支

M，

两，确定

的围使ON＝0，其为标点

(1)△PAB中AB，dd12

4d)

d2

dsin1

P

C

，B

2a21

21

M(xy)，xy)2x轴时MNxM

1

0

52

②当MN不垂直于(y2y(x

轴时，设MN的方程

2

2(1x

2

12

x12

2y12

2

(x12

k2

OMON，且

M，

xy2xxx

k2k

523

523

3海）知圆中为角标xOy原，点在x上它一顶到个点距分是和1（1）椭圆的方（2）为上的点MP垂于轴直上点

OP

（e椭的心，M的轨方，说轨是么线

2y200900）设椭圆为ac．由2y200900

a＝4，c＝

圆C167设M（x，y，0∈[－，4]．有……①167

OPxy0xy

4

．166(x22)y2)00xf（x，y＝x，y）0

112x2

2

167

43

(4)

M的轨迹于轨迹程(练（、庆）知原O为中的圆一准方为

y

433

，心

32

，M是椭上动．(1)若C、D的坐分是，3)、(0，√，求

|

·

的大；(2)如，A的标(，0)点是圆

x

y2

上点点N是M(椭圆的在x轴的影点满足条：＝OM＋ON，·＝．线QB的中的轨

方．

x243a2解设圆方程为：＞＞0程y＝＝23c2a

a2

c

椭圆方程为：

x2

yy．以D是椭圆x4

的两个焦点

|MC

＋

|

＝4．

MC

·

≤(

|2

)

4

，当且仅当

MC

＝

MD

，即点M的标为

(

时上式取等号

MC|

·

|

的最大值为．(2)设

M(,y),B(x,y)，(,y)，mmBBQ

)

2

2

．由

＝

OM

＋

，yQm

PPPPPP

2)Qmm

………①由

·

＝0

(

xQ

Q

)·(

1B

)(

Q

)(

1

)＋yBQ

＝0xyQBB

…………②记P点的坐标(

P

，

P

)，因为P是

BQ

的中点2，yyPBPQBxy2

2

)

2

2

)

2

＝

14

(x

yxxyy)QQQ＝

14

[51)]

＝

13x2)y4

P1动点P的方为：(x)2

2

y

2

．．、安）知圆与线y＝x＋2相切

y2＋＝（a＞b＞0）离率．以点圆，椭短轴为半的ab2（1）a与b的值；（2）该圆左右点别为和F，线L过且轴直动线与轴直交L于p.122221求段PF的垂平线直的交M的迹程，指曲类12

113解）e＝＝．又圆心0，0到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝，3322y2∴2＝22＝33（2）F（－1，0F（1，0题可设P（1，t≠0）.么线段PF的中点为N，1

t2

L

2

的方程为：＝t设M

M

M

)是所求轨迹上的任意.【下面求直线的方，然后直线

L

2

的方程联立，求交点M的轨方】直线

1

的斜率k＝

t2，∴线段的垂线MN的斜＝－．2t所以：直线MN的程为：ty－＝x．由tM2tyxt2M

t4，消去参数t得

yM

M

，即：

11点直法轨】xx2111111点直法轨】xx211112212x

，其轨迹为抛物线（除原点又解：由于＝－x

tt－yPF＝－x，－y·PF＝0，2tty0∴22

，消参数t得

y2

（x轨为抛物线（除原点．(07南）知曲

x

2

2

的、焦分为

F

，

，点

的直与曲相于

，

两（1）动M满足FMFBFO（其O为坐原，求的轨迹程1(2)在x上否在点使·CB为数若在求点C坐；若存，说理．解：由件知FF设A(x，y)，(y)222(x，y)，FMxy)，Fy1Fy)，由MFABy

．设，

xx1yy12

AB

的中点坐标为

x22

．当

AB

不与

轴垂直时，

y2x2

，yyy(