对中学数学运算的认识

对中学数学运算的认识第一页，共五十四页，2022年，8月28日对中学数学运算的认识

运算能力是最基础又是应用最广的一种能力，在高考中半数以上的题目需要运算，运算始终是高三沉重的话题。现实状况令人担忧，学生运算能力普遍偏差，高考中的运算问题成了莘莘学子升学的拦路虎.毫不夸张地说，考生高考“成也运算，败也运算”.

在实际的教学活动中，不明算理，机械地套用运算公式；不顾运算目标，进行盲目的推理演算；运算过程中缺乏选择合理、简洁的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高等现象经常发生。不少老师和学生对运算能力的内涵缺乏科学认识，常常将运算过程中的错误原因归结到非认知因素上，认为是“马虎”、“粗心”“不注意”才造成运算错误。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对运算的具体实施，对运算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。

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基于此，如何在高三数学复习教学过程中强化数学运算教学、落实运算能力的培养就成了咱们高三数学人必须直面的课题.现就高三复习教学中的运算问题及培养学生运算能力问题与各位交流，旨在抛砖引玉，主要谈三个方面问题：一是导致学生运算能力普遍较差的成因分析，二是解读运算能力，三是关于培养运算能力的建议。

一、导致高三学生运算能力普遍较差的成因分析运算能力差是导致数学弱势群体的主要原因之一（文科尤甚！）.冰冻三尺非一日之寒，高三学生运算能力差的原因复杂多样.

1、从学生学习的外环境来看（1）初中课程改革削弱了运算要求（十字相乘法等乘法公式、因式分解等代数恒等变形、根系关系、比例、平面几何等）.（2）计算器的广泛运用削弱了运算意识.（3）从小学到中学对减负、愉快教育、条禁令等阻碍了学生运算能力的健康发展。缺乏正确的认识，导致了事实上的学生运算能力越来越差.（4）教师关于运算的教学力度不够

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2、从学生学习的内环境来看

（1）数学学习方法出问题：不注重知识储备，不重视三基，不注重对数学思想方法的归纳、反思和总结.

（2）数学学习过程出现问题：积弱已久！

①概念模糊不清（新增内容尤甚）学生容易因概念模糊而运算失误。②公式、性质记忆不准确.③数据处理能力（计算、排序、筛选、分类讨论等）差.④数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差,运算无从下手.⑤代数恒等变形常规方法不熟练.

⑥识别、驾奴图表的能力差.⑦算法意识差，算理不清，尤其是文科生对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识.⑧审题不仔细表达能力差，书写不规范。⑨运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套,心里想的和手上写的不一致.⑩心理素质差，演绎了从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运算悲剧.第四页，共五十四页，2022年，8月28日

3、调查结果

运算能力差是导致数学学习的弱势群体的主要原因之一（1)从学生属性看，重灾区在文科一般说，文科生的形象思维好于逻辑思维，繁琐的运算是他们厌恶的，数学不好的很大的一个原因是烦算，讨厌精确，喜欢模糊，更喜欢定性的描述，不喜欢定量的描述和思维.（2)从学生性别看，重灾区在男生男生大大咧咧，“运算”是一种“磨难”，他们不喜欢磨难，喜欢小聪明，喜欢偷懒，怎样不算最好，由于书写格式严格，他们不喜欢循规蹈矩，随意、简单、迅速完成是他们的习惯，不喜欢记忆一些基本的规律、方法、长期欠帐.（3）从分数段上看，重灾区在80—110之间.

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二、运算能力解析

（一）、历年考试说明（大纲）对运算能力要求的演变：与时俱进，对运算能力要求越来越高，越来越具体.

１、在98年以前，高考数学试卷对运算能力的考查重点放在对“正确迅速的数与式的运算、变形的能力”上。２、99年的考纲添加了“对估算意识、估算能力”的考查。３、02年考纲将其扩大到“在懂得基本运算技能的基础上，考查考生对运算策略的选择、估算意识，对运算工具的使用技能以及对运算结果反思、演算的自觉意识”.

４、05年考纲就运算能力添加了“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算程序等一系列过程的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.”

５、06考纲——“运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径”，“在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”第六页，共五十四页，2022年，8月28日

６、07考纲——“运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简洁的运算途径”“在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能”。

变化：“能根据问题条件”变为“能根据问题的条件和目标”；“遇到障碍而调整运算”改为“遇到障碍而调整运算的能力及实施运算和计算的技能”。

认识：07考纲运算能力要求有所提高，强调认准目标方向，制定运算策略，以及对“数”的准确运算，对“式”的合理变形。06四川高考（17）题先分解因式可能更简单一些；（18）要求对小数的运算要准确，（19）题第三问学生看到用“向量计算”冗长且数据不简单而放弃，其实只要调整运算策略转为几何方法就有望获得成功。这些变化显示，高考对考生运算能力的要求逐步提高，对考生探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等提出了明确的要求.各种运算都有其自己的意义、法则（公式），都应遵循一定的运算率。第七页，共五十四页，2022年，8月28日

运算能力包含两层意识，即计算技能和逻辑思维，因此制定运算能力评价目标时，应从这两个方面考虑。

在计算技能方面：①是否记住数学计算公式、计算法则，并能准确的运用公式和法则进行计算。②能否应用概念、性质、定理进行有关的计算。③在进行各种数学计算时，包括数、式、方程、函数、指数、对数、三角函数、不等式、复数等结果是否准确，速度是否迅速，过程是否合理。④能否进行各种查表和使用计算器计算。

在逻辑思维方面：①是否合理的使用公式、法则。②运算方法和运算过程是否简捷。③能否对自己的运算结果进行检查和判断。④能否自我改正运算中的各类错误。⑤能否简化运算过程，进行“跳步”计算。⑥心算、速算、估算能力如何。⑦是否会推理计算。

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（二）、算法与算理

１、两个前提

（１）高中新课程增加了算法专题——课程改革对高考的影响。

高中新课程标准指出“算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.……体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.…..将算法思想贯穿高中数学课程的相关部分.”

（高中新课程标准）

（２）今年全国各地高考把算法、算理的考查提升到理性高度。“多考一点想，少考一点算的内核——多考算法，算理”备考老师必须加强对学生算法意识的训练.第九页，共五十四页，2022年，8月28日2007年稳中求新注意梯度

入手比较容易多考点想、少考点算

理1

理（文）2

理3

理（文）4

文1

文3

文（理）5

文（理）6

文22（理21）

理22中档试题常见

文19

文20

理19

理20（文21）

第十页，共五十四页，2022年，8月28日“多思即能少算”的命题意识贯穿全卷试卷中对能力的考查注意了“多考点想，少考点算”的设计意图，同时，这也是对考生能力要求的一个方面。文理科前8道题，甚至第10题等几乎不需要多大计算就可以得出结论。

(秒解)第十一页，共五十四页，2022年，8月28日第十二页，共五十四页，2022年，8月28日秒解第十三页，共五十四页，2022年，8月28日第十四页，共五十四页，2022年，8月28日第十五页，共五十四页，2022年，8月28日

（1）算法：就是运算的处方（美：林恩·阿瑟·斯蒂恩），也就是根据数学问题的情境，在将问题分析清楚的基础上，找到解决问题的具体步骤，这一组步骤称为算法.

算法特点：算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.对于一个具体的算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败.算法是思维的条理化、逻辑化.中国古代数学中的算法中国古代数学以算法为主要特征，有许多算法成果，如《九章算术》、《周髀算经》、《数书九章》、《议古根源》、千古绝唱：割圆术—内接正三角形，正六边形，正十二边形，正二十四边形等.

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完成一个数学问题的算法有两个方面：①算法设计是根据算理进行数学模型加工的一个过程，直到将所给计算模型加工成所求的解，这是一个化繁为简的过程；②算法实现是根据算法设计进行调用的过程，这是一个以简驭繁的过程.举例03年解析几何算法设计与算法实现。

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分析：本题高考均分极低，惨不忍睹！很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗？让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受：首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定是解析几何问题；其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系；第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系；

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第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程;第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可.

我们在赞叹这位同学聪明机智的同时，更应该看到他思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系

第二十页，共五十四页，2022年，8月28日开始结束问题的信息输入：这是解析几何问题，需建立坐标系根据图形的对称性建立恰当的坐标系设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标建立直线OF和GE的方程，用交轨法求点P的轨迹方程根据点P的轨迹方程判断点P的存在性第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日

事实上，上述框图中的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了.解：如图建立直角坐标系，按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),

D(-2,4a).

第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日（２）、算理与算则：算理就是运算的依据，主要指运算性质、法则及方法、技巧等.算理确保每一运算步骤的合理性、整体运算的准确性、深刻性和灵活性.算则是运算的程序（步骤）的拟定规则，算法既重视“算则”，更重视“算理”.对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用.“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现.它确保运算的熟练性。分析：本题在常见恒成立问题模式上有所创新（由求解参数变为求参数的最值）.学生的思维品质层次体现在算法的优劣，其本质体现在对问题中数学信息的驾驭和把握，（“三点式”：入手点、关键点及警戒点）.算法一：算法关注点在二次函数的图象和性质：小题大做第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日算法二：算法关注点在二次不等式进行参数分离：小题大做

(三)、运算能力的基本要素：合理性、准确性、熟练性、简捷性

06考纲对运算对象的描述

运算能力界定为：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力是思维能力和运算技能的结合。中学对运算能力的考查，不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三解恒等变形、数列极限的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等.运算结果具有存在性、确定性和最简性.第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日

(1)运算的合理性.运算的合理性是运算能力的核心.运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查.运算的目标，变形的方向，运算的路径，它们之间是密切相关的.要从运算的目标出发，研究变形方向，最终产生判断，确定运算路径.这一系列的活动都是运算过程中的思维活动，是运算合理性的表现.第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日

本题的解答是一种返璞归真的解答，式中的各个未知数都可解出其可能的取值，结果组合可以取到ab+bc+ca的最小值，因此实际上是对各种解题套路和技巧的一种反对和颠覆.在解题中出现了各种各样的误解，如应用平均值不等式、柯西不等式等，这样就可能出现取不到最小值的情况

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算理分析：以上错解的根源都是一致的，即没有注意到其中的“=”成立的条件，其中的不等号是成立的，但等号并不一定成立，即错解中的最小值都是取不到的.这就警示我们在解题时要具体问题具体分析，在代数变形过程中要注意题目的条件和所应用的公式、定理成立的条件，不能照抄照搬.

②运算的合理性表现在运算目标的确定.运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时还是完成推理和判断的工具.对一些比较直接、简单的运算目标一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到最后结果.

③运算的合理性还表现在运算途径的选择.合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也就越大.因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键.灵活地运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，善于通过观察、分析、比较，将有助于作出合理的选择.因此，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查.第三十页，共五十四页，2022年，8月28日第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日

运算的目标，变形的方向，运算的路径，它们之间是密切相关的.要从运算的目标出发，研究变形方向，最终产生判断，确定运算路径.这一系列的活动都是运算过程中的思维活动，是运算合理性的表现.

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运算的准确性.运算的准确性是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算.

在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，表达结果准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误.

怎样提高运算的准确率呢?我认为，不能简单冠以粗心或马虎，而要究其根源。从本质上说，马虎也是素质不高的表现，要想提高运算的准确率，还是要从算法、算理、算律抓起。第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日运算的熟练性在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制题目数量、控制每题的运算量，增加思考强度和思维深度来实现的.控制题目数量和每题的运算量，可以增加考核深度，给考生以充裕的时间去思考如何进行计算，而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上.过难、过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法，特别是思维能力的考查.

数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次.考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异.运算的熟练性不完全是“熟能生巧”的问题，它是运算方法与相关数学思想方法相结合的产物。

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运算的简捷性.

⑴运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省.运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求.

⑵高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用.

⑶运算速度的快慢与概念公式及数学思想方法掌握的熟练程度直接相关。第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日2007年立足教材重视基础注重数学思想方法：（1）数形结合：文2（理2）

文11（理9）

文12（理）11

文16（理16）

文21（理20）（2）分类思想：

文9

理10

理12（3）化归思想：

文（理）5

文8（理7）

文（理）15（4）函数与方程：文10（理8）

理13

文7第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日三、关于培养运算能力的建议(一)、发展运算能力的大致阶段

1)从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段。这一阶段要完成从知识到技能的过渡，中心是准确理解有关知识，熟练有关运算的方法、步骤，应该本着“先慢后快”，“先死后活”的原则，开始时，运算步骤不宜跳跃，每一步运算的依据必须明确、清晰，运算过程的表述必须规范、条理，组织训练时，不仅要注意适当的数量，还要注意一定的层次。这就要求教师能够根据不同运算的不同特点，不同学生的不同水平，把握好多大量的训练，就可以达到熟练，抓住几种基本变化就能做到旁通，分几个层次更符合学生的认识规律，从而使训练取得更好的效益和效率。

2)从运算技能上升到运算能力的阶段

随着运算技能的形成逐渐简化运算步骤，灵活运用运算法则、公式是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节，是引导学生认识运算的目的性(清楚理解运算的目标)重点应放在算理、运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算上，认识实施运算的途径的多样性，培养学生合理选择简捷运算途径的意识和习惯。

第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日3)在各种应用中，进一步提高运算能力的阶段技能和能力的初步形成，还必须在今后的应用中，才能得到巩固、发展和深化，在运算过程中，运算的工具性和运算过程的思维性更加突出了。运算的目标不一定是追求一个简化的结果，而要为一定的推理、演绎、判断服务，在运用中，对于运算从问题的产生，运算目标的确定，运算种类的选择，运算技能的发挥到各种运算的配合，是具有综合性要求的。发展运算能力的三个阶段不是割裂的，不存在时间上明显的界限，它们是交叉进行，互相促进的，其中一条主线是知识技能与思维能力的结合。2、一般来说，运算能力的形成需要经历从知识、技能到能力的转化。现代认知心理学把知识区分为陈述性知识和程序性知识。进一步的，认知心理学家认为，思维技能或认知策略属于程序性知识范畴，这类知识被称为“有控制的程序性知识”。这样的知识在运用时具有运行速度慢、有顺序、能有意识地监控、能准确表述等特点。

因此，在发展学生的运算技能过程中，教师应当注意：要以相应的知识为依据，使学生理解有关知识、熟悉运算程序；经过一定量的、有层次的、按部就班的训练以后，逐渐要求学生简化运算步骤，灵活运用公式、法则，以培养学生的运算策略；要有适当的综合性训练。第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日（二）、仅仅加强运算训练只是治表，治本的根本在于加强运算教学力度，引导学生归纳总结运算的基本方法，同时促进学生建构并完善基础知识系统，使基础知识和基本方法熟练化和系统化，使学生对运算由懂到会，由会到对，由对到熟，由熟到变，由变到通。

1、打牢基础，完善知识和方法体系（不能留漏洞，留死角）

2、教师的教学不能局限在数学的知识和方法上，由离散到连续（要内化）

3、明确要求学生，加强知识储备，完善知识和方法体系

⑴从思想高度重视，从学习行为上持续改进。⑵知识系统化，熟练到自动化程度。标志：定义,概念理解准确无误。公式记忆准确无误。定理，法则应用准确无误。思想,方法灵活应用。⑶构建和完善数学思想方法体系。

4、立足课堂，加强运算教学（尤其是算法和算理）①身教胜于言教。教师示范——揭示算法，算理，板书的功能。②强化作业，训练和考试对运算能力的培养。反馈，讲评，改进。③加强数学阅读教学与审题教学。

第四十页，共五十四页，2022年，8月28日第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日④加强学法指导：导——悟。加强运算中的数学思想方法的积累，归纳与总结。

由高三学生转化为高三考生，考生不要一味算题，即使算过很多题，但如果没有真正掌握其中所蕴涵的数学思想和数学方法，考试碰到相同或相似的题时，仍然不会做。因此要知识点掌握好，深入挖掘题目中的思想和方法，概括出某一类题的解题方法，归纳总结算法原理，才能从容应对高考。切莫动脑不动手，动手不动脑。引导学生重视总结例题和习题中的算法。“做100道题会解10道题”与“做10道题会解100道题”的关系。

第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日⑤强化数学思想方法与运算的整合案例:2003年社会各界普遍反映高考数学试题的运算量过大，但是仔细研讨试题即会发现：运算量过大并非考试本身所导，是系解题方法不当和学生算法意识差所致。数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考察的重中之中（一种见解认为它隶属于基础知识）在2003年的高考选择题中有许多可以借助特殊淘汰或验证、构造等方法迅速作答；应用数形结合的思想方法也可以得到许多考题的简便解法。突出方法永远是高考试题的特点（任子朝）,对数学思想方法要求较高的运算，应注重学生对运算过程和算法算理的充分体验。⑥将运算能力的培养渗透到教学过程的每一个环节，重在“小”和“实”（小灵通）第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日5、有针对性地开设运算专题，热点问题重点突破，处理好冷、热点知识的关系，热点知识重点突破。①递推数列②向量方程（不等式）：空间，平面③合情推理与估算……——局部突破整体

第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日第四十七页，共五十四页，2022年，8月28日④不等式恒成立——导数背景。⑤强化常规运算与常规能力的整合：若解析几何中回归定义，借助平几，设而不求，合理引参，整体代换。立体几何位置关系与数量关系的熟练转化等。

⑥加强代数推理，数学三大能力之一逻辑运算离不开运算，尤其是数量方面的推理，要准确推理离不开准确的运算，所以运算是推理的基础

.⑦利用数学思想方法明晰算理简化运算

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