定解问题的推导

定解问题的推导第一页，共三十七页，2022年，8月28日数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要是指偏微分方程和积分方程，这些方程称为泛定方程，若加上物理问题产生的具体环境（即边界条件和初始条件），则构成一个（组）数学物理定解问题。数学物理方程所研究的内容和涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律。从物理规律的角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系。数学物理思想第二页，共三十七页，2022年，8月28日（声）振动是研究（声）源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题第三页，共三十七页，2022年，8月28日根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正（向）问题、逆（向）问题或称为反问题.不同出发点

正问题，即为已知源求场

反问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容。第四页，共三十七页，2022年，8月28日多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律第五页，共三十七页，2022年，8月28日三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第六页，共三十七页，2022年，8月28日分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数。三类数学物理方程的一种最常用解法第七页，共三十七页，2022年，8月28日波动方程的建立1.弦的微小横振动（见教材第1页）考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

第八页，共三十七页，2022年，8月28日（1）问题的提法给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。（2）方程的推导注意：

物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点。第九页，共三十七页，2022年，8月28日（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。基本假设（微小、均匀和柔软的物理意义）：（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。（ρ=M/L，M--质量，L--长度）第十页，共三十七页，2022年，8月28日TT′′MM′NN′dsxx+dxxut时刻设弦上具有坐标x的点在t时刻的位置为M，位移MN记作u，u=u(x,t)，由于没有办法考察弦上单点的运动，所以我们选择小弧段来研究，然后研究小弧段的长度趋于零的极限状态。ds—弧段MM′的长度；—弦的线密度；T—M点所受的张力；T′—M′点所受的张力；由于假设弦是柔软的，所以在任一点处张力的方向总是沿着该点的切线方向，下面分析弧段的受力情况。第十一页，共三十七页，2022年，8月28日物理定律：Newton第二定律F=ma作用于弧段上任一方向上的力的合力等于这段弧的质量乘以力的方向上的加速度。x轴方向（水平）：由于弦只作横振动（垂向振动），则（1.1）由弦只作微小横振动的假设，即，′都很小，则≈0，′≈0，从而由TT′′MM′NN′dsxx+dxxut时刻第十二页，共三十七页，2022年，8月28日略去高阶项，有代入（1.1）得到u轴方向（垂直）：又因为当≈0，′≈0时，TT′′MM′NN′dsxx+dxxut时刻第十三页，共三十七页，2022年，8月28日同理又由于小弧段在t时刻沿u方向运动的加速度为弧段的质量m=ds，所以第十四页，共三十七页，2022年，8月28日因为于是，（1.2）或第十五页，共三十七页，2022年，8月28日（1.3）其中，方程（1.3）称为一维波动方程。第十六页，共三十七页，2022年，8月28日如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(1.3)应该改写为

(1.4)式（1.4）称为弦的受迫振动方程.，为时刻作用于处单位质量上的横向（垂直）外力。式中称为力密度

第十七页，共三十七页，2022年，8月28日第十八页，共三十七页，2022年，8月28日2.传输线方程（或电报方程，见教材第4页）（1）问题的提法第十九页，共三十七页，2022年，8月28日（2）方程的推导根据基尔霍夫第二定律，在长度为△x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即第二十页，共三十七页，2022年，8月28日由此得（2.1）另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即由此得（2.2）将方程（2.1）与（2.2）合并，即得i，v应满足如下方程组第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日（2.1）（2.2）第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日将（2.1）中的（2.3）代入（2.3），得（2.4）这就是电流i满足得微分方程。采用类似得方法从（2.1）与（2.2）中消去i可得电压v满足得方程第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日（2.5）（2.3）方程（2.3）或（2.5）称为传输线方程（电报方程）。根据不同的具体情况，对参数R，L，C，G作不同得假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。也就是说可令G=R=0,此时方程（2.3）与（2.5）可简化为这两个方程称为高频传输线方程。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日这两个方程与（1.3）完全相同。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。令（1.3）第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日3.热传导方程（见教材第8页）（1）问题的提法热传导方程的建立第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日其中k＝k（x，y，z）称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日利用上面的关系，从时刻t1到时刻t2通过曲面S流入区域V的全部热量为第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日流入的热量使V内各点的温度从u（x，y，z，t1）变化到u（x，y，z，t2），则在[t1,

t2]内V内温度升高所需的热量为其中c为物体的比热，ρ为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，流入的热量等于物体温度升高所需吸收的热量，即（2.6）此式左端的曲面积分中S是闭曲面，假设函数u关于x，y，z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，可以利用高斯（Guass）公式将它化为三重积分，即第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日同时，（2.6）的右端的体积分可以写成（2.6）因此，有（2.7）由于时间间隔[t1,

t2]及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以（2.7）式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即第三十页，共三十七页，2022年，8月28日（2.8）若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则相应的热传导方程为其中。第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板）而其中的温度u只与x，t（或x，y，t）有关，则方程（2.8）就变成一维热传导方程（2.8）或二维热传导方程第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日（2.8）第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：

时间内，通过面积元流入小体积元的热量与沿面积元外法线方向的温度变化率

成正比也与和成正比，即：式中是导热系数

第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日取直角坐标系Oxyz,如图表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度在dt时间内通过ABCD面流入的热量为同样，在时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为第三十五页，共三十七页，2022年，8月2