专题14 切线的性质和判定 (解析版)

专题14切线的性质和判定V考纲要求:1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.1•切线的定义般地，当直线与圆有唯公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.2•切线的性质切线与圆只有一个公共点.切线到圆心的距离等于圆的半径.切线垂直于经过切点的半径.3•切线的判定与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.基础知识回顾2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明..V应用举例:2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明..V应用举例:招数一、利用切线进行证明和计算【例1】如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，父AB延长线于点F-（1）若AE=DC，ZE=ZBCD，求证：DE=BC；;2）若2）若OB=2，AB=BD=DA，ZF=45。，求CF的长.【答案】(1)见解析；(2)2+5【解析】(1)证明：AE=DCAE=DC，ADE=ZDBC••ZADE=ZDBC在AADE和ADBC中，＜ZE=ZBCDAE=DCADE=ADBC(AAS)DE=BC(2)解：连接CO并延长交AB于G，作OH丄AB于H，如图所示:则ZOHG=ZOHB=90。CF与O相切于点C，.ZFCG=90。ZF=4g，.ACFG、AOGH是等腰直角三角形，CF=CG，OG=.;2OH••AB=BD=DA.AABD是等边三角形，.••ZABD=60。，.ZOBH=30。OH=10B=1，•••OG=、込2CF=CG=OC+OG=2+42招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线【例2】如图，AB、AC分别是©0的直径和弦，0D丄AC于点D.过点A作©0的切线与0D的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.求证：PC是©0的切线；若ZABC=60°,AB=10，求线段CF的长.【答案】（1）见解析；⑵5二解析】（1）连接OC，TOD丄AC,0D经过圆心0,・・・AD=CD,・・・PA=PC,在厶OAP和厶OCP中，0A=0CT=PC,'OP=OP•••△OAP竺AOCP(SSS),・・・Z0CP=Z0APTPA是©0的切线，・・・Z0AP=90°.・・・Z0CP=90°,即OC丄PC,・・・PC是©0的切线.(2)T0B=0C,Z0BC=60°,•••△OBC是等边三角形，・・・ZC0B=60°,TAB=1O,・.OC=5,由(1)知ZOCF=90°,・°・CF=0CtanZC0B=5，..了.招数三、切线的性质和判定的综合应用【例3】如图，在—二二中，〔为三〔上一点，以U为圆心，二长为半径作圆，与二相切于点［，过点•作二-二:交弐的延长线于点［:,且二二二求证：三三为「疔的切线；若M 二二=二，求二;的长.【答案】⑴证明见解析；(2)【解析】(1)作OE丄AB于点E,•・•：0切BC于点C,・・・OC丄BC,ZACB=90°,•・•AD丄BD,・・・ZD=90°,•••ZABD+ZBAD=90°,ZCBD+ZBOC=90°,VZBOC=ZAOD,ZAOD=ZBAD,・ZBOC=ZBAD,・ZABD=ZCBDr^OEA=^OCE在△08。和厶OBE中;丛町=&BD,、OB=OB•△OBC^^OBE,・・・OE=OC,・・・OE是©O的半径,TOE丄AB,・・・AB为©O的切线；(2)TtanZABC=:,BC=6,.・.AC=8,・・・AB=⑺—P=」：,TBE二BC=6,・・・AE=4,・・・ZAOE=ZABC,・・・tanZAOE寺七‘・・・E°=3,・•・AO=5,OC=3BO=匚—子=3T,在^AOD和gOC中t益二兗，•••△AODs^boc吕,KLFbC*lLi即土二生，・・.AD三卫.二方法、规律归纳：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端点；②垂直于这条半径.常用辅助线的添加方法：①有切点连圆心，证垂直；②无切点作垂直，证相等.利用切线的性质构造直角三角形,利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算.U实战演练：1•如图，等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切，则@0的半径为（）【解析】・@0与AB,AC相切，・・・0D丄AB,0E丄AC,又•・・OD=OE,・・・ZDAO=ZEAO,又•・・AB=AC,・・・B0=C0,・・・ZDA0=30°,B0=4,・°・OD=OAtanZDAO=订3OA,又：•在RtAAOB中，AO八AB2-OB2=4*3・・OD=2<3，故选A.2•如图，AB为©0的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作©0的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）AM平分ZCAB；AM2=AC•AB；血若AB=4,ZAPE=30°，则bm的长为一；3若AC=3,BD=1,则有CM二DMfW.【答案】①②④【解析】连接0M,BM•••PE是©0的切线，・・・0M丄PE.•.•AC丄PE,・・・AC〃OM,・・・ZCAM=ZAMO.V0A=0M,AZAM0=ZMA0,AZCAM=ZMA0.

•AM平分ZCAB.选项①正确；•AB为直径，・・・ZAMB=90°=ZACM.-ZCAM=ZMAO,・・・AAMCsAABM.ac_am.AM2=AC•AB.选项②正确；•ZP=30°,・ZM0P=60°.•AB=4,・・・半径r=2.7 60kx22选项③错误；・/ _ _—兀选项③错误；bm180 3•BD〃OM〃AC,0A=0B,CM=MD．•ZCAM+ZAMC=90°,ZAMC+ZBMD=90°,AZCAM=ZBMD.•ZACM=ZBDM=90°,・・・AACMsAMDB.AccM _ .・・CM•DM=3X1=3.dmbdCM二DM=7?.选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=12，点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的°卩与4ABC的一边相切时，AP的长为 .【答案】13或3訂32【解析】半径为6的二卩与厶ABC的一边相切，可能与AC,BC,AB相切，故分类讨论：当二P与AC相切时，点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动，距离最大在点D处取到，为5，故这种情况不存在;当P与AC相切时，点P到BC的距离为6,如图PE=6,PE丄AC，・・・PEACD的中位线，点P为AD中点，・・・AP=1ad=13•22'当P与AB相切时，点P到AB的距离为6,即PF=6,PF丄AB,过点D作DG丄AB于点G,•••△APFsAADGsAABC,・・・pF=ACAPAB'其中，PF=6,AC=12,AB=QAC2+BC2=6/13,.・・AP=3^3；综上所述，AP的长为13或3币如图，在RtAAOB中，0A=0B=4&，①0的半径为2,点P是AB边上的动点，过点P作©0的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 .

【答案】2朽【解析】连接0Q,如图所示，•••PQ是©0的切线，・・・0Q丄PQ,根据勾股定理知：PQ2=0P2-0Q2,・・・当P0丄AB时，线段PQ最短,•・•在RtAAOB中，0A=0B=4p2・・・AB=\20A=8,・・・AB=\20A=8,・S=△A0B0A・0B=1AB・0P,2即0P=OA•OB=4,ABPQ=PQ=VOP2-OQ2 42-22=2\:3故答案为：2.35故答案为：2.35•如图，在0ABC中，以0为圆心，0A为半径的圆与BC相切于点B,与0C相交于点D.1）1）求BD的度数；（2）如图，点E在©0上，连结CE与©0交于点F.若EF=AB，求Z0CE的度数.【答案】（1）45°；（2）30°.【解析】（1）连结0B．•••BC是©0的切线，・・・0B丄BC,•・•四边形0ABC是平行四边形・・・OA〃BC,・・・OB丄0A.•••△AOB是等腰直角三角形，・・・ZAB0=45°.°・°0C〃AB,・°・ZB0C=ZAB0=45°.•:BD的的度数为45°；ECEC(2)连结OE,过点0作OH丄EC于点H,设EH=t,•・・0H丄EC,・・・EF=2HE=21,•・•四边形0ABC是平行四边形AB=CO=EF=21,•••△aob是等腰直角三角形..*.00的半径0A=£t.•:在RtAEHO中，0H=*oe2—eh2=；2t2—12=t在RtAOCH中，•・・0C=20H,・・・Z0CE=30°.6•如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=120。，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E. c求证：AC是D的切线；若CE=2乜，求D的半径.【答案】(1)见解析；(2)2刀.解析】(1)证明：连接AD,AB=AC，ABAC=120°，/.ZB=ZC=30°AD=BD，/.ABAD=AB=30°/.ZADC=60。，/.ZDAC=180。—60。—30。=90。AC是D的切线；(2)解：连接AEAD=DE，ZADE=60°./AADE是等边三角形，./AE=DE，ZAED=60°••/.ZEAC=ZAED—ZC=30°，/.ZEAC=ZC/.AE=CE=2,3D的半径AD=2、打7.如图，AB=16,O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O,B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧二:于点P,Q,且点P,Q在AB异侧，连接OP.（1） 求证:AP=BQ；（2） 当BQ=4.丁时，求扇形COQ的面积及工;的长（结果保留n）；（3） 若厶APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围.【答案】（1）见解析；（2） ；（3）4VOCV8.【解析】试题解析：（1）证明：连接OQ.TAP、BQ是©0的切线，・・・0P丄AP,0Q丄BQ,・・・ZAP0二ZBQ0=90°,在RtAAPO和RtABQO中，T0A=0B,OP=OQ,・・・RtAAPO竺RtABQO,・AP二BQ；(2)TRtAAPO竺RtABQ0,AZA0P=ZB0Q,・P、O、Q三点共线,•・•在RtABOQ中，cosB= ,AZB=30°,ZBOQ=60°,OBQs・・・0Q二0B=4,・.・ZC0D=90°,・・・ZQ0D=90°+60°=150°,・•・优弧曲的长=』^=Z；(3)TAAP0的外心是OA的中点，0A=8,•••△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4VOCV8.8•如图，在RtAABC中，ZACB=90。，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE丄AB，垂足为E• Q(1)若O的半径为5，AC=6，求BN的长；2(2)求证：NE与O相切.【答案】(1)4；(2)见解析．【解析】(1)连接DN,ONO的半径为5，••.CD=52T0ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，BD=CD=AD=5，AB=10，.•BC=\AB2一AC2=8♦•CD为直径，/.ZCND=90。，且BD=CDBN=NC=4・♦（2）ZACB=90°，D为斜边的中点,./CD=DA=DB=1AB，/ZBCD=ZB2OC=ON，/ZBCD=ZONCZONC=ZB，/.ON//AB♦NE丄AB，/.ON丄NE/NE为O的切线．如图，已知AB为©O的直径，AD、BD是©O的弦，BC是©O的切线，切点为B,OC〃AD,BA、CD的延长线相交于点E．求证：DC是©O的切线；若AE=1，ED=3,求©O的半径.解析：(1)证明：连结DO．/.ZdaoZcob,