定积分概念求解

定积分概念求解第一页，共五十七页，2022年，8月28日abxyo原型（求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型第二页，共五十七页，2022年，8月28日面积怎么求？元素法ππ第三页，共五十七页，2022年，8月28日利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo第四页，共五十七页，2022年，8月28日取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；abxyo用矩形面积近似小曲边梯形面积底典型小区域面积第五页，共五十七页，2022年，8月28日abxyo第三步求和；矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第六页，共五十七页，2022年，8月28日第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo第七页，共五十七页，2022年，8月28日第八页，共五十七页，2022年，8月28日二、定积分的定义定义以直代曲求和第九页，共五十七页，2022年，8月28日被积函数被积表达式积分上限积分下限积分变量积分和取极限第十页，共五十七页，2022年，8月28日注意：第十一页，共五十七页，2022年，8月28日曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第十二页，共五十七页，2022年，8月28日几何意义第十三页，共五十七页，2022年，8月28日例1解第十四页，共五十七页，2022年，8月28日π第十五页，共五十七页，2022年，8月28日定理三、定积分的性质定理第十六页，共五十七页，2022年，8月28日补充：不论的相对位置如何,上式总成立.定理（积分区间的可加性）abcSacScbS第十七页，共五十七页，2022年，8月28日定理πππ第十八页，共五十七页，2022年，8月28日对定积分的补充规定:第十九页，共五十七页，2022年，8月28日第二十页，共五十七页，2022年，8月28日定理（保序性）推论（保号性）第二十一页，共五十七页，2022年，8月28日定理（有界性）第二十二页，共五十七页，2022年，8月28日例2解ππππππππ.π第二十三页，共五十七页，2022年，8月28日第二十四页，共五十七页，2022年，8月28日定理（绝对值不等式）用保序性证得第二十五页，共五十七页，2022年，8月28日定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释第二十六页，共五十七页，2022年，8月28日定积分的计算第二十七页，共五十七页，2022年，8月28日定积分计算如何计算定积分？

定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.

根据几何意义，图不好画第二十八页，共五十七页，2022年，8月28日定理牛顿-莱布尼茨公式微积分基本定理第二十九页，共五十七页，2022年，8月28日微积分基本公式表明：求定积分问题转化为求原函数的问题注意第三十页，共五十七页，2022年，8月28日例1求

解提示与分析：ππππ先看成不定积分问题，求出原函数.第三十一页，共五十七页，2022年，8月28日例2例如第三十二页，共五十七页，2022年，8月28日第三十三页，共五十七页，2022年，8月28日问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令第一换元法第三十四页，共五十七页，2022年，8月28日第三十五页，共五十七页，2022年，8月28日考虑到底该令哪个式子为u第三十六页，共五十七页，2022年，8月28日第三十七页，共五十七页，2022年，8月28日一定要换积分上、下限第三十八页，共五十七页，2022年，8月28日第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:

第三十九页，共五十七页，2022年，8月28日第四十页，共五十七页，2022年，8月28日解例4计算第四十一页，共五十七页，2022年，8月28日说明:使用第一换元法的关键在于将化为观察重点不同，所得结论形式不同.第四十二页，共五十七页，2022年，8月28日例5计算解一π提示与分析：用凑微分法求解.ππππ解二ππππ第四十三页，共五十七页，2022年，8月28日解三第四十四页，共五十七页，2022年，8月28日第一类换元法难求

易求第二换元积分法第二类换元法难求

易求第四十五页，共五十七页，2022年，8月28日

定积分的第二换元积分法第四十六页，共五十七页，2022年，8月28日应用换元公式时要注意:第四十七页，共五十七页，2022年，8月28日第二换元法第四十八页，共五十七页，2022年，8月28日例7计算解令πππ如何去掉根式？三角代换π第四十九页，共五十七页，2022年，8月28日ππππππππ第五十页，共五十七页，2022年，8月28日第五十一页，共五十七页，2022年，8月28日=0解例8计算ππππππ第五十二页，共五十七页，2022年，8月28日解例9计算第五十三页，共五十七页，2022年，8月28日1求2求

练习

第五十四页，共五