实验五行星的轨道和位置

实验五行星的轨道和位置第一页，共三十二页，2022年，8月28日

数学实验行星的轨道 和位置第二页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图象,慧星的轨道和大海的潮汐. ─Newton墓志铭第三页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

哥白尼(波兰，1473-1543)日心说

地球－我们的家园

46亿岁,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里

金星－看起来最亮的行星半径约为6073公里,表面温度高达465至485度,自转方向与其它行星相反

背景介绍16世纪前，人们认为太阳只有6大行星托勒密（古希腊）地心说第四页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

水星－距太阳最近的行星半径为2440公里,较小，难以观察

火星－离地球最近、人们最关注的行星：火星上有无生命？

土星－最美丽的行星卫星数目最多,23颗.光环由无数块冰状物组成的

木星－行星中的巨无霸赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍第五页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

行星运行三大规律

开普勒(1571－1630)(观察分析数据)

在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上提出1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内 扫过的面积相同;3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴 的立方之比值是不随行星而改变的常数.第六页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良(Adams1845,Leverrier1846)

万有引力定律

“自然哲学的数学原理”(1687牛顿)天王星－乐师(Herschel)发现的行星(1781)海王星－笔尖上的行星冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星

2006年8月24日国际天文学联合大会决定： 冥王星降级为“矮行星”(大行星的定义)

太阳只有八大行星！第七页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

二实验目的

本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习：微分方程的建模和解法，数值积分的计算。另外，还将介绍：建立数学模型时复坐标系的选取，基于压缩映像的求根方法，微分方程的Runge-Kutta法第八页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

三实际问题

地球距太阳最远处(远日点)距离为

1.521×1011m,此时地球绕太阳运动(公转)的速度为2.929×104m/s,试求: 1)地球距太阳的最近距离

2)地球绕太阳运转的周期

3)在从远日点开始的第100天结束时,

地球的位置与速度第九页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良加速度

数学模型

在运动学中常采用复坐标系 设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,

行星位于以下复数代表的点

速度为

四数学模型第十页，共三十二页，2022年，8月28日根据Newton第二定律比较虚实部导出微分方程组四数学模型第十一页，共三十二页，2022年，8月28日问题（5.4）~（5.9）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。四数学模型第十二页，共三十二页，2022年，8月28日四数学模型第十三页，共三十二页，2022年，8月28日于是我们得到了行星运动的形式较为简单的数学模型：四数学模型第十四页，共三十二页，2022年，8月28日rdC1tp乐经良

I行星的轨迹请尝试推导出行星的轨道方程？

p1ecosr2(p,e是常数,根据相关已知数据导出)

改写前面积分表达式成为210dT1C1 2

1(1-ecos)给出时间T1，要求位置即求出θ1与r，较难！五解析方法第十五页，共三十二页，2022年，8月28日五解析方法第十六页，共三十二页，2022年，8月28日II行星的周期五解析方法第十七页，共三十二页，2022年，8月28日III行星的位置五解析方法第十八页，共三十二页，2022年，8月28日hnthtrjsdv0.05331.65001.49401.99592.98190.011681.68001.49331.99792.98340.0053371.685001.49321.99822.98360.00116861.686001.49311.99832.9837

六数值方法第十九页，共三十二页，2022年，8月28日

六数值方法第二十页，共三十二页，2022年，8月28日

六数值方法第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日

六数值方法第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日

六数值方法第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日

五数值方法

六数值方法第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良艾萨克•炼金术士造币厂总监较之科学他更多致力于《圣经》的研究

牛顿SirIsaacNewton(英格兰1643－1727年)

科学史上最有影响力的人 物理学家数学家天文学家 哲学家

专心于科学研究到痴情第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良性格内向独身一生牛顿的一句名言

WhatDescartesdidwasagoodstepyouhave addedmuchseveralways&especiallyintaking thecoloursofthethinplatesintophilosophcal consideration IfIhaveseenfurtheritisbystandingonyeshouldersofGiants.第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日hh乐经良III微分方程的Runge-kutte方法以一元为例dx dtf(t,x),xt0x0设步长为h,则tkkh,记xkx(tk)

xk1x(tkh)（Taylor展开）

33!

22!x(tk)x(tk)x(tk)hx(tk)其中x(tk)f(tk,xk)x(tk)ft(tk,xk)fx(tk,xk)x(tk)

ft(tk,xk)fx(tk,xk)f(tk,xk)可以求出各阶导数第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日xkh(K1乐经良

计算高阶导数代之以f在一些点的值的组合当Taylor展开到四阶项，可取16262616K4)K2K3xk1其中K1f(tk,xk)K2f(tkh/2,xkhK1/2)K3f(tkh/2,xkhK2/2)K4f(tkh,xkhK3)Runge-Kutte迭代格式

在Matlab可 以直接调用第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

使用Matlab

先定义一阶微分方程组函数组functiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;第二十九页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

再调用Runge‐kutte方法专用程序：functionT=m5_2(h)[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*3600],[0,1.521e11,0]);n=max(find(y(:,3)<2*pi));%查找小于

2pi所对应的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2))第三十页，共三十二页，2022年，8月28日乐经良

轨道图形将计算所得的数据，利用Matlab作图可得第三十一页，共