立体几何基础题题库

000．．．PS学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除000．．．PS立体几基础题库有详细答）1、二面角直二面，A设线与成角分别为∠2则（A）∠1+

（）∠≥

（）1+∠2≤90

（）1+∠2＜90

0解：

2分别为直线与面

如图所示作辅助，分别作两条与二面角的交线直的线，则1和2所成的角。根据小角定理：斜线和平面所成的，是这条斜线和平面内经过斜足的直线成的一切角中最小的ABO

ABO902.下列各图是正方体或正四面体PQR分是所在棱的中点，这四个点中不共的一个图是

P

Q

PR

SQR

PQQQR

SS

SPPQ

P

PQSSRQ

P

S

Q

（A）（B（C）（D）D解：A：PS底对应的中线，中线平行QSPQRS是梯形D'

S

C'A'

P

B'RD

CB项：如

A

B项：是个平行四边形学习资料

A，0学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除A，0D项：是异面直线。3.有三个平面，β，γ，列命题中正确的是（A）若β，两相，则有三条交线（若⊥β，⊥γ，则β∥（）若⊥，∩，β∩γb，则⊥

（D）若∥，∩=，∩γ=D解：A项如正方体的一个角，三个平面相交只有一条交线。B项：如正方体的个角，三个平面互相垂直，却两相交。a

项：如图

b4.如图所示在正方体D的侧面内一动点到线与直C的离1111相等，则动点所在曲线的形状为AB

B

A

B

A

P

O

O

O

P1

1A

1

B

1

B

1

B

1

1

1D'

C'A'

B'PDC解：C面ABCPB如：BP点定点B的离与到定直AB的11距离相等，建立标系画图时可以以点的点为原点建坐标系。15.在正方体CD中与成60角的对角线的条数是111（A）4条（B）条C）8（D）10条学习资料

c学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除cD'

C'

A'

B'

D

C

DC解：图

A

B

这样的直线有，另外，这样的

A

B

直线也有条，共。6.设A，B，，是间不共面的四点，且满足

，

，AB

，eq\o\ac(△,则)是（A）钝角三角（B）直角三角形C）锐角三角形（）不确定解设ABaAD为AC为c

则BD=

a

cBC=

a

Aa

bcB

D如图

C

2

则BD最长边，根据余弦理222DCB

c22

DCB

最大角为锐角。以△BCD是锐角角形。7.a是两条不同的直线α、是两个不同的平面，则下列四个命题

（）①若

abb//

②若

a//

则a③

a

a//

④

若ab,a则其中正确的命题个数是A0个B个

．2个

D3个

（）B解析：意①中可能α上③中可能在上；④α，均故只有一个正确题学习资料

00学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除008.图所示，已知正四棱—ABCD侧棱长为

，底面边长为，是的中点则异面直线BE与SC所成角的大小为（）A°．°

B60D30°B解析：移SC到

S

，运用余弦定理算得

9.对于平面M与平N,有列条件:①M、N都直于平面②N都行于平面Q;③M内不共线的三点N的离相等;④l,M的两条直线,且l//M,//N;⑤lm是面直且l////M;l//m//N,则判定平面M与面N平的条件的个数是（）A1B．2C3D4只有②、⑤能判，B

CA

B已正三棱柱ABC—AB中AB⊥CB，则AB与AC11所成的角为

C

1（A）45

0

（）

A

1

B

1（C）

0

（D）解：作CD⊥AB于D，作D⊥AB于D，连BDAD，易知ADBD是行四边形，由三垂111线定理得AB⊥AC，选C。11学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除11.正四面体棱长1，其外接球的表积为

3

πB.

35πC.2

π

D.3π解：四面体的中心到底面的离为高的连四个小棱锥得证设如下三个命题：甲：相直线

l

、m都平α内，且都不在平β内乙：直线

l

、m中至少有一条与平β相交；：平与面相．当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件．乙丙的充分且必要条件

B乙是丙的必要而不充分条件D．乙既不是丙的分条件又不是丙的必要条件解：当甲成立，即“相交直线

l

、m都平面α内，并都不在平内”时，若

l

、m中至少有一条与平面相“平α与平β相交立；若“平α与相交“l、m中少有一条与平β相”也成立．已直线、及面其中m，那么在平面到两条直线、离相等的点的集合可能是）一条直线）个平面）个点）空集．其中正确的是．解1）成立，如、都在面内，则其对称轴符合条件成立，mn在面同侧，且它们到距相等则平面为所求成立当mn所的平面与平面直时平不存在到、n距相等的点空间三条直线互平,由每两平行线确定一个平面,可确定平面的个数为）A3B或2C1或D2或解：如棱柱的三个侧面。15．若、b为异面直线，线c∥a，则与的位置关系是

（）A相交

B异面

．平

D．异面或相交解：D如方体的长。16．在正方体AB—ABCD中，AC与BD所的的大小为1111学习资料

（）

1学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除1A

6

B

4．

3

D．

2解：DBD在面AC上射影BD与AC直，根据三垂线定理可得。17如图，点P、QRS分别正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线Q与RS是异面直线的一个是（）D'

C'A'

B'DC解：AB选中的图形是平行四边形，而D选项可见图：

A

B18如图，是一个无盖正方盒子的表面展开图B为其上的三个点，则在正方盒子中，∠等于

（）A°．90°

B60°D．°ACB解：如★右图是一个正体的展开图，在原正方体中，下列命题：学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联①AB与在直线垂直；②与EF所直线平行③AB与MN所直线成°；其中正确命题的号是

④与所直线异面（）A①③

B①④

．②

D．③④解：DD

BE

MFNA

C19．线段OA，，不面，AOB==COA=60，，OB=2=3ABC是（）A等边三角形锐角三角形

B非边的等腰三形D．钝角三形解：B．ACx，AB，z，由余定理知=1+3-3=7，y=1+2-2=3，=2+3-6=7。∴△是不等边的等腰三角形，选20．a，是两两异的直线与b所成的角是则的取值范围是

3

，与与b所成的角都是，（）A[

,6

]B[

,32

]

．[

,36

]D．[

,62

]解：D学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解当l与面线a，所角的平分线平行或重合取最值

6

，当l与a的垂线平行时，取最大值

2

，故选21.小想利用树影树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长，当他马上测树高时因靠近一幢建筑物,影子不全落在地上，有一部分影子上了墙如图所示他测得留在地面部分的影子长留墙部分的影高求高的高度（阳光线可看作为平行光线）_______.4．2米解：高为AB，影长为BECD为树在墙上的影高2.73.78米，树高

CD1.21CE0.9

CE=

1.08

米，树影长

10.9

米。

AD．正四面体

（空间四边形的

B

CE

四条边长及两A

对角线的长都相等）E

中B

E,F

分F

D

别是棱C

的中,则EF和所成角的大小_解：各棱长为，则EF=

2

，取AB中点为M，

cos

即.学习资料

22222学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除2222223OX，OZ是间交同一点O的相垂直的三条直线，点P到这三条线的距离分别为，，，则长为_______.解：在长方体—ZBP中OXOYOZ是交的三条互相垂直三条直线又

OZ，PY

，

，+

，OY

2

=

，

+OZ

，得++=37，OP=．24．设直线a上有6个点，直线b上有个点，则这15个，能确_____不同的平.解：当线ab共时，可确定一个平面；当线，异面时，直线与b9个点可确定不同平面线与a上点可确定6个不平面以点可以确定个不同的平面．在空间四边形中，E，分是ABBC的中．求证EF和AD为面直线.解：设EF和AD在一平面，…分A，B，）又AAB，∴AB

∴…6分同理C…8分）A，BD与ABCD是空间四边形矛盾。EF和AD为异直线．在间四边形ABCD中EH别是ABAD的点F分是CB的中点AC+BD=a，AC

BD，求

EG

FH

.A解：边形EFGH是平四边形，…………4分）EHBDF

GC

2

EF22

=

1(AC2)(2)2如图，在三角形⊿ABC中∠ACB=90º⊿所在平面外一点，PB⊥AB，

M是PA的点ABMC求异面直MC与PB间距.

解MN//AB交PB于⊥AB⊥MN。

（分又学习资料

111111学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除111111AB⊥，∴MNMCMN即为面直线MC与PB的垂段分）长度就与PB之间的距离，则得MN=

11AB=22

a2已长方体—ABCD中AA=AB，EF分别是BD和中点11（）求异面直线CD、EF所成角；1（）证明是面直线AD和BD的垂1（1）解：在平行四边形

C11

中，也

1

的中点，∴

EF//D1

分）∴两相交直线DC与CD所的角即异面直线CD与EF所成的角（）又

A，长方体的侧1

ABB,CDDC11

都是正方形

B1

A1，DC1

C

E

D∴异面直线、所的角为90°.（7分）1（2）证：设AB=AA=a,∵DF=BF,11

B∴EF⊥BD.分）1

A

F由平行四边形，知也的中点，且是长体ABCD—ABCD的对称中心111分）∴EA=ED，EFAD，又EF⊥，∴EF是面直线BD与1AD的公线（14分）C1D1B1

A1E

FB

A⊿ABC是边为的正三角形，在ABC所平

面外有一点，

73，PA=，长BP至D，2

PBD=

7

E是BC的点AE和CD所角的大小

和这两条直线间的距.

学习资料

EAB

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解分连接PECDPE//CDPEA即AE和CD所成角Rt⊿PBE中，7PB=，BE=1，∴。⊿AEP中AE=，2

334322

1=．2∴∠AEP=60，即AE和所角是60º分）∵AE⊥BC，BCPE//DC，∴⊥，∴CE为异直AE和CD的公垂线段分）们之间的距离为1分）在正方体ABCDABD中，F，G，，MN分是方体的棱111,D,DA的点，试，FG，H，MN点共面．1

A1

AB，BC，解：EN//MF∴N与MF共面分又，EF和共分∵不共线的三点EF，确定一个平面分）∴平面重，∴点H分）同理点G分）故E，，G，H，M，N六共面．三互不重合的面把空间分成六个部份时，它的交线有

（）A1条

B2条

．3条

D1条或条D解：类）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；）当三个平面交于一条直线时，有一条线，故选D．两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

（）A4个

B5个

．6个

D8个解：如棱锥的四个侧面，

C24

个。33.．在空间四边形ABCD的、、、DA上分别取E、F、G、H四如EF与交于点M则

（）AM一定在直线AC上学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除BM一在直线BD上．M可在AC上也可能在BDDM不AC上也不在BD上解：平面ABC∩面ACD=AC先证M平面，∈平面ACD，从M∈ACA．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个边形的边数最多是.解：6条已知：

b,//.求证:PQ..(12)本题主要考查用面公理和推论证明共面问题的解：PQ∴与确定一个平面a点Ppb

PQ知ABC三线交于QR三证共线）本题主要考查用面公理和推论证明共线问题的法解：A、B是在同一直线上的三点∴过AB、有一个面

又

ABP,且A点P既在设,则l

同理证:Ql,l,Q三点已知：平面学习资料

平a,ba,

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除求证：b、是面线解：证法：若b与不异直线，则b∥或b与相(1)若b//c//c//b与ab矛(2)若b,相于B又A,A盾b是面直线在间四边形ABCD中，AD=BC=2E、F分别是CD的中点，，求与BC所角的大小（本题考查中位法求异面二直线所成角）解：BD中M连结EMMF，则EM//ADEM

1MF//BC2在MEF

EMMFEFEF3,余弦定理得EMF

异面直线BC成角的大小为

如图，在正方体ABCD—BD中，、N分为棱AA和BB的点，求异面直线CM11111与D所角的正(14分1（本题考查平移，补形法等求异面二直线所成）解：DD中点G，结BGMG，MBGC得形，记MCBG=01则和MC所的角为异面直线与所的13MA(设正方体棱长a)2BCa

19

BOC

49而CM与D所角的正弦值为519学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除如图是正角形ABC所在平面外一点分别是和中点PA=PB=PC=AB=a。（）求证是和PC的公垂线（2）求异面二直线AB和之的离解1）连结，BN，△与△是等的正三角形，又N是PC的点∴AN=BN又∵M是的点，∴⊥AB同理可证⊥PC又∵∩AB=M，MN∩PC=N∴MN是和公垂线。（2）在等腰在角形中

AN

12,MNABa2即异面二直线AB间的距离为

22

a.41空有四个点，果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的面[]A．可能有3，也可能有2个B．可能有4，也可能有3个C．可能有3，也可能有1个D可有4个也能有1个解：类，第一类，四点共面则有一个平面，第二类，四点共面，因为没有任何三点共线，任何三点都确定个平面，共有42.下列命题中正的个数是[]①三角形是平面形②四形是平面图形③四边相等的四形是平面图形④形一定平面图形A．1个B．2个C．个D．个解：题①是正确的，因为三形的三个顶点不共线，所以这点确定平面。学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除命题②是错误，平面四边形中的一个顶点在平的上、下方向稍作运动，就形成空间四边形。命题③也是错误，是上一个命题中比较特殊的四形。命题④是正确的因为矩形必须是平行四边形，一组对边平行，则确定了一个平。43.如果一条直线有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多____1个。解：果有两个，则直线就在面内，那么直线上的所有点都这个平面内，这就与已知有一个不在平面上矛盾所以这条直线与这个平面的公点最多有一个。44.空间一条直线不在这条直线上的两个点果结这两点的直线与已知_______，它们在同一平面内答案相交或行解：据推论，推论定平面的条件。45.三角形、四边、正六边形、圆，其中一定是平面图形的________3个。解：角形的三个顶点不在一直线上，故可确定一个平面，角形在这个平面内；圆上任取三一定不在一条直上，这三点即确定一个平面，确定了这个圆所在的平面，所以是平面图形；而正六边形内接于，故正六边形也是平面图形；四边形就不一定是平面图形了，的四个顶点可以不在同一平面内46.三条平行直线以确定平_________答：个或3个解：类、一类三线共面，即定一个平面，另一类三线不共，每两条确定一个，可确定3。47.画出满足下列件的图形。(1)∩=1，(2)∩=a，

α，，∥a

，∩解：图1-8-1-8-乙学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除经过平面两A，和面直的平面有几个？解：个或无数多个。当A，不垂直于平面，只有一个。当A，垂直于平面，无数多个。49.设空间四边形，、、G、分是AC、BC、、的中点，若AB＝2，＝4

2

，且四边形的积为12

，求AB和所成.解：由角形中位线的性知HG，HE，就是异面直线AB和CD所成的.∵EFGH是行四边形HG1HE＝，＝，2

12

AB＝

2

，

D∴S123.

＝HEsin12

sin∴12

sin

H

G

＝∴＝

22

,故＝45.

A

E

C

F

B∴AB和CD所的角为45注：本例两异面线所成角在图中已给，只需指即可。50.点A是BCD所平面外一点AD=BCE、F分别是ABCD的中点，且EF=和成的角图解：G是AC中点连接DGFG因D、别是AB、

22A

AD，异面直线ADCD中1点，故EG且EG=BCFG，且FG=AD由异面直2成角定义可知EG与FG成锐角或直角为异面直线AD、BC

E

G

线所所成角，即为求。由BC=AD知EG=GF=弦定理可得cos，即°。

12

AD，又EF=AD

B

F

由余学习资料

222学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除222注：本题的平移是AC中G按定义过分作出了两条异面直线的平行线，然后eq\o\ac(△,)EFG中求角。通常在现线段中点时，常取另一线段点，以构成中位线，既可用平行系，又可用线段的倍半关系。已空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,MN别为BCAD的点。求AM与CN所成角的余弦值；解：连接DM,N作NEAM交DM于，则∠为AM与所的角。∵为AD的点NE∥AM省∴NE=

12

AM且为的中。133设正四面体的棱为，则NC==且ME=24在eq\o\ac(△,)MEC中CE

=ME

+CM

31=+1616∴∠CNE=

222

2

(

37)2)24163324

23

,又∵∠∈(0,

2

)∴异面直线AM与CN所角的余弦值为

23

.注：、本题的平移点是N，按义作出了异面直线中一的平行线，然后先eq\o\ac(△,在)外计算CE、CN、EN长再回到△CEN中角。2、作出的角可能是异直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只通过解三角形后，根据这个的余弦的正、负值来判定这个是锐角（也就是异面直线所成的）或钝角（异面直线所成的角的补角后答时，这个角的余弦值必须为。52.如图所示空间四边形ABCD中点EF分是BCAD上的已知AB=4CD=20，AFBE1FD3

。求异面直线AB与CD成的角。解：BD上一点，得

GD

，连结、

CEB

G学习资料

A

F

D

1122学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除1122在BCD中

1，故EG//CD，并且GDBC4

，所以，；类似地，可证FG//AB，且

DF3AD4

，故FG=3ΔEFG中利余弦定理可得∠

1

1

D

CA

O

BFGE=

EG

GF2EF22

，故∠FGE=120°。另一方面，由前得，，所以与FG所的锐角等于与CD所的角，于是与CD所成的角等于60°。53.在长方体ABCD－BC中，AA=c，，AD=b且a＞．与BD所成的角余弦．解：连AC，设AC∩BD=0，则为中点，取CC的中点F，，则∥且

12

，所以∠FOB即DB所的角。在中，OB=

1a，2

a22

，

1bc2

，由余弦定理得∠

D

C

D

A

O

FC

BGA

O

B学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除OB=

14

(a

2

2

112)(a22)bc441a2a224

2

)

=

(

2

a22)(

2

2)解：取AC点O，B中点G．在eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)OG中，∠O即AC1与DB成的角。解长CD到EED=DCABDE为平行四边形∥BD以∠EAC为ACBD所成的角EC，△AEC1中，AE=

a

，

a

，C1E=

4a

由余弦定理，得∠EAC=1

(

2

)2)2a2a22

2

)

=

(

b22)(a

＜0所以∠钝角．根据异面直线所角的定义AC与BD所成角的余弦为1

a(a)(a)已AO是面斜线，A是足垂直B为足，则直线AB是线在平

内的射影设AC是

内的任一条

直线，解：AO与所成角为，AB与AC成角为，1角为，则有cos。12

AOAC所在三棱锥S—中∠SAB=SAC=

∠ACB=90，2,BC）

3,SB29

，求异面直线与所角的大小去该题的由SA⊥平面ABC知，AC为SC在面ABC内射，设异面直线SC与成角为，

S则

cosBAC

，

A

BC学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除由

BC

3,SB

得

AB17SA23,SC2∴

cos

12

，

cosBAC

217

，∴

cos

17，即面直线SC与AB所角为arccos17

。已平行六面体ABCDD的底ABCD是菱形，且1111C，证明CC

B

1

A

1C

1

D

1（略去了该题的，3问）

B

A解：射影，

1

在平面内射影为HCH

1

在平面ABCD

C

H

D

内的∴∴

cosCCDDCH1cosCBCHBCH1

，，由题意

CDCB1

，∴

cosDCHcos

。又∵

BCH∴

，从而为的分线，又四边形ABCD是形，∴

BD∴

1

与BD所成角为

90

，

即

156..在正四体ABCD中E，分别BC，AD的点，求异面直线AE与CF所角的大。解：连、EF，易证AD⊥面，∴为AE在面BFC内射影，设AE与所角为学习资料

，

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A∴

cosAEFCFE

，

F设正四面体的棱为，则AEBF

32

a

，

B

E

DC显然⊥BC∴

EF

22

a

，∴

cosAEF

EF6EF6，cos33

，∴

22，即AE∴与CF所角为arccos33

。三柱

A，平O11111

⊥平面OAB，OOB6090（略去了该题的）

，且

OO2,OA31

，求异面直线

AB1

与

AO1

所成角的大小，解：在面内OO1

于，连A，1

O

1

B

1A

1由平面面AOBAOB11AO平面，∴BC，1

知，

A

O

C

B又

AOOO1

，∴BC⊥平面

1

，∴AC为在平面AOOA1

内的射影。设

B1

与

AO1

所成角为

，

1

与

AO1

所成角为

2

，则

cos1

2

，由题意易求得

2,A71

，∴

cosC

A2AB

，学习资料

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1

中易求得

AC1

与

AO1

所成角

2

的余弦值：

2

714

，∴

BAC12

17

，即与AO所角为arccos1

17

。已异面直线

a

与

所成的角为

50

，为间一定点，过点P且

a

，

所成的角均是

30

的直线有且只有（）A1条

B、

3条

D、4条解：过间一点

a

'∥ab'∥，则由异面直线所成角的义知a与'

的交角为

50

，过P与

a

'，'成角的直线与，b亦等角设'，b确平面'，b

交角的平分线为

l

则过

l

且与

垂直的平面（设

）内的任一直线

l

与

'，b'

成等角（证明从上述论知l

与

'，'所成角大于或等

l

与

'

，

'

所成角

，这样在

内

l

的两侧与

'

，

'

成

角的直线各有一，共两条在a，'相的另一个角130内同样可以作过角分线且与直平述论知，

内任一直线与

'，b'

所成角大于或等

，所以

内没有符合要求直线，因此过

a

，b

成

的直线有且只有2，故选（B）垂于同一条直线的两条直的位置关系是（）平异

相D.以都有能解：Dl、是条面直线，直线、与l、l都相，则、m的位置关系是（）121异或平行异解：D

B.相D.相交或异面学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除在方体ABCD-A’C’D’中与棱AA异面的线共有几条（）A.4D.10解：A在正方体ABCD-A’C’D中棱中能组成异面直线的总数是（）A.48对对解：

B.24D.6对D'A'B'D

C'CA

B

棱AA有4条之异面所所有棱能组成×12=48对,每一对都重复计一次,共有对.正体ABCD-A’D中异面直线CD和’所的的度数是（）°°学习资料

B.60°

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除D'A'DA

C'C解：∠ADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为60°64异面直线a，⊥b，与成30角，则与b成的范围是（）

B,32A.

,62C.

2,63

D.

2,33

b解A

直线在置时,它与b成角的最大值为°直c位时它与b成的小值是°65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长是1，点M在边AB上运、点在运动，则P、Q的短距离为（）.

3B.C.2学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解：当M,N分为点时。因为CD为面直线所以N的短距离就是异面直线AB,CD的离为最短连则CD⊥⊥AN=BN,所以NMAB同理接CM,MD可得MN⊥所MN为

BN

2

-BM2

=

312-=442的公垂线为AN=BN＝所在eq\o\ac(△,RT)中＝

求异面直线的距离常利用定义来求，它包括两个:先证一条段同时与两异面直线相交垂直再利用数量关系求解在做综合题时往往大家只重视二步，而忽略第一步。66空间四边形ABCD中分别是AB,CD的点EF＝√3，则所的为（）°°

B.60°cosEMF=

2+13

2

=-

12解B注：面直线所成角的念，范围及求法，需注意的是异面直线所不能是钝角，而用平行关系构造可求解的三角，可能是钝

考察异成的角角三角形，望大家注意同时求角的大小是先证明再求这一基本过

程。直线a是面的斜线在平内已ab成°且与在平内射影成°时，a与所成的是（）

A

的角，°

B.60°

°

O

b

B

C解A学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除A∈，A在的射影是，则⊥于C，⊥b于，则⊥平面ABCOB⊥BCOCOB∵cosAOC=AOB=cos60OAOAOBOCcosBOC=cos45∴cosAOC=OCOAcosAOBcos602===∴AOC=45cosBOCcos452和分别在两个互相垂直的面α、内的两条直线α与β交于lm和l既不垂，也不平行，那么m和n的置关系是可垂直，但不可能平行B.可平行，但不可能直可垂直，可能平行既可能垂，也不可能平行解：种结构的题目，常常这处理，先假设某位置关系成立在此基础上进行推理，若无矛盾且推理过程可逆就肯定这个假设；若有矛盾，否定这个假设。设由于在β外，n在β内，∴m//β而α过m与交于l∴m//l，这与已知矛盾∴m不行n.设⊥n，内直线α⊥∵⊥β∴⊥,∴m⊥a.又由于n和共且相交（若则nl，与知矛盾）∴mβ,∴ml与已知矛盾∴m和不能垂.综上所述，应选D）如，BD是方体，E、分是ADDD的中点，则面EFCB和所二11111面角的正切值等学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解：了作出二面角E-BC的平面角，需在一面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用1三垂线定理作二角的平面角的关键步骤从图形特点看，当过E（或F）作面BCC的.解：E作EH⊥，垂足H.过H作HG⊥，足G.连1∵面ABCD面BCC而EH⊥BC1∵⊥面，1EG是BCC的线HG是斜线EG在BCC内射影∵HG，∴EG⊥BC1∴∠是面角E-BC-C的平面角。1在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BCC中：1在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中∠C1

=∴HG=

（设底面边长为1.而，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)EHG中：tg∴∠EGH=arctg故二面角-C等于1学习资料

.

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除将长为的正方形ABCD沿对角线AC折，使.则三棱锥的体积为解：ACBD交点则AC且AC在折起后，这个垂直关不变，因此BOD是面的面由eq\o\ac(△,)DOB中边长已知，所以可求出BOD：这是问题的一方一面为了求体求高个实际上eq\o\ac(△,)中OB边的高DE理由是：∵DE⊥OB∴DE⊥面ABC.由cos∠DOB=∴DE=∴应选（）学习资料

，知∠DOE=

2学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除2球上有三个点A、B、C.A和，A和C间的面距离等于大圆周长的.B和C间的球面距离等于大圆周长的如果球的半径是R，那球心到截面ABC距离等于解：题考查球面距离的概念空间想像能.如图所示，圆是球的大圆，且大所在平面与面垂，其中弦EF是AB的圆的直径，弦心OD就球心到面ABC的离，OE是球的半径，因此，求，先求出截面圆ABC的半径下一个图是过A的.ABAC是两点之间的线.它的长度要分别在AOB、△AOCeq\o\ac(△,、)COB中求O是心由于A间面距离是大圆周长的以∠×π

，同理∠

，∠.∴|AB|=R|AC|=R，.在ABC中，由于AB+AC.∴∠BAC=90,BC是圆的直径∴|ED|=从而OD|=.故应选B.如，四棱锥，ABCD是方形⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有A.4B.5对对答案（）学习资料

D.7对

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解：找到一个好的工作方法使得计数时不至于产生遗漏ABCD各条棱长都相等的三棱.是△ABC垂心，那么AB和所成的角等于_____解：90°CM交AB于N，连DN，知NAB点，AB⊥CN，AB⊥DN.已知PA矩形ABCD在平面M、N分是AB、PC的中点.（）求证⊥；（）若∠PDA=45°，求证⊥分)解：取PD中点为中,连NE则E//

CD又AM//AM//AE

CDAM//四边形MNE为平行四边形

PA平ABCDCDCD平ADPCD.(注:或直接用三垂线定理CD面BCD平面A(2)PDA,RtPAD为腰直角三角PD,又//,PD,PDCDD平面P设、Q是位方体AC的AADD面AB的心。11111如图）证明：∥平面AAB；11（2）求线段的12分学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除证法一:AA,B的点,连MNNQMP1MP//AD,MPAD,NQ//D,NQAD22MP//且MP四边PQNM为平四边形//MNMNAAB,AAB//面AAB证法二:连ADAB在D中,显然,分别是,DB的中1//,且QAB2面AB,AB面AA//面B(2)方法一:PQ

AM

22

a方法二:PQ

12AB2评注：本题提供两种解法，方法一，通过平行边形的对边平行得到“线线平行得线面平行法二，通过三角形的位线与底边平行得到“线线平行证“线面平行证法较多。如图，已知求证∥解：

,EA,AB

ll平面laEAaa面al．如图，ABCD为方形，过A作线段SA⊥面ABCD又过A作SC垂的面交SB、、SD于E、K、H求证：E、H分是点A在直线和SD上射分解：学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除面BCDBCBC平ABCD又ABBCSAABABC面SABBCAE平AHKEAE又SC平BC即为A在SB上射.用理可H是在SD的射.在正方体ABCDABD，G为CC的中O为面ABCD中心。111求证：A平面（分1解：AC

BD平面AAO面AO又A

AA

AO

)

OG

3a)2

G

AC

a)

)a

AOOGAOG

又BDA平面BD如图已知是两条相互垂直的异面直线公垂线段AB的长定值m定为（n>m）的线段PQ的个端点分别在a上移动，MN分是、PQ的中点。（1）求证：AB⊥；（2）求证：的是定值14分解：学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除(1)取B中H结HN,HABbHN理B平面平面MN(2)

bb

b平面PABbPBt中,PBPB(1)tPBAPAm(2)(1),(2)两相加

BQ

n

abMHN

MH

NH

BQ)n22

(定)已：平面

与平面

相交于直线，直线b与

、

都平行，求证：b．证明：在上取点，和P确定平面于a∵∥∥

∴∥且b∴

，

，实际上是，∴∥．有个几何事，b表直线，示平面)，①a∥b，②∥，③b其中，b面

外．用其中两个事实为条件，另一个事实作为结论可以构造几个命题？请用文字语叙述这些命题，并判断真伪．正的给出证明，错误的举出反例解：：ab∥

b∥

b在外Ⅱ：ab学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∥∥a在

外Ⅰ、Ⅱ是同一个题：两条平行直线都在一个平外，若其中一条与平面平行，则一条也与该平面平行．证明：过作平面

与于a∵∥∵∥

而∥b∴∥a在，∴∥Ⅲ：a

a∥b∥

命题：平行于同个平面的两条直线平行，这是错的，如右两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行．已知：平面，直线l⊥⊥足别为、B．求证：：根据判定定理证．l证法：过l作

，

δ，过l作平面

CD

Fll学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除ll⊥BDAC∥l、BD共同理AEAC≠，AE故思路：根据面面平行定义，用反证法．证法：设点P则l与P确平面且，．l

lAPll⊥BPlAP、共面于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP与l垂直，是不可能的．故公点∴已：a是异面直线，平面平面∥求证：证法：在a上取点，显然∈．于是和确平且共点∴且′和交于，∵∥∴∥′∴′∥学习资料

b′

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除而∥这样内相直线′都平行于∴证法：设AB是、的公垂线段，过AB和b作面

，

∩b′，过AB和a作面

∩．a∥a∥ab∥

b∥b∴AB

⊥′，⊥

⊥b于是AB⊥已、、c是条不重合的直线，、β、r三个不重合的平面，面六个命题：①a∥，b

a∥b②a∥rb∥r∥；③∥，∥c

α∥β；④∥r，β∥rα∥；⑤a∥，∥ca；⑥a∥rα∥r

a∥α．其中正确的命题

()(A)①④(C)①②③学习资料

(B)①④⑤(D)①⑤⑥

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解：由公理“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题正确两条不重合的直线同平行于一个平面，们可能平行，也可能异面还可相交，因此命题②错误；平行于一条直线的两个不重合的平面可平行，也可能相交，命题③错；平行于同一平面的两个不重合平面一定平行，命题④正确；若条直线和一个平面分别平行于一条直线或同一个平面，那么这直线与这个平面或平行，或直线该平面内，因此命题⑤、⑥都错的，答案选A．已直三棱柱－中AC=BCM分是A，的点点在线段上，则11NP与面AMC的置系是()1(A)垂直(B)平行P(C)相交但不垂(D)要P点位而定解：题设知MAN=AN，1四边形ANBM是平行四形，1故∥，BN∥平面．111又CM，得CN平面AMC，平面NC∥AMC，NP111∴NP平面AMC．1答案选B已：正方体ABCDBD棱长为．1求证：平面A∥平面BD；11求平面A和平DC的离．1证明：(1)在方体－D中，111∵BB平且于DD，11∴四边形BBD是平行四边，11∴BDD，11∴BD平面BC．11学习资料

平面，1

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除同理A∥平面D，11又∩BD，1∴平面∥面DC1解：连AC交平面A于M交平面DC于N．11AC是在平面AC上射影，又⊥BD1∴AC⊥BD，1同理可证，AC⊥A，1∴AC⊥面BD，即⊥面，1同理可证MN⊥平面DC．11∴MN的是平面ABD到面DC的距离11设ACBD交于E，则平面BD与面C于直线E．1∵M∈平面BD，M∈AC平面A，1∴M∈AE．1同理∈CF在矩形AAC中，见图9－，由平面何知识得1MN

13

1

，∴

MN

33

a

．评述：当空间图较为复杂时，可以分解图形，其中的平面图形折出分析，利于楚地观察出平面上各种线面的位关系．证明面面平行，主要是其中一个平面内找出两条与另一平面平行的相交直线，或者使用证法．已正三棱柱－，底边长为8，对角线C，D为的点．11学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除求证AB∥面；1求直线到面CBD的距离．11证明：(1)设BC∩=O．1连，则O是的点．1在△ACB中D是中，是B中点．11∴DO∥，1又DO

平面，平面BD，1∴AB∥面C．1解：由三棱柱ABC－C是三棱柱D是中，111∴BDAC且BD，1∴BD平面，1平面⊥平面，CD是交线．111在平面AC内AHD，垂足是H，11∴AH平面C，1又AB∥平面C，AH的是直线AB到平面C的离11由BC=8B，得CC，11在eq\o\ac(△,Rt)DC，，11C

4

62

313在eq\o\ac(△,Rt)中ADH=∠C1∴

ADC1

．学习资料

a学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除a即AB到平面距离是11

1213

．评述：证明线面行的关键是在平面内找出与已直线平行的直线，如本题的DO．本题的2)问，实质上进行了“移变换用AB∥面BD把求直线到平面距离变换为求点A到平面距1离．已：直线∥平面

．求证：经过a和面

平行的平面有且有一个．证：过平面与于a直线在上任一点，在b确的平面内，过P作∥∴∥而∥

．b在，b∴，定的平面

过且平行于

．∵过，的平面只有一个，∴过行于平面平面也只有一个已平面

、

其中

∩

=l

∩

=a

∩

=

a

a∥

a

∩

=，

∩

=

b

，b∥

b

上述条件能否保有若能出证明不能给出一个反例添加适当的条件证有．不足以保证如右图．如果添加条件与b是交直线，那么证明如下：a∥b∥∥∵，两条相交直线，

lb

＇a

学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∴∥．90.三个平面两两交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平.已知：平面α∩平面β＝，∩γ＝b，平面∩＝.求证：、、相于一点，或∥∥.证明：α∩＝，∩＝∴、

β∴、相或a∥.(1)、b相交时，不妨设∩b＝，P∈，∈而a、，α∴∈β，∈α，故P为和β的公共又∵α∩＝c由公理2知∴、、都过，即a、、线共点(2)a时∵∩＝且α，γ∴∥且∥b∴∥∥故a、、两平.由此可知、、相交于一点或两两平.说明：此结论常作为定理使用，在判断问题中常被使91.如图，正方体—在上在BD，且B＝.求证：EF∥平面BBC.学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除证法一：连延交BC于，连结BM∵∥BC∴△∽∴

AFDFFMBF又∵＝，E＝∴＝AE∴FMBE1∴∥M，M

平面BBCC∴∥平面CC.证法二：作∥交AB于H连结HE∵∥BC∴∥BC，C∴∥平面CC由FHAD可得

BFBH又BFB，＝AB∴

BH∴∥B，B面C∴∥平面CC，∩＝H学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∴平面FHE∥平面BBC

平面∴∥平面CC说明：证法一用证线面平行，先证线线平证法二则是证线平行，先证面面平行，然后说直线在其中一个平面.92.已知：平α∥面β，线段AB分别、β于M、；线段分别交α、β于；线段分交、β于，且AM,n,p，△面积(m+)(+),求：的积解：图，面分别αβ于，ND，因为α∥，故MC，理∥，得∠＝END∴∶MC＝（+)：和∶＝∶np∶＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)

1212得＝eq\o\ac(△,S)

NDFMMC

×

eq\o\ac(△,S)＝

nmpnpm

n·+)(+)=(+)

∴△END面积为

n

(+p2平单位.93.如图，在正方ABCDBCD中点在BD上，点M上，并且=.求证:MN平面B.解：题是把证“线面平行转化为证“线线平行ABB内一条直线与平行，除上面的证法外，还可以连长交直线于P，连B，就是所找线，然后再设法证学习资料

在BC平面并明MN∥

1学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除1P分析二：要证“面平行”也可转化为证“面面行，本题也可设法过作一个平面，使此平面与平面ABB平行，从而证得∥面ABB.11194.已知EF分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交于M，垂直于所在平面．（）证：⊥平面GMC．（）AB4，GC＝，求点B到平面EFG的距．解：1小题，证明直线与平垂直，常用的方法是判定定理第2题，如果用定义来求到平面的距离，因为现距离的垂线段无法直观地画，因此，常常将这样的问题转化直线到平面的距离问题．解：（）结BD交AC于，∵EF是正方形边AD，的中点AC⊥，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝，∴EF⊥面GMC．（）证BD∥平EFG，由例，正方形中心O到平面EFG学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除95.已知：ABCD是形SA平面ABCD，E是SC上点．求证：BE不能垂直于平SCD．解：到反证法，假设BE⊥平面，∵AB∥；∴AB⊥BE．∴AB⊥，这与eq\o\ac(△,Rt)SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴BE不能直于平SCD96.已知PB，PC与平面α所的角分为°4530°PO⊥，为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上且ABBC＝，求PO的长．学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除解：已：如图，⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求证：．解：结AO证明BC平面．已ABCD是矩形SA⊥平面ABCD，M、分是、求证：⊥AB．解：结、MA，证明MBMA．

的中点．已：如图，平平面直线l∈，AB⊥∈⊥C∈证ACl．证明：∵AB⊥l∴l⊥∵BC，l

∴l⊥BC∵AB＝B∴l⊥面ABC∵AC

平面ABC∴l⊥AC100.已如是所在平面外一点⊥AB为垂足⊥为垂足在面BAC内过作⊥AB，过E作⊥AC使得∩＝．连结PF，求：⊥平面．学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除证明：∵PDDF，PDDF＝D∴AB⊥平面PDF∵PF平PDF∴AB同理，AC∵⊥AB，PFACBAAC∴⊥面101.

B

是ABC在面的射，那么

和∠ABC的大关系是()(A)

<

(B)

>(C)

≥∠ABC

(D)不确定解：D一个直角，当有条直角边平行于平面时，则射角可以等于原角大小，但一般情不等．102.已:如图△中=90CD,BD和平所的分别为CD=求:D点直线的离解：1先找出点D到直线AB的离即过作DE,从形以及条件可,若把放△ABD不易求解。2、由于CD,把转化到直角三角形中求从而转化为先求在面的射影长。解:连AC,过D作DE连则DE为D到线AB的离。∵CD∴BC分别是AD在内的影。∴DACDBC分别是AD和与面所成的角∴DAC=DBC45学习资料

222学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除在中222∵=,DAC=∴AC=

在中∵=DBC∴BC=h∵CDDE∴在中

AChS

1BCAB·2∴

AC·hh∴在eq\o\ac(△,Rt)中DC

2

CE

2

h

2

7)h2∴点D到直线的离为

。103.已知a、b、是平面α内交一点的条线而直线l和相交，并和a、c三条线成等角．学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除求证：⊥α证法一别在ac上取点并使==设l经O在l上一点P在△、△、△POC中∵PO公，==CO∠=POB∠POC，∴△≌△POB≌△POC∴PBPC．取AB中点D．结OD、PD则OD⊥ABPD⊥AB，∵PDODD∴AB⊥平面∵PO平面POD．∴PO．同理可证BC∵

，BC

，ABB∴PO，即l⊥若l不经过时可经过O作l

∥．用上述方法证明l

⊥，∴l⊥．证法二采用反法假设l不垂，则l和α斜于．同证法一，得到=PB．过作

于O

，则AO

，是外心．因为O也eq\o\ac(△,是)外心，这样，△ABC有个外心，这是不可能的．∴假设l不α垂直是不立的．∴l⊥若l不经过点，过作l用述同样的方法可证l学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∴l⊥评述）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一也用反证（如证法二）或同一法．104.是ABC在平面外一点，O是在平面上射影．（1）若=PBPC则是____________心（2）若点P到ABC的边的距离相等，则O是_________心．（3）若、、两垂直，则O是△心（4）若△ABC直角三角形，且==PC则O是的心．（5）若△ABC等腰三角形，且==PC，O是ABC的____________心．（6）若PA、PBPC与面ABC所的相等，O的________；解1）外心．∵=PC∴=OB，∴O是△的心．（2）内心（或旁心⊥AB于OEBC于，OF⊥AC，结PDPE、．PO⊥平面，∴OD、OF分为PD平面的射影，由三垂线定理可知PD⊥ABPE⊥BCPF已知PD=OD==O是内心答9-23（3）垂心．（）心）外心（6外与平面所成的角为PAO在PAOPBOeq\o\ac(△,、)PCO中PO是共边∠=∠=∠POC°PAO∠∠△PAOPCO=OB=为△ABC的外心．学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除（此外心又在等三角形的底边高线上105.将形ABCD沿角线BD折来，使点的新位置求证：

在面ABC上的影E恰AB上分析AC

证

与AC

所在平面直证

⊥平面ACBC⊥

⊥．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂就成为关键步骤了．证明：由题意，斜线BCABCD上的射影，∵BAAD，由三垂线定理，得C，CDA．∴BC∴BC

⊥平面，C面⊥AC106.已异直线l和l，⊥l，MN是l和l的垂线，MN=，A∈∈lAM=BN=，O12122是MN中点①求l与OB的角．②求A点到距离．1分析：本题若将件放入立方体的“原型”中，住“一个平面四条线”的图形特及“直线平面垂直”的关键性条，问题就显得简单明了．解）如图，画个相连的正方体，将题目条件一一标在底面上射影NBCD由三垂线定理，OB，又∴OBMA即OB与l成90°1（2）连结BO并长交上底面于E点．学习资料

在图中．CD∥MA

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除ME=BN∴ME=，又=2∴OBOE．作，连结．对于平面而，、AQ、别为垂线、斜线斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得⊥EO．在eq\o\ac(△,Rt)MEO中

ME22评述：又在eq\o\ac(△,Rt)AMQ中AQ

2

2

6，题通过补形使较困难的问题变得明显易解；求点直线的距离，仍然是利用直线平面关键条件抓“个面四条线图形特征来解决的．107.已各长均为a的四面体，E是边点，连结CE求与面BCD所角的正弦值．解：AH⊥底面，垂足H是正BCD中，连延长交于F，则平面AHD⊥平面BCD作HD于O连结EC则∠ECO是底面所的角则⊥底面．

垂直的的中HD

233DFa3AHAD

HD

a6a3EO

63AHaa，a22学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∴sinECO

EO

66

a

32

a

23108.已四体－ABC中SA⊥面ABCeq\o\ac(△,，)是锐角三角形是在面SBC的射影求证：H不可是SBC的心．分析：本题因不直接证明，故采用反证法．证明：假设H是SBC的心，连结，并延交于D点，则BHSC∵AH平面，∴BHAB在面的射影

∴SC（三垂线定理）

A

又∵⊥底面ABC，AC是在面的射影B∴AB（三垂线定理的逆定理）∴△ABC是eq\o\ac(△,Rt)与知ABC是角三角形相矛盾于是假设不成立．故H不能是SBC的心．109.已是边长的正方，E、F别是、AD的点垂直于所在的平面，且GC＝．求点B到平面EFG的距离．解：图，连结E、、、BD、AC、EFBD别ACHO因为ABCD正方形，、分为和AD中点，故EF∥BDHAO中点．BD不在平面EFG．否则，平面和面ABCD合，从而G平面的BCD，与题设矛盾．由直线和平面平的判定定理∥平面，所以BD和平面的离就是B到平面FG的距离．——分学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∵BDAC∴⊥．∵⊥面BCD∴⊥GC，∴⊥H．∴平面FG平H，HG这两个垂直平面的交．6作KHG交HG点，由两平面垂直性质定理OK⊥平FG所以线段的长就是点B到平面EFG的距离—分∵正方形ABCD的边长为，，∴4

，HO=

，HC

．∴在Req\o\ac(△,t)HCG，HG

．由于t△和eq\o\ac(△,Rt)有一个锐角是公共的，故eq\o\ac(△,Rt)．∴OK=

HOHG

．即点到面的距离为

211

．—10注：未证明BD不平面上不扣分110.已知：与为异面直线，AC＝，ADBD．求证：ABCD．说明）应用判定定理，掌握线线垂的一般思路．（2）思路：欲证线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直关键．（3）教学方法，引学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法．证明：如图，取中点E，连结CEDE学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除∵AC，E为AB中．∴CE同理DE⊥AB，又∩DEE，且

平面，DE

平面CDE∴AB平面CDE又CD面∴AB111.两个相平直于第三个平面

，那么它们的交一和第三个平面垂直．证明：

内取一点，过P作垂

的交线作PB垂

的交线．∵

且∴⊥⊥∴⊥a且PB⊥∴⊥112.在立体形P－中底面ABCD是正方形，PA⊥底面，PA＝AB，Q是中．，BD交于O．（Ⅰ）求二面角QBD－C的小：（Ⅱ）求二面角－的大小．解Ⅰ解：连QO则∥PA且QO

12

PA

＝

12

∵⊥面ABCD∴⊥学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除面过QO∴面QBD⊥面ABCD故二面角－BD等于90°．（Ⅱ）解：过作OHQD，足H，CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BDCO⊥面QBD

QO

HC

DCH在面QBD的射影是OH∵OHQD∴⊥于是∠OHC是面角的平面．设正方形ABCD边长2，则OQ1，＝

2

，＝

．∵OHQD＝·∴OH＝又＝

23

．在eq\o\ac(△,Rt)COH中OHC＝＝OH

23

＝

∴∠＝60°故二面角B等于60°．113.如图在ABC中ADBC，ED=2AE，E作∥BC，且ΔAFG沿FG折AED=60，求证:AE⊥平ABC学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联解：清折叠前后，图形中各素之间的数量关系和位置关系

C解∵∥，ADBC

G

D∴'⊥FG

A

EF

B∴'⊥设A'E=a，ED=2a由余弦定理得：A'D=A+ED-2AE•EDcos60°=3a∴ED=AD+AE

∴'⊥AE∴'⊥平面A114.β是个不同的平，n是面及β之外的两条不同直，给出四个论断：m，⊥，⊥，m⊥．以其中三个论断作为条件余下的一个论断作为结论，出你认为正确的一个命题，并证明它解：m，⊥，⊥

m（或m⊥n，⊥，⊥

⊥）证明如下：过不、内的任一点P，作∥，PNn过PM平面r交α于MQ交于．PM//m

PMPMMQ

，同理⊥NQ．因此∠MQN=°，故∠MQN=°∠MPN=°学习资料

学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除即⊥β⊥n．115.已知：

，⊥，⊥，bα，∥．求证：⊥且bγ．解：a上取一点，过作⊥r．∵β⊥，∴∵α⊥，∴

PQPQ

，，∴PQ与重合，故ar．过点P作平面，则和交PQ，和交于，12∵∥，b∥∴∥，且∥PQ．12于是PQ和与合，1故∥a，

而a⊥r，∴b⊥r116.已知PA⊥矩形所平面，且AB＝3＝4PA＝，CD和BD的距．

求点到解：PA⊥平面ABCD，AD，且CD

平面ABCD．∴PDCD（三线定理eq\o\ac(△,Rt)PAD中PD＝3＝5．

PA

2

AD

2

＝又作PH⊥BD于H连结，由三垂线定理的逆定理，有AH⊥BD．这里，为到BD的距离．在eq\o\ac(△,Rt)中AH＝学习资料

＝5

22学习资料收集于络，仅供学习和参考,如有侵权，请联网站删除22在eq\o\ac(△,Rt)中PH＝

2AH

＝

3693＝117.点在面的影为O且、