第九章相关与回归分析

第九章相关与回归分析

学习目标理解相关关系的含义及种类熟练掌握直线相关关系的测定方法熟练掌握一元线性回归分析的方法9.1相关关系的概念和种类

一、相关关系的概念一切客观事物都是相互联系相互制约的。客观现象间的互相联系，可以通过一定的数量关系反映出来。而这种数量关系可以分为两种类型，即函数关系和相关关系。函数关系的概念：函数关系是指现象之间有一种严格的确定性的依存关系。表现为某一现象发生变化另一现象也随之发生变化，而且有确定的值与之相对应。例如，银行的1年期存款利率为年息1.98％，存入的本金用x表示，到期本息用y表示，则y=x+1.98%x（不考虑利息税）；再如，某种股票的成交额Y与该股票的成交量X、成交价格P之间的关系可以用Y=PX来表示，这都是函数关系。

相关关系的概念：

相关关系是指客观现象之间存在的非确定的相互依存关系。也就是说，当一个现象发生数量变化时，另一个现象也会发生数量变化，但这种数量关系是不确定的，不是唯一的。例如，居民收入水平与消费品需求量之间，居民收入水平提高，人们对消费品的需求量也相应提高，但这种提高不是严格的一一对应关系，人们对消费品需求的多少不仅受到收入水平的影响，还要受到许多其它因素（如消费习惯、消费预期高低等）的影响。相关关系的特点：由此可见，相关关系具有如下两个特点：现象之间确实存在着数量上的依存关系。现象之间数量上的关系不是确定的。

二、相关关系的种类按照相关的方向不同分为：正相关和负相关。按照相关形式不同分为：线性相关和非线性相关。按相关程度分为：完全相关、不完全相关和不相关。按研究的变量（或因素）的多少分为：单相关、复相关和偏相关。

三、相关分析的主要内容1确定现象之间有无关系。这是相关与回归分析的起点。只有存在相互依存关系，才有必要进行进一步的分析。2确定相关关系的表现形式。只有确定了现象之间相互关系的具体表现形式，才能运用相应的相关分析方法去解决。如果把曲线相关误认为是直线相关，按直线相关来分析，便会出现认识上的偏差，导致错误的结论。3测定相关关系的密切程度和方向。现象之间的相关关系是一种不确定的数量关系，因此常常给人的感觉是不明确的。相关分析就是要从这种不确定、不明确的数量关系中，判断相关变量之间的数量上的依存程度和方向。【请思考】1你能列举一些函数关系、相关关系的实例吗？2由于金融危机的影响，美国居民的人居收入下降，导致购买力也下降，人均收入与购买力是负相关吗？3相关分析中的两个变量是对等的吗？9.2相关关系的判断

定性分析是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断。定量分析在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度。相关表

相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表格，如某地区工业劳动者人数和工业增加值的历史资料对应排列所形成的表

9家企业的月产量

和单位产品成本相关表

（表9-1）序号月产量（千件）x单位成本（元）y9513284672.13.24.15.46.36.87.68.69.7918086717263585042相关表中的两列数据叫相关数列，它有别于变量数量。相关表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈现一定的规律性，则表明现象之间存在相关关系。从上表中可看出月产量和单位成本之间存在着负相关关系。

相关图

相关图也叫相关散点图，它是根据相关表中的观测数据在坐标图中所绘制的点状图形。用x和y分别代表两个变量，把相关表中的对应观测值一一描绘在坐标图中，则形成了反映相关点分布状况的图形，据此就可以观测现象间相关关系的情况

九家企业月产量与单位成本相关图9家企业的月产量和单位成本散点图020406080100051015月产量（千件）单位陈本（元）系列1直线相关条件下的相关系数1相关系数的含义：相关系数是指直线相关条件下，说明两现象之间相关关系密切程度的统计分析指标，通常用r表示相关系数。理论公式为：直线相关条件下的相关系数相关系数的计算公式：

或者：依相关关系的定义公式可知相关系数的含义如下：r的取值范围为-1≤r≤1。因为协方差的绝对值最小为0，最大为和的乘积。r的绝对值越接近于1，表明相关关系越密切；越接近于0，表明相关关系越不密切。r=+1或r=-1，表明两现象完全相关。r=0,表明两变量无直线相关关系。r﹥0,表明现象呈正直线相关；r﹤0，表明现象呈负直线相关。实际中︱r︱﹤0.3,视为无相关；0.3≤︱r︱＜0.5,为低度相关；0.5≤︱r︱＜0.8,为显著相关；︱r︱≥0.8,一般称为高度相关。相关系数(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加完全负相关相关系数的计算：例：由（表9-1）的资料计算如下：=-0.9886【请思考】1不对现象进行定性或定量分析，直接用上述公式计算两者关系的密切程度行吗？2如果相关系数等于0，能否认为两变量无相关关系？9.3直线回归分析

一.回归分析的概念、特点及与相关分析的关系1.回归分析的概念回归分析是对具有相关关系的变量拟合数学方程，通过一个或一些变量的变化解释另一变量变化的方法。

2.直线回归分析的特点

与直线相关分析的特点相比，简单直线回归分析有以下特点。

1）两个变量之间不是对等关系，一个是自变量，一个是因变量，在进行回归分析时，首先加以确定。2）.相关系数是个抽象的系数，而回归方程是利用自变量的给定值来推算因变量值，它反映的是变量之间的具体的变动关系。3）.有些现象因果关系不明显，x、y两个变量可以互换，从方程式看，存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量，求出的回归方程称“y倚x回归方程”；另一个是以y为自变量，x为因变量，求出的回归方程称“x倚y回归方程”。画出图来，是两条斜率不同的回归直线。

4）.直线回归方程中的回归系数也有正负号，回归系数为正号，表示两个变量之间的变动方向相同，为负号则表示两变量之间的变动方向相反。5）.回归分析中的自变量是给定数值，不是随机的，而因变量是随机的，代入给定的自变量值，求出因变量的估计值，这个估计值是许多可能数值的平均值，存在着估计标准误差。

3相关分析与回归分析的关系

相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。

二.一元线性回归模型

的建立与检测1一元线性回归模型的概念一元线性回归模型又称简单直线回归方程，它是根据两个变量的成对数据，配合直线方程式，再根据自变量的变动值，来推算因变量的估计值的一种统计分析方法。建立的数学模型为：式中，a表示直线在y轴上的截距，代表直线的起点值；b表示直线的斜率，又称为y对x的回归系数，它的实际意义是说明x每变化一个单位时，y的平均变动值，即：若x前面是“+”号，则说明x每增加一个单位时，y就平均增加b个单位；若x前面是“-”号，则说明x每增加一个单位时，y就平均减少b个单位。

2.构建回归模型应具备的条件构建一元线性回归模型应具备以下几个条件：现象间确实存在数量上的相互依存关系。现象间存在直线相关关系。具备一定数量的变量观测值。

3直线回归方程中

待定参数的求法

用最小平方法解决待定参数a和b的值，最小平方法又称最小二乘法，它是运用数学上微分求极限的原理，对a、b求偏导，令其等于零。见如下数学式：：解方程组得（1）自变量为一般变量时拟合一元线性回归模型例：由（表9-2）中的资料计算如下：(2)时间为自变量时的简单线性回归方程

若自变量为时间，则用t表示，此时直线方程为：由最小平方原理可得：若令则：那么，怎样使得呢？如年号是奇数，则设中间一年为0，上下年份分别设为-1、-2、-3等和+1、+2、+3等。若年号为偶数，则设中间两年为+1、-1，其他依次为+3、+5等和-3、-5等。4在回归分析中应注意的问题在定性分析的基础上进行定量分析，是保证正确运用回归分析的必要条件。也就是说，在确定哪个变量作自变量，哪个变量作因变量之前，必须对所研究的问题有充分正确的认识。在回归方程中，回归系数的绝对值只能表示自变量与因变量之间的联系程度，以及两变量间的变动比例。因为其值大小直接取决于变量所用计算单位的大小。在进行回归分析时，为了使推算和预测更准确，应将相关系数、回归系数和估计标准误差结合使用。要具体问题具体分析。回归方程是根据资料计算出来的，是一种经验数据，如条件发生变化，则推算和预测会不准确。因此，不能机械照搬，以免造成失误。【请思考】1.相关系数和回归系数一定同正负吗？2回归分析中的两变量关系是对等的吗？能否由x推算y?3身高和体重是互为因果关系的变量，设哪一个为x?哪一个为y?4你能说出相关系数的含义吗？三估计标准误差估计标准误差是用来说明回归直线方程代表性大小的统计分析指标