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文档简介

迭代法第三节一、迭代格式

二迭代法的收敛性

一、迭代格式

是(逐次超松弛)的缩写。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。它可以看作是迭代法的加迭代法是迭代的一种特殊形式。速，将方程组写成其迭代格式可写为：

则有若记

则式可写为由此可以看出，迭代法的第一个修正量。现在，为了获得更快的收敛步，相当于在第步的基础上每一个分量增加效果，在修正项的前面乘以一个参数，便得到逐次超松弛迭代格式称为松弛因子，称的迭代过程为低松弛方法，对于一些方程组，用迭代法得不到收敛解或不收敛，但用低松弛方法却是收敛的。称的迭代过程为超松弛方法,此法可以加速迭代方法的收敛。的迭代过程就是迭代公式。

由迭代格式（3.3）有格式（3.4）的矩阵形式为

SOR迭代法常以这种形式进行计算。

即有其中

显然，

二迭代法的收敛性

由式有

即于是有记则有其中，称为迭代矩阵。

由定理1及定理2直接得知：（2）迭代法收敛的充分条件是。（1）迭代法收敛的充要条件是。子有关。关于的范围，有如下定理。

迭代法收敛与否或收敛快慢都与松弛因因子应满足条件。定理6迭代法收敛的必要条件是松弛证明因法收敛，故。记的特征值为。因为n阶矩阵的n个特征值之积等于其行列式之值，即

而从而另一方面由关系式：有上述定理说明，对于任何系数矩阵，若要阵来说，这一条件是充分的。阵来说，法都是收敛的。但是，对一些特殊矩弛因子满足条件时，并不是对所有系数矩法收敛，必须选取松弛因子，然而，当松因此有，或者，即。定理证完。即这一定理说明，对于对称正定矩阵，只要，迭代法总是收敛的。用法计算方程组时，选取合适的松弛因子很重要，松弛因子选取得好，可能使得收敛速度大大加快，下面举例来说明松弛因子的选取对收敛速度的影响。

定理7如果矩阵是对称正定的，则法对于是收敛的。

设给定方程组

用法进行迭代，取不同的松弛因子，收敛速度不同，见下表

ω0.60.811.11.151.251.31.51.8迭代次数161087811151515近似解与准确解重复合位数555555541

使法收敛最快的松弛因子通常称为最优松弛因子。目前，只有少数特殊类型的矩阵，才有确定的最优松弛因子的理论公式，但实际使用时也有一定困难。通常的办法，是选不同的进行试算，以确定最佳的近似值，或者先取一个，然后根据迭代过程的收敛快慢，不断修正，

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