第二讲：多元微积分

高数精讲梳理知识体系提高解题能力主讲人理学院数学系岳瑞锋yueruif@163.com高数知识体系函数极限连续多元微分（123）多元积分（123）一元微分（123）一元积分（123）无穷级数（13）空间解析（1）平面解析微分方程（123）第二讲多元微积分知识体系定积分重积分多元微分一元微分曲线与曲面积分第二讲多元微积分多元微分学知识点汇总及典型题目多元积分学知识点汇总及典型题目1、多元微分学知识点汇总及典型题目（1）多元函数定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数.二元函数的几何意义：二元函数的图形通常是一张曲面.（2）多元函数的极限

Oxy(x,y)趋向于(x0,y0)的方式有无穷多种，多元函数极限就是讨论(x,y)以任意路径趋向于(x0,y0)时，函数是否存在同一个极限值.Oxy（2）多元函数的极限OxyOxy注：一元函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等.但是对于多元函数，由于动点趋向于定点的方向和路径有无限多个，所以多元函数极限存在的充要条件是在所有方向和路径下的极限都存在而且相等.多元函数极限的这个性质不能用来证明极限存在（？），但可以用来证明极限不存在.极限是否存在？练习取解

极限不存在.取是否存在？练习否因为对不同的k值,不同,不存在.（3）多元函数的连续性定义:有界闭区域上连续的多元函数的性质:至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．最大值和最小值定理介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得（4）多元函数的偏导数对自变量x,y的偏导数分别为：求多元函数的偏导数利用一元函数只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,求的两个偏导数.解练习解按定义得练习注：特定点处的导数一定要用定义求.两个结论：偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续多元函数中在某点偏导数存在

连续多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.（5）多元函数的全微分处的全微分.可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即而不依赖于),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D在点),(yxfz=几个结论：如果函数可微分,则函数在该点连续.可微必存在偏导数且：偏导数都存在函数也不一定可微.如果偏导数存在且连续，则一定可微分.对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限

对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限有偏导由一元到多元的函数性质差异：练习考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,

y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,

y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.练习连续.D结论不正确的是().都存在,,),(),()(处连续在点yxyxfA,),(),()(某邻域内有界在点yxyxfC（6）多元复合函数的偏导数多元复合函数求导跟一元函数一样，按照链导法则求导，其关键是搞清变量结构。常见的变量结构如下所示：练习解

zuxyxy变量树图求而,),sin(xyuyxezu=+=)cos(yxeu++设

解zy

wuvx

f具有二阶连续偏导数,练习当函数中含有抽象函数，并且要求高阶导数时，要注意偏导函数与原来的函数具有同样的变量结构.zy

wuvx特别注意，此时的还是x,y的复合函数，且复合结构与f相同！解练习具有二阶连续偏导数,

且满足故),(vuf当函数结构比较复杂时，引入中间变量以使得变量结构更清晰.已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y

为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,练习则

解设练习连续的二阶导数,有其中设),(),,sin(22vufyxyefzx+=yefxvucos(¢¢正确的是().练习解令则两边对t求导,得（7）多元隐函数的偏导数注：等式的左端分别是将z作为x,y的二元函数时的偏导数，等式的右端是将F(x,y,z)看成是三元函数，而x,y,z分别是自变量.解

则令练习解令故练习确定函数注：此种情况的公式非常复杂，不宜采用公式法求导，而只需要在等式两边分别求导即可.设方程组确定函数解原方程组两边分别对x求偏导数：练习解方程组即可.解法一练习.dd,0,xuzf求均一阶连续可导且其中¹¶¶jj得由),,,(zyxfu=,sin,0),,(),,,(2xyzexzyxfuy===j设法二得得两边求全微分,两边求全微分,),,(zyxfu=将xxexzydcos2d321jjj+-=Þ（8）多元微分法应用空间曲线的切线与法平面：关键在于求出切向量，因为切向量就是切线的方向向量，也是法平面的法线向量.若空间曲线的方程切向量为：))(),(),((000tztytxT¢¢¢=r切线方程法平面方程若曲线方程为若曲线方程为确定了空间曲面的切平面与法线：关键在于求出法向量，因为法向量就是切平面的法向量，也是法线的方向向量.若设曲面的方程为法向量为:切平面方程为法线方程为若曲面方程为（9）方向导数与梯度偏导数在几何上表示处的切线对x轴的斜率;由偏导数的几何意义，设二元函数，即偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率.但是仅考虑函数在两轴上的变化率是不够的，方向导数和梯度的直观意义P比如需要研究如图方向上函数的变化率.即研究曲面在不同方向上的“陡峭”程度——方向导数.梯度是一个方向（向量），在这个方向上，函数增加最快.P方向导数与偏导数的关系是函数在某点沿任何方向l的变化率.(1)方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线的变化率.的方向导数存在,存在时,（3）反之,存在时,不一定存在例如,函数沿方向的方向导数都存在且为1，但在(0,0)点的偏导数不存在.函数偏导存在-可微-方向导数存在的关系方向导数存在可微偏导存在沿平行于坐标轴方向的若函数可微,则在任意方向的方向导数存在，且函数在某点的梯度是这样一个向量,与取得最大方向导数的方向一致,其方向梯度的模为方向导数的最大值.即在梯度方向上函数值增加最快.即梯度即指出了函数增加最快的方向，也决定了增加值的大小（其模）.梯度为等值线上点P处的法向量.梯度的直观意义：它从较低的等值线指向较高的等值线.（10）多元函数的极值与最值必要条件：若函数在某点可偏导，且在该点处有极值，则一阶偏导数必定为0（称为函数的驻点）.函数可能的极值点：驻点和偏导不存在的点.

在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.充分条件：与一元函数相类似,多元函数的最值可能在极值点处取到，也可能在定义域的边界处取到。因此，求多元函数的最值，只要将所有的嫌疑点都找出来，再跟边界上的最大最小值比较即可.如果根据问题的背景，可以确定函数的最值必定在定义域的内部取到(排除了在边界上取最值的可能)，而且函数定义域内仅仅存在一个驻点，并且没有不可导点，则这个唯一的驻点就是最值点。（11）条件极值与拉格朗日乘数法在条件要找下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中就是可能的极值点的坐标.解分析拉格朗日乘数法.法一练习得即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,法二设P(x,y,z)为旋转抛物面几何法.法向量上的任一点.)1,2,2(yxn--=r)2,1,1(-法三为旋转抛物面上任一点,为平面上任一点.由两点间距离公式有令第二讲多元微积分知识体系定积分重积分多元微分一元微分曲线与曲面积分第二讲多元微积分多元微分学知识点汇总及典型题目多元积分学知识点汇总及典型题目2、多元积分学知识点汇总及典型题目（1）二重积分定义：分割、取近似、求和、取极限.几何意义：曲顶柱体的体积代数和.物理意义：平面薄片的质量.存在性：连续函数必可积.性质：线性：可加性：比较性质：估值性质：中值定理：解判断的正负号.故于是又当练习(A)(B)(C)(D)B是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.练习利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1则D1为D在第一象限中的部分,坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于对称性质：这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,利用对称性简化计算时,要注意两方面缺一不可:

注意被积函数的奇偶性.

积分区域的对称性,设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域练习

解由性质得}11,11),{(££-££-=yxyxD其中练习为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.AD1是D在第一象限的部分,练习D1D2D3D4记I=则I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.

所以D1D2D3D4若D为?此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍.?0D1为x≥0,y≥0,则练习（2）二重积分的计算基本思想：将二重积分转化为两次定积分.转化的关键：用两组不等式描述积分区域.两种方式：直角坐标系和极坐标系.直角坐标系下：若积分区域如右图若积分区域如右图解

积分域既是X型又是Y型法一所围平面闭区域.两曲线的交点练习？先对x后对y的积分法二交换积分次序：解积分区域:原式=练习解原式=交换积分次序：练习解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习极坐标系下：极坐标系中的面积元素再将极坐标下的二重化为二次：若积分区域如下图：θ先将直角坐标下的二重化为极坐标下的二重：解写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,在极坐标系下圆方程为直线方程为练习解令不能直接积出,改变积分次序.法一练习=I故==òò1010d)(d)(yyfxxf法二设则则（3）三重积分定义：分割、取近似、求和、取极限.几何意义：被积函数为1时，表示积分区域的体积.物理意义：空间物体的质量.存在性：连续函数必可积.性质：线性、可加性、比较、估值、中值定理.对称性质：(1)关于坐标面的上半部区域.或而得结果为零.??0则练习C则()成立.练习,0,0,0,22222³³³£++zyxRzyx：W(2)关于原点对称,关于原点对称的一半区域.W若中为其中WW4（4）三重积分的计算基本思想：将三重积分转化为三次定积分.转化的关键：用三组不等式描述积分区域.三种方式：直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系.无论二重还是三重积分，其计算的关键均是用不等式描述积分区域，由于三重积分的积分区域是三维空间，所以分析时，需要一定的空间想象能力.直角坐标系下：投影法（先二后一法）

将区域向坐标面投影.解画积分区域的草图.采用先对x积分,再对y、z积分的方法简单.将V向yOz平面投影对任一x取值为先对z积分?得平面区域练习

截面法(先二后一法)

将区域向坐标轴投影已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.练习解因为而其中由对等性知因此所以xaxxabcaad)1(22222ò--=p柱面坐标系下柱面坐标的直观意义：柱面坐标与直角坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素为：柱面坐标系下计算流程：先从直角坐标的三重到柱面坐标的三重.再分析积分区域，化为柱面坐标下的三次.),(),(21qrqrzzz££解对称性质所围成的空间闭区域.同理练习计算柱坐标所以计算关于两个坐标面对称性质曲面之内及曲面之外所围成的立体的体积D练习球面坐标系下球面坐标的直观意义：球面坐标与直角坐标的关系：球面坐标系中的体积元素为：球面坐标系下计算流程：先从直角坐标的三重到球面坐标的三重.再分析积分区域，化为柱面坐标下的三次，比如qjjdddsin2rr解采用所围的立体.球面坐标练习qjjdddsind2rrv=练习解被积函数是围成的空间区域,x的奇函数.球22221yxzyxz--=+=与是曲面设W练习

设函数

连续且恒大于零,

其中

(1)讨论

在区间

内的单调性.

(2)证明

(1)解

因为球极坐标

(1)讨论

在区间

内的单调性.

设函数

连续且恒大于零

所以,

单调增加.

(1)讨论

在区间

内的单调性.

(2)证

因

(2)证明要证明只需证明即令则故

单调增加.因为所以因此,

(2)证明

设函数

连续且恒大于零分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分.将累次积分解积分域V是由1.化为柱面坐标xyo练习2.化为球面坐标得三角形区域（如图）zo积分域V是由积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为:判断题错因为被积函数的积分范围是整个球体而非球表面.解球练习第二讲多元微积分多元微分学知识点汇总及典型题目多元积分学知识点汇总及典型题目——曲线积分与曲面积分知识背景：定积分的积分区域为闭区间.二重积分的积分区域为平面闭区域.三重积分的积分区域为空间闭区域.如果将积分区域进一步推广，则得到曲线和曲面积分.如果积分区域为曲线段，则为曲线积分；如果积分区域为空间曲面，则为曲面积分.3、第一类曲线积分定义：分割、取近似、求和、取极限.设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的长度为一点,121,,,-nMMML即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分为推广：几何意义：弧长区间长度.平面区域的面积.空间区域的体积.曲边梯形的面积.曲顶柱体的体积.柱面面积物理意义：曲线形构件的质量平面状物体的质量.f(x,y)表示物体的面密度，D表示物体所占的平面区域.空间物体的质量f(x,y,z)表示物体的体密度，V表示物体所占的空间区域.f(x,y)表示曲线形构件的线密度，L表示曲线形构件形状.存在性：连续函数必可积.性质：线性、可加性、比较、估值、与路径无关性.计算法：其中则有定义且连续,具有一阶连续导数,tttd)()(22yj¢+¢可见：(1)对弧长的曲线积分的要化为定积分计算.(2)化为定积分只要做三件事：

代换(用曲线的参数方程代换函数中的x,y)乘弧元(乘以弧长元素)；

定限(确定积分的上下限，保证下限小于上限).特殊情形(1)tttd)()(22yj¢+¢特殊情形tttd)()(22yj¢+¢(2)解tttd)()(22yj¢+¢练习练习在