第二章随机信号分析复习

第二章随机信号分析复习

南京航空航天大学信息科学与技术学院通信原理教研组随机信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输解析信号与希尔伯特变换确知信号的分析1卷积与相关2345本章内容2023/2/22copyright信息科学与技术学院通信原理教研组确知信号随机信号周期信号非周期信号一、信号的分类：信号和系统分类二、系统分类时不变系统时变系统线性系统非线性系统2023/2/23copyright信息科学与技术学院通信原理教研组1、傅里叶级数一个周期性信号f(t),只要它满足狄里赫利条件，就可以用傅里叶级数表示，并可以采用三角函数和指数函数两种不同的表示方式。信号的频谱分析2023/2/24copyright信息科学与技术学院通信原理教研组三角函数形式实际情况其中：ω0=2π/T称为基波，nω0称为n次谐波。

2023/2/25copyright信息科学与技术学院通信原理教研组指数表示形式理论分析其中：两种表达式的关系为2023/2/26copyright信息科学与技术学院通信原理教研组

第二种是推导出来的，它将一个频率为n0的正弦波变为n0和-n0两个频率成分的指数函数。这个表示式没有什么物理意义，但是，它是付氏变换推导的基础，另外它作为一种中间运算工具是很有用处的，是常用的一种表达式。

第一种表示式是基本的，各系数都有相应的计算公式，但由于一个频率成分要用相互正交的两项表示，使用起来不方便。

傅氏级数建立了周期信号f(t)时域和频域的相互关系。两种表达式特点2023/2/27copyright信息科学与技术学院通信原理教研组傅里叶变换

非周期信号不能直接展开成傅里叶级数，但可以把它看成是周期T的极限情况。傅里叶反变换傅里叶正变换通常记做于是可得傅里叶变换表达式2023/2/28copyright信息科学与技术学院通信原理教研组0tδ(t)特例：冲激函数δ(t)0F()1如果频域函数为δ()，则时域函数为所以：2023/2/29copyright信息科学与技术学院通信原理教研组能量谱密度和功率谱密度1、能量信号和功率信号一个信号f(t)作用在1Ω电阻上，其瞬时功率为：消耗的能量为：平均功率为：如果E存在，则f(t)为能量信号，此时平均功率为0。如果E不存在，而S存在，则f(t)为功率信号。2023/2/210copyright信息科学与技术学院通信原理教研组2.帕什瓦尔定理2)若f(t)是周期性的功率信号，且其指数形式的傅里傅叶级数为：,则下述关系式成立1)若f(t)是能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有能量和功率计算的二种计算方法：通过时域/频域函数2023/2/211copyright信息科学与技术学院通信原理教研组帕塞瓦尔定理的意义：帕什瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来了。帕什瓦尔定理给出一个很重要的概念:能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续和；周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。2023/2/212copyright信息科学与技术学院通信原理教研组设f()为f(t)的能量谱密度，代表信号能量沿频率轴的分布状况设f()为功率谱密度，代表信号功率沿频率轴的分布状况3、能量密度谱与功率密度谱2023/2/213copyright信息科学与技术学院通信原理教研组1、能量信号2、一般功率信号3、周期信号2023/2/214copyright信息科学与技术学院通信原理教研组功率谱密度和能量谱密度都与振幅--频率特性有关，而与相位--频率特性无关。因此，从功率谱密度和能量谱密度中只能获得信号振幅的信息，而得不到信号相位的信息。注意：2023/2/215copyright信息科学与技术学院通信原理教研组随机信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输解析信号与希尔伯特变换确知信号的分析1卷积与相关2345本章内容2023/2/216copyright信息科学与技术学院通信原理教研组三、卷积与相关1、卷积的定义与性质

给定两函数f1(t)，f2(t)，则为f1(t)和f2(t)的卷积b、与冲击函数的卷积

a、卷积的定义

2023/2/217copyright信息科学与技术学院通信原理教研组(1)时间卷积定理即时域的卷积对应频域的乘积(2)频率卷积定理即时域中乘积对应频域的卷积卷积定理2023/2/218copyright信息科学与技术学院通信原理教研组设为时域内搜索f1(t)、f2(t)两波形相关程度的独立参数，则记做两函数的互相关函数。功率信号：周期为T的信号：能量信号：2、相关的定义与性质2023/2/219copyright信息科学与技术学院通信原理教研组如果两个信号的形式完全相同，即f1(t)=f2(t)，则互相关函数就变成自相关函数R()。对于能量信号对于功率信号2023/2/220copyright信息科学与技术学院通信原理教研组1)若对于所有的说明两函数不相关；2)互相关函数不满足交换率；3)1)=0时，两波形在时间上完全重和，故相关性最好，R(0)为最大；2)R(t)=R(-t)自相关函数是一个实偶函数自相关函数的性质互相关函数的性质2023/2/221copyright信息科学与技术学院通信原理教研组3)

能量信号，总能量功率信号，平均功率4)周期信号的自相关函数也是周期性的，而且是同周期的。2023/2/222copyright信息科学与技术学院通信原理教研组周期信号：非周期信号：3.自相关函数与密度谱的关系1)能量信号的自相关函数与其能量谱密度互为傅里叶变换对；2)功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换对。2023/2/223copyright信息科学与技术学院通信原理教研组随机信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输解析信号与希尔伯特变换确知信号的分析1卷积与相关2345本章内容2023/2/224copyright信息科学与技术学院通信原理教研组设f(t)是一个实信号，则F()=F*(-)成立。有1、解析信号：解析信号与希尔伯特变换令称f+(t)为解析信号（或预包络），它是一个复函数。2023/2/225copyright信息科学与技术学院通信原理教研组令可写成同理有f-(t)是解析信号f+(t)的复共轭已知f(t),如何求解析信号？2023/2/226copyright信息科学与技术学院通信原理教研组解析信号具有单边谱特性；解析信号的频谱为原信号频谱的单边谱的2倍；解析信号的频谱与其共轭的频谱之和为原频谱的两倍。A-0002A-0F()F+()2、解析信号的性质2023/2/227copyright信息科学与技术学院通信原理教研组3.希尔伯特变换前面引进了，那么它代表什么含义，与f(t)又是什么关系？利用符号函数sgn()于是有：移项，得到将2023/2/228copyright信息科学与技术学院通信原理教研组对两边求付氏变换有于是，我们将上式称作希尔伯特正变换同时将称作希尔伯特反变换2023/2/229copyright信息科学与技术学院通信原理教研组希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特性的网络称之为希尔伯特滤波器。即：那么传输函数为如果将看成是经过一个网络的输出，则有希尔伯特变换的物理意义2023/2/230copyright信息科学与技术学院通信原理教研组希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性即：2023/2/231copyright信息科学与技术学院通信原理教研组f(t)与正交；f(t)与有相同的自相关函数；f(t)与有相同的能量谱或功率谱；若，则；3、希尔伯特变换的性质2023/2/232copyright信息科学与技术学院通信原理教研组

1.余弦函数的希氏变换为正弦函数；

2.低通信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数与正弦函数的乘积。结论：4、希尔伯特变换特例2023/2/233copyright信息科学与技术学院通信原理教研组随机信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输解析信号与希尔伯特变换确知信号的分析1卷积与相关2345本章内容2023/2/234copyright信息科学与技术学院通信原理教研组如果输入为f(t),输出为g(t)，那么线性时不变系统有如下特性：稳定性：输入有限时，输出亦为有限。1.线性时不变系统的基本特性2023/2/235copyright信息科学与技术学院通信原理教研组

单位冲激信号做为线性系统的激励信号时，系统的响应称作单位冲激响应h(t)；

H()称作传输函数，反映了系统对输入函数的影响。频域表示法时域表示法线性系统f(t)y(t)输入信号输出信号线性系统δ(t)h(t)2、线性系统的传输特性2023/2/236copyright信息科学与技术学院通信原理教研组3、无失真传输系统式中，K、t0是常数。对传输函数的要求是什么样的呢？

y(t)=Kf(t-t0)定义：所谓无失真传输，是指信号经过线性系统后，输出信号与输入信号相比较只是有衰减、放大、和时延，而没有波形的失真:无失真传输的频域条件：|H()|K2023/2/237copyright信息科学与技术学院通信原理教研组传输函数：冲激响应：实际应用中，信号本身的带宽有限。只要求系统在信号带宽范围内满足上述条件即可，常采用理想低通滤波器来描述低通线性系统。4、理想低通滤波器2023/2/238copyright信息科学与技术学院通信原理教研组1、当t<0时，h(t)不等于零；

2、在-W和W处，传输特性锐截止。该滤波器是物理不可实现的，实际采用的滤波器只是近似于理想低通滤波器。φ()-Wt001H()th(t)0t0W/πW2023/2/239copyright信息科学与技术学院通信原理教研组5、线性系统响应的密度谱

设输入信号为f(t)，系统的冲击响应为h(t)，输出响应为y(t)，且有：对于能量信号有对于功率信号有通过系统后结论：线性系统输出响应的能量(功率)密度谱是输入信号的能量(功率)密度谱与系统传输函数模值平方的乘积。2023/2/240copyright信息科学与技术学院通信原理教研组6、带通传输系统的响应复包络的定义A-0002A-0X()X+()2A称为x(t)的复包络，是一个慢变的低通信号！将中心频率为0的X+()频谱平移到坐标原点，从而得一个新的频谱函数，其幅度、形状均保持不变。设x(t)是一个带通信号，它的解析信号为2023/2/241copyright信息科学与技术学院通信原理教研组Xc(t)和Xs(t)是带通信号x(t)的同相分量和正交分量！这里称之为信号x(t)的复包络。它是一个慢变化的低通信号，可表示成：由于其中2023/2/242copyright信息科学与技术学院通信原理教研组将带通滤波器的冲激响应表示为解析信号或复包络的形式，带通系统输出响应的复包络可表示为：通过输出响应的复包络，可以得出系统的输出响应：带通信号通过带通系统的响应可以利用复包络和低通系统求响应的方法来求出。7、带通传输系统的响应或2023/2/243copyright信息科学与技术学院通信原理教研组随机信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输解析信号与希尔伯特变换确知信号的分析1卷积与相关2345本章内容2023/2/244copyright信息科学与技术学院通信原理教研组一、随机过程的概念两个特征：是一个随机变量，在每一个时刻上的函数值不是确定的；是一个时间的函数，每一实现称之为随机过程的样本；….比如：通信机输出噪声波形测量2023/2/245copyright信息科学与技术学院通信原理教研组F1(x1,t1)=P[X(t1)≤x1]一维概率密度函数一维概率分布函数随机过程的描述和分析采用统计分析的方法二、概率分布函数和概率密度函数

N维概率分布函数

N维概率密度函数在实际当中，我们往往只需要理解其数字特征就够了为充分描述随机过程，需考虑更多时刻的多维联合的状态2023/2/246copyright信息科学与技术学院通信原理教研组三、随机过程的数字特征1、均值2、均方值3、方差4、自相关函数直流分量总平均功率交流功率统计平均时间平均2023/2/247copyright信息科学与技术学院通信原理教研组设X(t)，如果其n维概率密度函数或分布函数与时间无关，即满足

pn(x1,x2,x3…xn,;t1,t2…tn,)=pn(x1,x2,x3…xn,;t1+τ,t2+τ

…tn+τ,)则称该过程为平稳随机过程。如果上式仅对某个n值成立，则为n阶平稳随机过程，对所有n成立，则为严平稳随机过程(狭义平稳过程)。如果仅满足p1(x1,;t1)=p1(x1,;t1+τ)=p1(x1,;0)=p1(x1)p2(x1,x2;t1,t2)=p2(x1,x2;t1+τ,t2+τ

)=p2(x1,

x2;τ)则称为广义平稳随机过程。四、平稳随机过程1、定义2023/2/248copyright信息科学与技术学院通信原理教研组由以上广义平稳的条件可以推出：即：广义平稳随机过程的判断转换为对其数字特征的判断。仅与时间差有关与时间无关如果：则称随机过程X(t)具有各态历经性。即：对于各态历经过程来说，任一样本都具有充分的代表性，可以获得随机过程的全部统计信息，而无需得到全体样本。2、各态历经性2023/2/249copyright信息科学与技术学院通信原理教研组高斯随机过程在通信中应用的最为广泛，其n维分布服从正态分布。它的n维概率密度函数为：pn(x1,x2,x3…xn,;t1,t2…tn)=

高斯过程高斯随机过程的几个重要性质：2）如果高斯过程是广义平稳的，则也是严格平稳的；3）若高斯过程各随机变量互不相关，则一定也是