第十三章动能定理

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§13-1力的功

§13-2质点的动能定理

§13-3质点系和刚体的动能

§13-4质点系的动能定理

§13-5功率功率方程

§13-6势力场势能机械能守恒定律TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.1功的一般表达式力的元功:在一无限小位移中力所做的功。或写成直角坐标形式在一般情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号W而不用dW

。

返回首页TheoreticalMechanics力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。功的量纲为13.1力的功13.1.1功的一般表达式

返回首页TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.2几种常见力的功常力的功

当时功为正；当时，功为负；当时s不作功。由此可知，功为代数量。

返回首页TheoreticalMechanics重力的功重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics弹性力的功弹性力可表示为13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics弹性力的功

弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics滑动摩擦力的功

物体沿粗糙轨道滑动时，动滑动摩擦力，其方向总与滑动方向相反，所以，功恒为负值13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics滑动摩擦力的功

当物体纯滚动时，圆轮与地面之间没有相对滑动，其滑动摩擦力属于静滑动摩擦力。轮与地面的接触点C是圆轮在此瞬时的速度瞬心，，得圆轮沿固定轨道滚动而无滑动时，滑动摩擦力不作功。

13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力的元功为13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics如图所示，刚体上任意一点的无限小位移可写为作用于点Mi上的力的元功为作用于刚体上的全部力的元功为平面运动刚体上力系的功13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics其中FR为力系的主矢量，Mc为力系对质心的主矩。13.1力的功13.1.2几种常见力的功

返回首页TheoreticalMechanics13.1.3质点系内力的功当质系内质点间的距离变化时，内力的元功之和不为零。因此刚体内力的功之和恒等于零。如图所示，两质点间有相互作用的内力13.1力的功

返回首页TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.4约束力的功光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。

常见的理想约束有：光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。

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刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。联结两个刚体的铰:两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即，两力在点的微小位移上的元功之和等于零.

柔性而不可伸长的绳索绳索两端的约束力,大小相等，即，由于绳索不可伸长，所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。具有理想约束的质点系，有WN=0

13.1力的功13.1.4约束力的功

返回首页TheoreticalMechanics13.2质点的动能定理质系内所有质点在某瞬时动能的算术和为该瞬时质系的动能

动能是描述质系运动强度的一个物理量任一质点在某瞬时的动能为

返回首页TheoreticalMechanics13.2质点的动能定理牛顿第二定律即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。质点动能定理的微分形式由于，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得

返回首页TheoreticalMechanics13.2质点的动能定理作用于质点上的力在有限路程上的功质点动能定理的积分形式，即作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。积分

返回首页TheoreticalMechanics13.3质点系和刚体的动能13.3.1质点系的动能质点系的动能为组成质点系的各质点动能的算术和

返回首页TheoreticalMechanics13.3质点系和刚体的动能13.3.2平移刚体的动能当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为

返回首页TheoreticalMechanics13.3质点系和刚体的动能13.3.3定轴转动刚体的动能于是绕定轴转动刚体的动能为刚体绕定轴z转动的角速度为，任一点mi的速度

返回首页TheoreticalMechanics13.3质点系和刚体的动能13.3.4平面运动刚体的动能

刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。

返回首页TheoreticalMechanics13.4质点系的动能定理n个方程相加，得质点系由n个质点组成，其中某一质量为mi质点主动力和约束力作用。根据质点动能定理的微分形式有零

返回首页TheoreticalMechanics13.4质点系的动能定理

质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和。即

质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和。

返回首页TheoreticalMechanics13.4质点系的动能定理例题例13-1

图示系统中，滚子A

、滑轮B

均质，重量和半径均为Q

及r，滚子沿倾角为

的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC。

解法一

求加速度宜用动能定理的微分形式

系统在任意位置的动能A轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以

返回首页TheoreticalMechanics由，得

主动力Q、P的元功因纯滚动，滑动摩擦力F不作功代入式

，两边再除以dt，且知，得

13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics解法二

此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。

系统的初始动能为T0任意位置的动能

设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式vC和s均为变量，将上式两边对时间求一阶导数，得13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics例13-2椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和AB都是均质杆，重量分别为P和2P，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和B重量均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设＝0时系统静止，求曲柄角速度和角加速度(以转角表示)。

I解：由几何条件，OC＝BC，＝

，因此OC=AB=

，系统由静止开始运动，当转过角时，系统的动能瞬心为Ⅰ，有运动关系为13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanicsI系统中力做的功为

由动能定理的积分形式

13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanicsI由动能定理的微分形式，得

13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics例13-3图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q，半径为R，可沿水平面纯滚动，弹簧刚度系数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，定滑轮D的质量不计，绳不可伸长。试建立物块A的运动微分方程，并求其运动规律。解：为建立物块A的运动微分方程，宜对整个系统应用动能定理。以A的位移为变量，当A从初始位置下降任意距离y时，它的速度为vA，系统动能由运动关系13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics系统的初动能

初始位置时，弹簧为原长，当A下降y时，弹簧伸长，功为由动能定理的积分形式

对时间求一阶导数，其中，得13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics对时间求一阶导数，其中，得物块A的运动微分方程13.4质点系的动能定理例题用微分形式的动能定理求解，代入式

，得

返回首页TheoreticalMechanics此式两边被dt除，令

令，得到以y1为变量的标准形式的微分方程13.4质点系的动能定理例题

返回首页TheoreticalMechanics设其解为物块A的运动规律为初始条件：t=0时，代入得物块A的运动规律为物块A作简谐振动13.4质点系的动能定理例题

返回首页习13–8链条全长l=1m,单位长质量=2kg/m,悬挂在半径为R=0.1m,质量M=1kg的滑轮上.链条由静止开始下落.设链条与滑轮无相对滑动,滑轮为均质圆盘.求:链条刚离开滑轮时的速度.13.4质点系的动能定理例题OROR解:选过O点的水平面为重力零势面代入具体数值后可得到:TheoreticalMechanics13.4质点系的动能定理1．具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。2．应用动能定理解题的步骤：（1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；（2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功；小结

返回首页TheoreticalMechanics3.分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能；4.应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；5.对问题的进一步分析与讨论。动能定理最适用于动力学的第二类基本问题：已知主动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。

13.4质点系的动能定理小结

返回首页TheoreticalMechanics13.5功率功率方程13.5.1功率力在单位时间内所作的功，称为功率。它是用来衡量机器性能的一项重要指标，P表示功率力偶或转矩M的功率功率的量纲为功率的单位是焦耳/秒，称为瓦特（W）。1W=1J/s=1Nm/s。

返回首页TheoreticalMechanics13.5功率功率方程13.5.2功率方程由动能定理等号两边除以dt，即表明机器的输入、消耗的功率与动能变化率的关系。功率方程

返回首页TheoreticalMechanics13.6势力场势能机械能守恒定律13.6.1势力场如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。如重力、弹性力及万有引力都是势力。

返回首页TheoreticalMechanics13.6势力场势能机械能守恒定律13.6.2势能势能：在势力场中，质点由某一位置M运动到选定的参考点M0的过程中，有势力所作的功。以V表示，即重力场中的势能零位置选在z0=0处

返回首页TheoreticalMechanics对于质点系或刚体弹性力场中的势能0是势能零点时弹簧的