第八章无穷级数

机动目录上页下页返回结束§8.1常数项级数的概念与性质§8.2正项级数§8.4幂级数§8.3任意项级数第八章无穷级数

§8.1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、级数的基本性质机动目录上页下页返回结束一、常数项级数的概念机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束一般地，对于给定的数列称机动目录上页下页返回结束定义8.1机动目录上页下页返回结束例1解该级数的前n项部分和为机动目录上页下页返回结束综上讨论,机动目录上页下页返回结束例2解因为从而机动目录上页下页返回结束例3证明利用不等式可得从而推出机动目录上页下页返回结束例4解机动目录上页下页返回结束二、级数的基本性质性质8.1证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束性质8.2证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束由例1和例2可知，机动目录上页下页返回结束性质8.3证明机动目录上页下页返回结束性质8.4机动目录上页下页返回结束

对于收敛级数，可以对它的项任意加括号，但要注意不能改变相关项的次序.注意1注意2

加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛（即性质的逆命题不一定成立）.收敛，且和为零，但原级数发散的.机动目录上页下页返回结束性质8.5证明机动目录上页下页返回结束

（2）一般项趋于零只是级数收敛的必要条件，而非充分条件.注意（1）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业机动目录上页下页返回结束

§8.2正项级数机动目录上页下页返回结束各项都非负的级数，通常称为正项级数.定义各项都非正的级数，通常称为负项级数.正项级数、负项级数统称为保号级数.即正项级数的部分和数列单调增加.机动目录上页下页返回结束定理8.1证明机动目录上页下页返回结束定理8.2证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例1解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例2解因为机动目录上页下页返回结束例3解机动目录上页下页返回结束定理8.3机动目录上页下页返回结束证明机动目录上页下页返回结束定理8.3表明，

无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小.例2中，方法：通过无穷小量（或无穷大量）的等价关系,进而利用已知级数的敛散性判别.机动目录上页下页返回结束例4解

因为例5解因为机动目录上页下页返回结束定理8.4证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例6解由于机动目录上页下页返回结束例7解

由于机动目录上页下页返回结束定理8.5证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例8解因为机动目录上页下页返回结束定理8.6证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9解

因为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业机动目录上页下页返回结束

§8.3任意项级数机动目录上页下页返回结束定义8.2例如，机动目录上页下页返回结束定理8.7证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例1解由于机动目录上页下页返回结束例2解机动目录上页下页返回结束定理8.8证明机动目录上页下页返回结束定义8.3例3解机动目录上页下页返回结束注意定理8.8的逆命题不成立,例如，发散.综上,机动目录上页下页返回结束例4证明机动目录上页下页返回结束例5解机动目录上页下页返回结束综上,机动目录上页下页返回结束常数项级数收敛性的判别应注意1.一般项是否趋于零，

对于保号级数，可采用正项级数判别法判别;若不趋于零，则可判定级数发散;若趋于零，则需作进一步判定.2.级数的符号特征.对于任意项级数，则可采用上述任意项级数判别步骤进行.3.注意各种判别法使用的范围和特点.机动目录上页下页返回结束作业机动目录上页下页返回结束

§8.4幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的基本性质四、泰勒级数及其应用机动目录上页下页返回结束一、函数项级数的概念机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束注意两者是不同的函数.机动目录上页下页返回结束二、幂级数及其收敛性机动目录上页下页返回结束例1解机动目录上页下页返回结束解例2机动目录上页下页返回结束例3解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束证明定理8.9机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理8.10机动目录上页下页返回结束证明机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例5解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、幂级数的基本性质定理8.11定理8.12机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例6解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例7解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束四、泰勒级数及其应用求下列幂级数的和函数得就是说函数f(x)在其收敛域内能展开成幂级数.问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?等式反过来写即为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理8.13机动目录上页下页返回结束逐项求导任意次,得泰勒系数是唯一的,机动目录上页下页返回结束例8解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束以上方法称为直接展开法2.3.1.机动目录上页下页返回结束4.间接展开法：

根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式.机动目录上页下页返回结束例10解机动目录上页下页返回结束例11解注意机动目录上页下页返回结束以下结论可以使用：则有逐项求积公式机动目录上页下页返回结束从而例12解因为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例13解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例14解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页