第八章流体静力学

第一节流体的平衡方程式本章讨论流体静平衡的力学规律，重点在于研究静止流体中的压强分布规律和总作用力计算方法。流体静止指流体质点之间或层之间无相对运动，它分为绝对静止和相对静止。流体静压强及其特性作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静压强有以下两个特点：1、流体静压强总是指向作用面的内法线方向；2、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关。一、流体静压强及其性质pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强、作用在ABD面上的静压强（一）证明：

取一微元四面体的流体微团ABCD，边长分别为dx，dy和dz

由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。

流体微团受力分析x方向受力分析

表面力：

质量力：流体微团质量X方向单位质量力

因为流体平衡

在轴方向上力的平衡方程为

把Px，Pn和Wx的各式代入得

化简得

由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得

同理可得

所以n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。

结论（二）、静压强两个特征（几点说明）（1）静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续函数。同一点的各向静压强大小相等。（2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。

流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即

（3）运动流体是理想流体时，由于，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性，即中心压力：p对z

轴方向的平衡方程(取向上的力为正)二、流体平衡微分方程式经整理，则得对x轴方向:y

轴方向Euler在1755年首先提出的，故称为欧拉平衡微分方程式。由该方程式可以看出，静止流体内同一水平面上各点的压力是相同的，流体的压力只沿着高度变化这是流体平衡的一般表达式，以后在推导中会经常用到。四、等压面三、压力差公式P0G=mg

单位质量力在各坐标轴上的分力为

假设a.质量力只有重力b.均质不可压缩流体一、重力作用下的流体静力学基本方程式

方程推导

静止容器上取直角坐标系第二节重力作用下的流体平衡2023/2/210

方程推导代入得积分,ρ＝const流体静力学基本方程

适用范围重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体

物理意义单位重量流体对某一基准面的位势能单位重量流体的压强势能位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能zc在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。2023/2/212

几何意义单位重量流体的位置水头单位重量流体的压强水头位置水头和压强水头之和称为静水头zc在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的。

单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。

ZYOpAzhA点与自由液面之间有

根据二、

压强分布规律h=z0-z静止流体中任意点在自由液面下的深度在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。(1)

在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。

三个重要结论(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：

自由液面上的压强p0；

该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ρgh。(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。2023/2/2

压强的表示方法

二、压强的计量依据计量基准的不同绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量的压强称为绝对压强此时则a点绝对压强为hzap以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。相对压强：则a点相对压强为表压强、计示压强hzap负的计示压强，称为真空或负压强，用符号pv表示。

真空：真空高度当压强比当地大气压强低时，流体压强与当地大气压强的差值称为真空度。2023/2/217h

测量容器中的真空绝对压强=大气压强+表压强表压强=绝对压强-大气压强真空度=大气压强-绝对压强第三节液压柱式测压计一、压力的单位1.应力单位－－Pa(=N/m2)，MPa，kgf/cm22.液柱高度－－

常用的液柱高度单位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等。不同液柱高度的换算关系标准大气压帕(Pa)巴(bar)米水柱毫米汞柱工程大气压atmN/m2105N/m2mH2OmmHgkgf/cm211013251.0132510.3327601.03320.9869100000110.197750.061.01970.967998066.50.980710735.581二.绝对压强、相对压强、真空

BA绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O当地大气压强

paO压强

压强p记值的零点不同，有不同的名称：

以完全真空为零点，记为

p绝对压强两者的关系为:

p=pe+

pa

以当地大气压

pa

为零点，记为

pe

相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。相对压强真空度

pv=pa-

pBA绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强

paO压强

今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为

p，若指绝对压强则特别注明。

1.单管测压管A点的压强当地大气压在该方程式中pA和pa应有相同的计量基准，所以当pa

＝0时pA为相对压强。三、静压力的测量2.U形管测压计点1压强点2的相对压强点2的绝对压强重力作用下等压面点a的绝对压强h1h2ap12ah1h2如何求解？？3.U形管差压计（P89）4.微压计P90

第四节平面上和曲面上的流体压力一、平面上的流体压力说明：压强一般采用表压力计算原因：当液面上作用为大气压强pa时，在壁的内外侧均有大气压作用，且方向相反，互相抵消，故在计算器壁所受的总压力时，只考虑液体对壁面产生的作用力，即：用表压计算就可以直接求得壁面所受的总压力，而不用再减去壁外面大气压作用的力了。（一）、总压力的大小、方向

设静止流体作用在任意形状的平面上，它与水平面的倾角为，面积为A。设液体的密度为，液面压强为大气压强pa。平面上各点深度不同，水静压力也不同，但都垂直于平面，组成一平行力系。分析方法：在平面上取一微元面积dA，所处深度为h，其上压强为p，则dA上的总压力为：又∵∴积分，得平面上的总压力：

式中，——平面A对x轴的面积矩。由理论力学知：yc

——面积A的形心C到Ox轴的距离。∴

hc

——面积A的形心C的垂深；pc

——形心C处的静压力。上式说明：作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心处静压力的乘积。总压力的方向：垂直指向作用面。（二）、总压力的作用点——压力中心对称平面的压力中心D点的位置，只需确定一个y坐标即可。由平行力系的力矩原理：各分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。即：将代入上式，得：化简，得：

式中，为面积A对Ox轴的惯性矩。根据惯性矩的平行移轴定理：Jc

——面积A对通过形心C轴的惯性矩；yc

——形心C到自由液面的Ox轴的距离。∴

因

，故

，即D点在C点的下方。压力中心D与形心C的距离（偏心距）：注意：可通过查手册得到。说明：对于垂直平面，则有31

常见平面形心位置及通过形心轴的惯性矩（P93）

例题8-4静水奇象思考?容器底面上受总压力均相等

二、曲面上的流体压力例如：水塔、锅炉、油罐、弧形闸门等。曲面上各点的流体静压力都垂直指向受压面，不同点所受压力的大小和方向是变化的，这样就形成了复杂的空间力系。下面以工程上常见的二向曲面（柱面的一部分）为例，说明确定总压力的分析方法及其计算公式，然后再将结论推广到一般曲面设有一承受液体压力的二向柱形曲面，面积为A，如图。建立坐标系：y轴与二向曲面的母线平行，则曲面在xoz面上的投影为曲线ab。在曲面ab上取一微元面积dA，其淹没深度为h，则流体作用在微元上总压力为：1、总压力的大小、方向（1）水平分力：

为面积A在yoz坐标面上投影面积Ax对y轴的面积矩，有即流体作用在曲面上总压力的水平分力等于流体作用在该曲面对垂直坐标面yoz的投影面Ax上的总压力。水平分力Px作用线通过Ax的压力中心：（2）垂直分力：

它相当于从曲面起向上引到液面的若干微小柱体的体积总和abcd，称为压力体，用“V”表示。即流体作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体中液体的重量，其作用线通过压力体的重心。（3）总压力的大小和方向：

将上述总压力的两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力总压力方向垂直于作用面且与垂线之间的夹角：

水平分力Px作用线通过投影面积Ax的压力中心而指向受压面。垂直分力Pz作用线通过压力体的重心而指向受压面。故，总压力作用线必然通过这两条作用线的交点D，且与垂直线成角。这条总压力作用线延长与曲面的交点D就是总压力在曲面上的作用点。2、总压力的作用点3、压力体是一体积，叫压力体，这是一个纯数学概念，与其