第二章滤波器内容

第2章变换(ZT)与DTFT2.1序列的Z变换2.2离散时间傅里叶变换--DTFT2.3拉普拉斯变换，Z变换与傅里叶变换的关系2.4离散线性移不变系统的频域表征时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统

Laplace变换

Fourier变换 离散时间信号与系统

z变换

Fourier变换信号与系统的分析方法§2.1序列的Z变换一、Z变换的定义若序列为，定义序列的Z变换为二、Z变换的收敛域

收敛域：对任意给定序列，使其Z变换收敛的所有值的集合，称为收敛域(ROC)

。

按照级数理论，变换式中级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即三、4种典型序列的Z变换的收敛域1．有限长序列

在有限区间之内序列具有非零的有限值，在此区间之外，序列值都是零。其变换为：要使其收敛，则要求：由于有界，故要求：

显然，在上，都满足这个条件，也就是说，收敛域是除及外的开域，即“有限平面”。由、的取值不同，收敛域可进一步扩大（仅仅是扩大或两个收敛值）2．右边序列只在时，有值，在时，。其ZT为：收敛域为因果序列：即在时，才有非零值，时其ZT中只有Z的零幂和负幂项，因此级数收敛域可包括所以处ZT收敛是因果序列的特征。3．左边序列只在时，有非零值，时，。其ZT为：收敛域为：如果，则右端第二项不存在，收敛域应包括，即4．双边序列

为任意值时，都有非零值的序列，可以看成是左边序列与右边序列之和。收敛域是：右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。如果，则存在公共收敛域，则右边序列收敛域为左边序列收敛域为∴ROC：整个Z的闭平面（）例2.1

，求其ZT及ROC解：例2.2，求其ZT及ROC。解：只有在时，即处收敛。∴ROC：

例2.3，求ZT及ROC解：其ROC为：，即。一般来说，左边序列的ZT的ROC一定在模值最小的有限极点所在圆之内。右边序列的Z变换的ROC一定在模值最大的有限极点所在圆之外。例2.4,求ZT及ROC解：如果则可得ROC：具有三个极点，其可能的收敛域形式为四Z反变换反变换：从给定的变换闭合式中还原出原序列。表示式为：

通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）部分分式展开法长除法要求掌握前两种方法。1、围线积分法（留数法）

根据复变函数的理论，若函数在环状区域（）是解析的，则在此区域内可展开成罗朗级数：其中为：跳过比较罗朗级数与ZT定义式可知，就是罗朗级数的系数，所以用围线积分表示的IZT公式为：将看成是柯西积分定理中的，即时即证明：令由柯西积分定理：证毕。根据留数定理，若函数在围线C上连续，在C以内有K个极点，在C以外有M个极点(M、K为有限值)，则有或：(2)式应用条件：的分母多项式的阶次比分子多项式Z的阶次高二阶或二阶以上。由于，可得：留数的计算（1）是的单（一阶）极点，则有（2）是的多重极点（点），则有注意：具体计算时，尽量避免求高阶极点处的留数。求解中，极点阶数与n相关，需对n进行区间求解。例2.6已知，求IZT。解：当时，在围线C内只有处的一个一阶极点，因此：当时，函数在围线C的外部只有一个一阶极点且符合使用的条件：的分母阶次减去分子阶次结果是。而在C的内部则有处一阶极点及处阶极点。例2.7已知:求IZT解：当时，围线C的内部有两个极点，当时，利用围线C的外部没有极点，而且分母阶次比分子阶次高2阶或2阶以上，故选C外部的极点求留数，其留数必为0，得到还可以这样考虑，由于收敛域为圆的外部，而且，即在处不是极点，因而序列一定是因果序列，可以判断得到：

综合以上，得：2、部分分式展开法在实际应用中，一般是的有理分式，可表示成

都是变量的实系数多项式，并且没有公因式。则如果可以表示成有理分式：系数那么可展成：根据留数定理，系数可用下式求得：:可用长除法求得。系数可用下式求得：当为Z的正幂有理分式时，可以按如下方式展开。例2.8已知:求IZT将给定改写成：将两端同乘，得：展开：由给定ROC可知，此序列为因果序列，解：∴∴可得：综合以上得：

本例是右边序列，对于左边序列或双边序列，部分分式法同样适用，但要注意：哪些极点对应于右边序列，哪些极点对应于左边序列。

五Z变换的基本性质和定理1、线性满足比例性、可加性。若那么：注意：线性组合中某些零点与极点互相抵消，则ROC可能扩大。例2.13：已知，求ZT。解：由2、序列的移位讨论序列移位后其ZT与原序列ZT的关系。若有：那么：式中为任意整数，，则为延迟，则为超前序列移位后，收敛域不变。只是对单边序列在或处可能有例外。

例如，在平面处处收敛，但，在处不收敛，而，在处不收敛。证明：按ZT定义：例2.14：已知，求ZT解：已知：又：∴3、乘以指数序列（Z域尺度变换）序列乘以指数序列，是常数若那么：尺度变换对零极点的位置有影响。4、序列的线性加权（Z域求导数）若那么：其中：5、共轭序列一个复序列的共轭序列为，若则：6、翻褶序列若则：7、初值定理对于因果序列，即：，则有：8、终值定理

设为因果序列，的极点处于单位圆以内（单位圆最多在处可有一阶极点）则有：9、有限项累加特性是因果序列，若则：10、序列的卷积和（时域卷积和定理）设为与的卷积和则有：

时域为卷积和，则域为相乘，ROC为重叠部分。如果ROC边界上一个ZT的零点与另一个ZT的极点相互抵消，则ROC可能扩大。证：例2.17：设，求：解：已知：∴

11、序列相乘（z域复卷积定理）且若则：，[即]

其中c是变量平面上，与的公共ROC内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线，满足将此两式相乘，得12、帕塞瓦定理（ParsevalTheorem）利用复卷积定理可得到重要的帕塞瓦定理。且若则：围线C应在和的公共ROC内，即

一个线性移不变系统可用常系数线性差分方程来描述。其一般形式：如果系统起始状态为零，且输入为因果序列，则可直接对上式取单边ZT，得：六利用Z变换求解差分方程例：若离散时间系统可用如下一阶差分方程表示：设输入为初始条件为求系统输出。§2.2离散时间傅里叶变换（DTFT）正变换逆变换DTFT是分析信号的频谱，研究离散时间系统的频域特性以及信号通过系统后的频谱特性的主要分析工具。序列绝对可和，是DTFT存在且连续的充分条件。DTFT的存在条件（1）一致收敛（2）均方收敛当满足时，序列的能量有限，也是DTFT存在的充分条件。（3）对于某些特殊的序列，比如周期序列，阶跃序列，引入冲激函数后可得到它们的傅里叶变换。例题：求矩形序列的N点DTFT。解：DTFT的性质DTFT的一些对称性质1、对称与反对称：（1）共轭对称序列：满足的序列。当是实序列时，则(偶对称序列)。即满足实部偶对称，虚部奇对称。（2）共轭反对称序列：满足的序列。当是实序列时，则(奇对称序列)。即满足实部奇对称，虚部偶对称。证明：取、为以下两式即可：从以上两式看出，、满足其定义。根据以上两个定义，任意序列总能表示为：

同样：一个序列的FT也可以分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和。其中：FT函数为实函数时：⑴满足共轭对称，则称为频率的偶函数。即⑵满足共轭反对称，则称为频率的奇函数。即2、FT的对称性质由以上性质，可用一个FFT运算完成两个实序列的FFT运算。(1)(2)(3)(4)将表示成极坐标形式：对实序列：(5)如果是实序列，则其FT满足共轭对称性。即由此得出：即实序列的FT的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。任意实序列总可以分解为偶对称分量和奇对称分量的和。对于因果序列=对于因果序列=根据以上结论，如果x(n)为实因果序列，则可根据求得x(n)；也可以根据求得x(n)，n>0的部分。§2.3序列的ZT与连续信号的LT、FT的关系一、ZT与LT的关系序列的ZT与理想抽样信号的LT的关系。

设连续信号为，理想抽样后的抽样信号为，则其LT为：将代入上式得抽样序列的ZT为：抽样序列的ZT就等于其理想抽样信号的LT，写出如下形式：这两种变换的关系：由的映射，映射关系为：讨论映射关系:将S平面用直角坐标表示：Z平面用极坐标表示：

1．与的关系：⑴（平面的虚轴）对应于（平面单位圆）⑵（的左半平面）对应于（平面单位圆内部）⑶（的右半平面）对应于（平面单位圆外部）

2．与的关系：⑴(平面实轴)对应于（平面的正实轴）⑵(常数)(平面平行于实轴的直线）对应于(平面始于原点辐角为的辐射线)

通过平行于实轴的直线，对应于平面的负实轴,抽样角频率为，因此每增加一个抽样角频率，则相应地增加一个，也就是说，是的周期函数。因此平面到平面是多值映射。

在连续时间信号的抽样中，一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱产生周期延拓。即：Go6.5同样地，一个连续时间信号经理想抽样后，信号的LT在平面上沿虚轴周期延拓，也就是说在平面虚轴上是周期函数。将这个式子代入则得到与的关系二、ZT与FT的关系

我们知道，FT是LT在虚轴上的特例，即，因而映射到平面上为单位圆，代入得：抽样序列在单位圆上的ZT，就等于其理想抽样信号的FT。由：得：

我们已经知道：频谱是频谱的周期延拓，那么表现在平面的单位圆上就是：是的周期函数，即它在单位圆上循环出现。

在今后的讨论中，我们用数字频率来作为平面上单位圆的参数，即

与（模拟角频率）的关系：从上式看出：相对频率是模拟角频率对抽样频率的归一化值。

这说明：单位圆上的ZT是与信号的频谱相联系的，因此我们称单位圆上序列的ZT为序列的FT。将上式代入得§2.4离散系统的系统函数及系统的频率响应

一个线性移不变系统在时域可用单位抽样响应表示，那么对于任意的输入，当取ZT，得∴线性移不变系统的系统函数，是单位抽样响应的Z变换。即

这样，在单位圆上()的系统函数就是系统的频率响应，即FT。一、因果稳定系统一个线性移不变系统稳定的充要条件是：而Z变换的ROC满足

要使一个系统的存在且连续，那么系统函数的收敛域包括单位圆，即系统是稳定的。反之，如果系统是稳定的，那么系统函数的收敛域应包括单位圆。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其ROC形式为对于因果稳定的系统，系统函数的全部极点必须在单位圆内。二、系统函数与差分方程的关系

一个线性移不变系统可用常系数线性差分方程来描述。其一般形式：如果系统起始状态为零，可直接对上式取ZT，得：由此看出：系统函数取决于差分方程的系数。将系统函数分子分母多项式分解：(：系统函数的零点，：系统函数的极点)注意：我们并没有给出的的ROC,也就是说可以代表不同的系统。对于因果稳定系统，其ROC为

通常我们在平面上用零极点描述系统函数，因此一般要画出单位圆，以便看出零极点在单位内部还是外部。三、系统频率响应的意义

如果输入为复指数或正弦信号，那么它的响应称为系统频率响应。下面研究系统的频域表示法。设输入序列是频率的复指数序列，即那么输出（卷积和）：可表示成：下面证明一个重要结论。

当系统输入为正弦序列时，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出相位则为输入相位与系统相位响应之和。证明：设输入为由得的响应：同理可得：的响应∴

由于是实序列，故满足共轭对称条件，即那么:所以：写成极坐标的形式

由此看出为的周期函数，周期为。虽然是离散序列，但是

的连续函数。而且有，系统的频率响应正是系统函数在单位圆上的值。即

通过系统频率响应这个概念，对于LSI系统，可以建立任意输入情况下，输入与输出两者的傅里叶变换的关系，由卷积和与FT的性质可得：即：

由上式可知：对于LSI系统，输出序列的FT等于输入序列的FT与系统频率响应的乘