第三讲极限与连续

极限与连续第二章§1从阿基里斯追赶乌龟谈起

——数列极限

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破.

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、数列概念割圆术

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——(魏晋)刘徽割圆术正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416数列的定义例如称为无穷数列,简称数列.

说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”数列极限的定性描述Definition

如果n无限增大时，数列{an}的通项an无限接近于常数a，则称该数列以a为极限，记做或如果数列没有极限,就说数列是发散的.上例中，以0为极限的变量称为无穷小量. 如每一项均为常数的数列称为常数列. 常数列的极限仍是该常数. 如数列{1,1,1,…}为常数列，且绝对值无限变大的变量称为无穷大量，或称其收敛于∞，或－∞. 如2n,-2n均为无穷大量，且为n→∞时的无穷小量播放数列极限的定量描述如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正数N,

不等式记为或几何解释:其中二、数列极限的性质及收敛准则定理1(唯一性定理)若数列{an}收敛,则其极限值必唯一．定理2(有界性定理)若数列{an}收敛，则{an}必是有界数列．定理3(保序性定理)设{an},{bn}的极限存在,且,则存在正整数N,当n＞N时,有an＞bn.推论1(保号性定理)设{an}的极限存在，且(或),则存在正整数N,当n＞N时,有an＞0(或an＜0)．推论2设{an},{bn}的极限存在,若an≤bn(当n＞N时),则．特别地,若an≥0(或an≤0),则[或].定理4(夹逼定理)设数列{xn},{yn},{zn}满足xn≤yn≤zn(当n＞N时)，且,则．定理5(单调有界数列收敛准则)单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限．即单调有界数列必有极限．§2函数极限一、自变量在有限点处的极限3.几何解释:说明：单侧极限：左极限：右极限：解左右极限存在且相等,例4左右极限存在但不相等,例12证幻灯片33二、自变量趋于无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？例5证几何解释:例7解例6解xy三、极限存在的函数的基本性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性推论1性质3有极限函数的局部保号性注意推论2定理一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限§3 无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.无穷小和极限的关系:定理

变量u以A为极限的充分必要条件是：变量u可以表示为A与一个无穷小量的和。即limu=Au=A+a，其中a是无穷小

。证略.定理表明：

极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：

1°

有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；

定理2°

无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；

3°

有限多个无穷小量之积仍是无穷小量；

4°

无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。

例1解无穷大(量)定义

如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作

精确定义：1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:证

得证.

xoy例2无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；

(2)但无界变量不一定是无穷大量。例如数列

无穷大量与无穷小量的关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例3无穷小量的比较例如,

比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限定义：说明: