第四章回归模型中的随机误差项问题

第四章回归模型中的

随机误差项问题第一节概述第二节异方差第三节自相关2/2/20231山东财经大学统计学院计量经济教研室一、古典假定假定1：随机项ui具有零均值：

E(ui|xi)=0i=1,2,…,n假定2：随机项ui具有同方差：

Var(ui|xi)=u2

i=1,2,…,n假定3：随机项ui无序列相关性：

Cov(ui,uj)=0i≠j

i,j=1,2,…,n假定5：u服从正态分布

ui~N(0,u2)i=1,2,…,n第一节概述2/2/20232山东财经大学统计学院计量经济教研室有了以上这些假定，根据高斯－马尔可夫（Gauss-Markov）定理，我们知道古典回归模型的最小二乘估计量（OLSE）是线性最优无偏估计量(BLUE)，而且服从正态分布。因此，就可以进行参数的区间估计，而且也可以检验真实总体回归系数的显著性。2/2/20233山东财经大学统计学院计量经济教研室二、古典假定的违背及造成的后果在实际经济问题中，上述的古典假定不一定都能得到满足。如果这些假定不完全满足，则OLSE的BLUE特性将不复存在。当然，每一个假定不满足所造成的后果是不同的。在本章中，我们将严格考察上述假定，找出如果有一个或多个假定得不到满足时，估计量的性质将会发生什么变化,并研究当出现这些情况时，应该如何处理，即古典模型假定违背的经济计量问题。2/2/20234山东财经大学统计学院计量经济教研室关于假定1，一般地我们认为假定E(ui|xi)=0

是合理的。因为随机项u是多种因素的综合，而每种因素的影响都“均匀”地微小，它对因变量的影响不是系统的，且正负影响相互抵消，故所有可能取值平均起来为零。即使有轻度的违反，从实践的观点来看可能不会产生严重的后果，因为它可能只影响回归方程的截距项。关于随机项正态性分布的假定，如果我们的目的仅仅是估计，这种假定并不是绝对必要的。事实上，无论是否是正态分布，OLSE估计式都是BLUE。剩下的四个假定将在下面的四节中分别加以讨论。2/2/20235山东财经大学统计学院计量经济教研室三、广义最小二乘法（GLS）给定线性回归模型Y=Xβ

+u(4.7)若古典假定完全满足，根据Gauss-Markov定理，其系数的最小二乘估计量

B＝(X′X)–1

X′Y(4.8)具有BLUE性质。若古典假定得不到完全满足，特别是假定2（同方差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时，对OLSE的影响更大。2/2/20236山东财经大学统计学院计量经济教研室使得其中的重新满足假定2(同方差性)和假定3(无序列相关性)。这样就可以对上式使用OLS估计参数，从而使得上式的OLSE仍然为BLUE。其中Ω≠I，Ω是一个n×n的正定对称方阵。若因假定2和假定3不满足时，有广义最小二乘法（GeneralLeastSquares－GLS）就是为了解决上述问题提出的。其基本思路是：若假定2同方差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时，我们可以采取适当的变换，使原模型变为以下的形式：2/2/20237山东财经大学统计学院计量经济教研室此时可以觅得一个n×n的非奇异矩阵P，使得：PΩP′=I即P′P

=Ω-1

然后用觅得的P乘以(4.7)的两边，有：

PY=PXβ+Pu记

(4.7)就转换为：由于：(4.14)2/2/20238山东财经大学统计学院计量经济教研室所以，(4.14)满足同方差性和无序列相关性，即可以采用OLS估计参数了。其参数的OLSE为：GLSE的协方差矩阵为：上式中的称为广义最小二乘估计量（GLSE），可以证明，它具有线性、无偏性和最小方差性，即它是最优线性无偏估计量（BLUE）(4.16)2/2/20239山东财经大学统计学院计量经济教研室第二节异方差一、异方差及其产生的原因则称随机误差项u具有异方差性(Heteroscedasticity)。如果被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，如图4.1所示，可以把异方差看成是由于某个解释变量的变化而引起的，则当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即2/2/202310山东财经大学统计学院计量经济教研室图4.1异方差示意图

xyf(y)2/2/202311山东财经大学统计学院计量经济教研室异方差举例例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为

yi=0+1xi+uiyi：第i个家庭的储蓄额xi：第i个家庭的收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小ui的方差呈现单调递增型变化2/2/202312山东财经大学统计学院计量经济教研室yx图4.2收入-储蓄模型中的异方差2/2/202313山东财经大学统计学院计量经济教研室例:以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

Q=AKαLeu其中，Q为产出量，K为资本，L为劳动力，u为随机项。u在该问题中表示了包括不同企业在设计上、生产工艺上的区别，技术熟练程度和管理上的差别以及其它因素。这些因素在小企业之间差别不大，而在大企业之间，这些因素都相差甚远，即随机项的方差随着解释变量的增大而增大。2/2/202314山东财经大学统计学院计量经济教研室异方差产生的原因1、模型中省略的解释变量如果将某些未在模型中出现的重要影响因素归入随机误差项，而且这些影响因素的变化具有差异性，则会对被解释变量产生不同的影响，从而导致误差项的方差随之变化，即产生异方差性。

2、测量误差一方面，解释变量取值越大测量误差会趋于增大；另一方面，测量误差可能随时间而变化。3、截面数据中总体各单位的差异如前面家庭储蓄行为中高低收入家庭的差异。

4.模型函数形式设定错误如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。2/2/202315山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：☆异方差问题多在于截面数据中而非时间序列数据中。☆本教材只讨论横截面数据的异方差问题。2/2/202316山东财经大学统计学院计量经济教研室二、异方差产生的后果最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小方差性。参数的显著性检验和置信区间的建立发生困难。虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但这些参数方差的估计量、是有偏的。预测的精确度降低。2/2/202317山东财经大学统计学院计量经济教研室三、异方差的检验由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：

检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。(一)图示法随机项u的异方差与解释变量的变化有关。因此，可利用因变量y与解释变量x的散点图或残差e2i与x的散点图，对随机项u的异方差作近似的直观判断。2/2/202318山东财经大学统计学院计量经济教研室yxyxyxyxA同方差B递增异方差C递减异方差D复杂异方差2/2/202319山东财经大学统计学院计量经济教研室2/2/202320山东财经大学统计学院计量经济教研室（二）Goldfeld-Quandt检验该方法该检验方法是Goldfeld和Quandt于1965年提出的，用于检验是否存在递增或递减异方差，要求观测值为大样本。基本思想是将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，以此判断是否存在异方差。原假设为：H0：u同方差，即σ21=…=σ2n备择假设为：H1：u是递增异(或递减)方差，即σ2i随xi递增(或递减)(i=1,2,…,n)2/2/202321山东财经大学统计学院计量经济教研室G-Q检验的步骤：1.将n对样本观察值(xi,yi)按观察值xi的大小排队。2.将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2。注意：对于n≥30时，c=n/4最合适。3.对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和。分别用RSS1与RSS2表示较小与较大的残差平方和，它们的自由度均为(n-c)/2–k–1，k为模型中自变量个数。 4.选择统计量2/2/202322山东财经大学统计学院计量经济教研室如果检验递增方差：如果检验递增方差：5.进行检验可以证明，在原假设下，如果具有等方差性，两个方差估计量应该相差不大，F值就应接近于1。如果存在异方差，那么F值就应该比1大出许多。在给定的显著性水平下，利用F分布的临界值Fα进行显著性检验。当F＞Fα时，应拒绝H0，认为存在异方差性，当F不大于Fα时，应接受H0，认为存在同方差性。2/2/202323山东财经大学统计学院计量经济教研室例4.1根据随机抽取的21个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中，x为年内家庭纯货币收入（元），y为年底家庭储蓄余额（元）。家庭编号xy家庭编号xy1590.2107122827.7315892664.94123133084.1722093809.5159143462.7128784875.54189153932.5237225991.25233165150.79535061109.95312177153.35808071357.87401189076.851175881682.85221910448.211583991890.586642011575.4818196102098.258712112500.8420954112499.581033

表4.1家庭储蓄余额与纯货币收入数据表2/2/202324山东财经大学统计学院计量经济教研室（三）White检验White检验的基本思想：如果存在异方差，其方差与解释变量有关，可以分析方差是否与解释变量有某些形式的联系以判断异方差性。但是方差一般是未知的，可用OLS法估计的残差平方作为其估计量。在大样本的情况下，做对常数项，解释变量，解释变量的平方及其交叉乘积等所构成的辅助回归，利用辅助回归相应的检验统计量，即可判断是否存在异方差性。

2/2/202325山东财经大学统计学院计量经济教研室例如，二元线性回归模型为

(4.21)异方差与解释变量x1、x2的一般线性关系为

（4.22）其中vi为随机误差。White检验的基本步骤如下：1.运用OLS估计（4.21）。

2.计算残差序列ei，并求e2i。3.做e2i对x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的辅助回归，即2/2/202326山东财经大学统计学院计量经济教研室4.计算统计量nR2,n为样本容量，R2为辅助回归的样本决定系数。5.在原假设“误差项同方差”下，nR2服从自由度为5的χ2分布。给定显著性水平α，查分布表得临界值χ2α(5)，如果nR2＞χ2α(5)，则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差（EViews软件中给出nR2对应的概率(Probability)。若

Probability＜α，则表明模型中随机误差存在异方差，α一般取0.05）。

White检验的特点是，不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的情况下，还能判断出是由哪一个变量引起的异方差，通常应用于截面数据的情形。此方法不需要异方差的先验信息，但要求观测值为大样本。2/2/202327山东财经大学统计学院计量经济教研室（四）Park检验Park将σ2i看成是解释变量xi的某个函数。他所建议的函数形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建议用e2i作为替代变量并作如下回归：如果γ在统计上是显著的，就表明存在异方差。如果它不显著，则可接受同方差假设。Park检验不但可以用于检验异方差，还可以找出异方差的数学形式。2/2/202328山东财经大学统计学院计量经济教研室（五）戈里瑟(Gleiser)检验Glejeser检验的基本思路是：在残差|ei|关于解释变量的各种幂次影响关系中，确定出一个最显著的函数形式，它不仅可以说明异方差的存在，还确定了异方差的表现形式。具体步骤如下：1.利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei。2.对|ei|关于xi的各种幂次关系进行回归，再利用最小二乘法进行估计。例如可以取以下形式2/2/202329山东财经大学统计学院计量经济教研室对各个回归方程进行统计检验，如果某种回归形式的拟合优度高，系数的t检验显著，就说明|ei|与xi存在该种影响关系，从而异方差存在。注意:Glejeser检验的计算工作量较大，一般是先通过其它检验方法确定了存在异方差之后，再用此方法确定异方差的形式。2/2/202330山东财经大学统计学院计量经济教研室（六）Spearman等级（秩）相关检验这是一种非参数检验。方法为：1.利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei及其绝对值|ei|；2.给出xj的每个xji的位次和|ei|的位次；3.计算每个样本点xji的位次和|ei|的位次之差di

4.计算Spearman等级（秩）相关系数：2/2/202331山东财经大学统计学院计量经济教研室5.对Spearman等级（秩）相关系数进行显著性检验。检验统计量为：在原假设“总体的Spearman等级（秩）相关系数为0”下，上述统计量服从自由度为（n－2）的t分布。上述统计量服从自由度为（n－2）的t分布。对应给定显著性水平的临界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)，则认为不存在异方差，若t＞tα/2(n-2)，则认为存在异方差。2/2/202332山东财经大学统计学院计量经济教研室四、解决异方差问题的途径基本思路：变换原模型，使经过变换后的模型具有同方差性，然后再用OLS法进行估计。常用方法是加权最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS），它是广义最小二乘法（GLS）的一个应用。2/2/202333山东财经大学统计学院计量经济教研室在同方差假定下，OLS把每个残差平方都同等的看待，都赋予相同的权数1。但是,当存在异方差时，方差越小，其样本值偏离均值的程度越小，其观测值越应受到重视，即方差越小，在确定回归线时的作用越大；反之方差越大，其样本值偏离均值的程度越大，其观测值所起的作用应当越小。也就是说，在拟合存在异方差的模型的回归线时，对具有不同方差的残差应该区别对待。从样本的角度，对较小方差的残差给予较大的权数，对较大方差的残差给予较小的权数，从而使加权的残差平方和比其简单平方和能更好地反映不同样本点数据对残差平方和的影响。

（一）加权最小二乘法2/2/202334山东财经大学统计学院计量经济教研室通常将权数取为：

则加权的残差平方和为：

根据最小二乘原理，使加权的残差平方和最小，即：解得：其中：这种求解参数估计式的方法为加权最小二乘法，这样估计出的参数称为加权最小二乘估计量（WLSE）。2/2/202335山东财经大学统计学院计量经济教研室实际应用中，由于随机项的方差未知，WLS是无法使用的，因此，一般采用以下等价的方法：在一元模型中，由异方差的含义，条件方差可表示为解释变量的函数，若这种函数可以估计出来，比如：这时用乘以的两边，得：记：则：这说明转换后的模型具有了同方差性，可以使用OLS进行估计了。2/2/202336山东财经大学统计学院计量经济教研室在多元模型中，若方差与m个解释变量有关，则可设：用去乘以原模型两端得：类似一元模型的情况，可以说明转换后的模型具有了同方差性，可以使用OLS进行估计了。可见，这种方法的思路实际上就是当确定了异方差的具体的形式时，将原模型加以适当的“变换”，使得“变换”后的模型消除或减轻异方差的影响。2/2/202337山东财经大学统计学院计量经济教研室再以一元模型为例进行分析:假定1:此时用xi的倒数去乘以原模型的两边得：此时:这样转换后的模型具有同方差性。(其中,)对转换后的模型应用OLS，即可求得：于是，得到原模型的样本回归方程为：2/2/202338山东财经大学统计学院计量经济教研室假定2此时用的倒数去乘以原模型的两边,可得对转换后的模型应用OLS得：其中：进一步还原可得到原模型的样本回归方程。2/2/202339山东财经大学统计学院计量经济教研室（二）模型的对数变换在经济意义成立的情况下，如果对线性模型作对数变换，其变量均用对数代替，通常可以降低异方差性的影响。原因：运用对数变换能使测定变量值的尺度缩小。如取自然对数，它可以将两个数值之间原来10倍的差异缩小到只有2倍多的差异。经过自然对数变换后的模型，其残差表示相对误差，而相对误差往往比绝对误差有较小的差异。2/2/202340山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：对变量取对数虽然能够减少异方差对模型的影响，但应注意取对数后变量的经济意义。如果变量之间在经济意义上并非呈对数线性关系，则不能简单地对变量取对数，这时只能用其他的方法对异方差进行修正。如果异方差是由省略的解释变量而造成的，进行模型转换虽然可以消除异方差，但参数估计值仍然可能不准确，此时最好的解决方法是找出被省略的解释变量，并加入到模型中去。2/2/202341山东财经大学统计学院计量经济教研室（三）在OLS下，使用异方差性一致估计量存在异方差时，参数的OLSE仍是无偏和一致估计量，应该说还是具有良好性质的估计量。但异方差性造成系数的置信区间和假设检验结果不可信赖，造成方差的OLSE有偏。White设计了异方差性一致估计量指标，解决了异方差条件下回归系数方差的估计问题。这种估计量的性质不是“最好”，但它们对于同方差性的违背不敏感，被称为方差的稳健估计量（RobustEstimators）。下面我们用一元线性回归模型对White方法作一说明。2/2/202342山东财经大学统计学院计量经济教研室OLS估计的斜率系数的方差公式是：如果满足同方差假定，则存在一个常数方差，将其代入(4.34)，有：

(4.34)但在异方差条件下，不存在这样的常数方差，White的方法是在(4.34)式中用取代(这里是第i个OLS残差），得到异方差性一致标准误差：2/2/202343山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：不能用得到的一致估计量，White得到的是的一致估计量，它是的加权平均。

同样的分析适用于多元回归OLSE的情况，用White方法得到的第j个OLS回归系数方差的异方差性一致估计值由下式给出：其中是从xj对方程中所有其它解释变量OLS回归得到的残差，ei为原多元回归模型的第i个OLS残差。2/2/202344山东财经大学统计学院计量经济教研室通过使用诸方差的White异方差性一致估计值代替其OLS估计值，我们解决了异方差性造成系数的置信区间和假设检验结果不可信赖的问题。与本节前面介绍的WLS法相比，这种的解决异方差性的方法的优越之处在于，不需要知道异方差性的具体形式。因此，在异方差性的基本结构未知的情况下，建议仍采用OLS法估计系数，而采用方差的稳健估计量，White的异方差性一致估计量就是一种很好的选择。2/2/202345山东财经大学统计学院计量经济教研室例4.3

表4.5列出了2003年我国各地区的FDI和GDP的数据，试建立我国各地区FDI对GDP的回归模型，并检验、矫正异方差。省份y(FDI，万美元)x(GDP，亿元)省份y(FDI，万美元)x(GDP，亿元)北京2191263663.1河南539037048.59天津1534732447.66湖北1568865401.71河北964057098.56湖南1018354638.73山西213612456.59广东78229413625.87内蒙88542150.41广西418562735.13辽宁2824106002.54海南42125670.93吉林190592522.62重庆260832250.56黑龙江321804430四川412315456.32上海5468496250.81贵州45211356.11江苏105636512460.83云南83842465.29浙江4980559395陕西331902398.58安徽367203972.38甘肃23421304.6福建2599035232.17青海2522390.21江西1612022830.46宁夏1743385.34山东60161712435.93新疆15341877.61表4.5我国各地区2003年FDI和GDP的数据2/2/202346山东财经大学统计学院计量经济教研室第三节自相关一、自相关及其产生的原因若违背这个假定，Cov(ui

,uj)≠0，即u在不同的样本点下的取值相关连，则称随机误差项u存在序列相关（SeriesCorrelation）或自相关（Autocorrelation）。对于线性回归模型，随机项互不相关的基本假设表现为：Cov(ui

,ul)=0

il,i,l=1,2,…,n注意：自相关问题主要存在于时间序列数据中，所以本节研究的都是时间序列数据的自相关问题；为了讨论和理解方便，下面的内容中用t,t-1,…表示时间序列数据的不同的观测点，称之为“期”，并将其作为随机项或其它变量的下标，如ut表示u在第t期所取的值

。

2/2/202347山东财经大学统计学院计量经济教研室自相关产生的原因

1、被解释变量的自相关

2、解释变量的省略3、随机项本身存在自相关4、回归模型函数形式设定错误5、经济变量的惯性作用2/2/202348山东财经大学统计学院计量经济教研室二、自相关产生的后果1、最小二乘估计量仍然是线性无偏的但不具有最优性，一般情况下，参数估计值的真实方差会被低估。2、因为最小二乘估计量的方差估计是有偏的，所以通常回归系数显著性的t检验将失去意义。类似地，F检验和R2检验不可靠。3、因变量的预测精度降低。2/2/202349山东财经大学统计学院计量经济教研室三、自相关的检验然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：基本思路:首先，采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量”，用ei表示：2/2/202350山东财经大学统计学院计量经济教研室（一）图示法1、绘制et和et-1的散点图如果大部分散点落在Ⅰ、Ⅲ象限，如图A所示。那么et和et-1就是正相关，这表明随机项u存在一阶正自相关；如果大部分点落在Ⅱ、Ⅳ象限，如图B所示，那么et和et-1就是负相关，这表明随机项u存在负自相关。etet-1etet-1A误差项一阶正自相关B误差项一阶负自相关2/2/202351山东财经大学统计学院计量经济教研室2、绘制残差et的时间序列图如果随t的变化et并不存在明显的规律性，则ut是非自相关的;如果随着t的变化et是几个正的后面跟着几个负的，呈现较长周期的循环，则et(ut)之间存在正的自相关(图A)；如果随着t的变化et不断地改变符号，呈现锯齿型，则判定et之间存在负自相关，表明ut存在负自相关（图B）。tetettA误差项一阶正自相关B误差项一阶负自相关2/2/202352山东财经大学统计学院计量经济教研室（二）Durbin—Watson检验如果总体回归模型的随机误差项之间存在一阶自相关形式，可写成误差项一阶自回归方程，记为AR(1)：ut=ut-1+vt

，其中，ρ为自回归系数，vt是满足以下标准的误差项：E(v|ut-1)=0,Var(v|ut-1)=σ2,Cov(vt

,vt+s)=0s≠0检验随机误差项是否具有AR(1)形式的思路:首先，通过构造样本回归方程，计算出残差et；然后，计算自回归系数ρ的OLS估计值：1.DW统计量的提出2/2/202353山东财经大学统计学院计量经济教研室在大样本情况下，由于,所以有:，(由于)其中，是自相关系数的样本估计值。在在大样本情况下，样本一阶自回归系数大致等于样本的一阶自相关系数，其取值范围为[-1，1]。最后，检验的显著性。如果统计显著，可以认为总体随机误差项存在一阶自相关，反之亦然。2/2/202354山东财经大学统计学院计量经济教研室由于不服从任何的常见分布，导致检验统计量无法构造，无法对其进行统计显著性检验。为此，德宾(J.Durbin)和瓦特森(G.S.Watson)于1951年提出了一种适用于小样本的检验序列自相关的方法，使用与有密切联系而且分布已知的DW统计量来替代。这种方法被称为Durbin—Watson检验(DW检验)。该方法的假定条件是：（1）解释变量x非随机变量；（2）随机误差项ut为一阶自回归形式：ut=ut-1+vt

,其中，-1≤ρ≤1,ρ为自回归系数,vt满足古典假设；（3）原回归模型截距项不为零，即只适用于有常数项的回归模型；（4）数据数列无缺失项。2/2/202355山东财经大学统计学院计量经济教研室2.DW统计量的构造针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自回归，构如下造统计量：

D.W.统计量的分布与出现在给定样本中的x值有复杂的关系，下面证明其值介于0到4之间。2/2/202356山东财经大学统计学院计量经济教研室因为，所以，0≤DW≤4。证明：

展开D.W.统计量：

(*)这里，只相差一期值，当n较大时，可以认为三者相等。所以上式可以写为：

2/2/202357山东财经大学统计学院计量经济教研室DW-1(-1,0)0(0,1)14(2,4)2(0,2)0也就是说，DW值越接近于2，u的自相关性越小；DW值越接近于零，u正自相关程度越高；DW值越接近于4，u负自相关程度越高。2/2/202358山东财经大学统计学院计量经济教研室3.DW统计量的使用⑴当DW<dL时,拒绝原假设H0:ρ=0；接受备择假设H1:ρ≠0，u存在一阶正自相关。⑵当DW>(4－dL)时,拒绝原假设H0:ρ=0；接受备择假设H1:ρ≠0，u存在一阶负自相关。⑶当dU<DW<(4－dU)时,接受原假设H0:ρ=0,不存在自相关。⑷当dL<DW<dU

或(4－dU)<DW<(4－dL)时，则这种检验没有结果，即u是否存在自相关，不能确定。DW4-dU42dUdL4-dL正自相关不能确定无自相关不能确定负自相关02/2/202359山东财经大学统计学院计量经济教研室4．DW检验的局限性DW检验仅适用于一阶自回归。DW检验有着两个不能确定的区域。一但DW值落在这两个区域，就无法确定是否存在自相关。在这种情况下，只有通过增加样本观测值或选取其它的样本，重新检验或采用别的检验方法。如果模型自变量中存在滞后的因变量，如：即使ut存在自相关，DW值也经常接近于2。2/2/202360山东财经大学统计学院计量经济教研室可以证明在无自相关的假设下，h近似服从标准正态分布，所以可以用标准正态分布对其显著性进行检验。针对第三种情况，德宾（J.Durbin）设计了一个新的检验统计量：其中，是yt-1系数估计量的标准差。

2/2/202361山东财经大学统计学院计量经济教研室（三）Breusch-Godfrey检验对于模型设随机误差项存在p阶自相关：(vt满足古典假定)(不存在p阶自相关)。BG检验步骤如下：对于原假设1.用OLS估计样本回归方程，求出残差et。2.作辅助回归，并计算回归方程的R2。2/2/202362山东财经大学统计学院计量经济教研室3.大样本和H0成立下，布鲁奇和高德佛瑞证明了：(n为样本容量)4.统计决策。在给定的显著性水平α下，查表得临界值，若，就拒绝H0，此时，至少有一个在统计上显著异于零，表明存在高阶自相关。否则，接受零假设，认为不存在高阶自相关。注意：实际应用时，可以从1阶，2阶…逐次向高阶检验。2/2/202363山东财经大学统计学院计量经济教研室四、自相关模型的经济计量方法通过检验，如果确定模型的随机项存在自相关，就应对产生自相关的原因进行分析。如果自相关是由于模型中省略某些解释变量造成的,那么就应根据经济理论找出被省略的解释变量，将它包含在模型之中。如果自相关是由于错误地确定模型的数学形式造成的，比如说本来是非线性型而错误地确定为线性型，那么就应该修正模型的数学形式。若排除了上述造成自相关的原因之后，经过自相关检验，随机项仍存在自相关，可采用以下的方法解决自相关问题。2/2/202364山东财经大学统计学院计量经济教研室（一）一阶差分法以一元模型为例其中,ut为一阶自回归AR(1):若模型存在完全一阶正自相关，即ρ=1，则上式变为：由于：两式相减得：由于vt为满足古典假定的误差项，无自相关问题。对上式使用OLS估计参数，可得到β1最佳线性无偏估计量。ut=ut-1+vtvt满足古典假设ut=ut-1+vt2/2/202365山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：1.完全一阶正自相关并不多见。但是只要是正的且比较大，一阶差分法往往是有效的。2.一阶差分法得到的回归方程中没有常数项，需要通过进行推算，然后才能得到对应原模型的样本回归方程：2/2/202366山东财经大学统计学院计量经济教研室（二）广义差分法以一元模型为例其中,ut为一阶自回归AR(1):ut=ut-1+vtvt满足古典假设(4.47)减(4.48)得：假设已知,将(4.47)式滞后一期，并乘以得：(4.47)(4.48)令：则得到：(4.50)(4.51)对模型(4.51)使用OLS，可得参数的最佳线性无偏估计量。2/2/202367山东财经大学统计学院计量经济教研室因为(4.51)式中被解释变量与解释变量均为现期值减去前期值的一部分，所以称为广义差分变换。注意：在进行广义差分变换时，样本容量减少一个。如果样本容量较大，减少一个观测值对估计结果影响不大。但是，如果样本容量较小，则会对估计精度产生较大影响。此时，可采用Prais-Winsten变换，将第一个观测值分别变换为：补充到差分序列中，再使用普通最小二乘法估计参数。2/2/202368山东财经大学统计学院计量经济教研室1.非线性回归方法对(4.49)进行整理得：(4.52)这是一个参数非线性的模型。可以通过Gauss-Newton迭代法，通过数值计算直接得到参数的估计值。借助软件，这种方法方便易行。如在EViews中，可以通过在回归方程中添加变量AR(1)来进实现。2/2/202369山东财经大学统计学院计量经济教研室第一步，在广义差分变换后的模型基本思路：先估计出，得到的估计值，再进行广义差分变换。具体步骤如下：令：

则(4.52)可写作:(4.52)(4.55)对上式进行OLS估计，求得的估计值,它是的一个有偏、一致估计。2.Durbin二步法注意：求还可以用其它方法。如利用DW≈2(1-)，这样可以把(1-DW/2)作为的估计值。

2/2/202370山东财经大学统计学院计量经济教研室第二步，用对原模型(4.47)进行差分变换，即：应用OLS，求得a0,1的估计值，进而得到：杜宾二步法存在两个问题：一、所得参数估计值的精度依赖于的估计值的精确度；二、差分模型的随机项仍有可能存在自相关。得：2/2/202371山东财经大学统计学院计量经济教研室(1)采用OLS法估计原模型,计算残差et.(2)利用DW值或下面的公式计算的估计值：该方法是对杜宾二步法中精度的一种改进，通过迭代过程来降低变换后的模型中随机项序列自相关的程度