初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数单元复习 公开课

《第22章二次函数》一、选择题1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=02．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4 B．8 C．﹣4 D．164．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（）A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，07．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣18．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（）A．一定有两个交点 B．只有一个交点C．有两个或一个交点 D．没有交点9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）二、填空题11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向______，对称轴是______，顶点是______．12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______．15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是______．16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______．19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______．20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______．三、解答题21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：①它的对称轴为x=2；②它与x轴有两个交点为A、B；③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0＜a＜；（2）a＞．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．《第22章二次函数》参考答案一、选择题1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0【解答】解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．故选C．2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=【解答】解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD=x，∴高为h=x，∴y=x×h=x2．故选：D．3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4 B．8 C．﹣4 D．16【解答】解：根据题意，得=0，解得c=16．故选D．4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（）A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．故选A．5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选C．6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0【解答】解：根据顶点坐标公式，得横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．故选B．7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣1【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x≤1时，y随x的增大而增大，故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，故选：C．8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（）A．一定有两个交点 B．只有一个交点C．有两个或一个交点 D．没有交点【解答】解：根据题意，得△=b2﹣4ac=＜﹣（m+2）＞2﹣4×1×3（m﹣1）=（m﹣4）2（1）当m=4时，△=0，即与x轴有一个交点；（2）当m≠4时，△＞0，即与x轴有两个交点；所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=，解得：m=±3，故选：C．10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）【解答】解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，∵对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，∴x=1，y=3，即这个固定的点的坐标为（1，3）．故选D．二、填空题11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向上，对称轴是x=1，顶点是（1，6）．【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．故答案为：上，x=1，（1，6）．12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=2．【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，代入（0，0）得：2m﹣m2=0，解得：m=2，m=0；又∵m≠0，∴m=2．故答案为：2．13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是y=2（x+1）2+3．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是﹣．【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；当x=2时，y=ax2=4a，所以a﹣4a=4，解得a=﹣．故答案为：﹣．15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是10．【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+n，∵函数的最小值是1，∴﹣9+n=1，n=10．故答案为：10．16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），∵x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴|x1﹣x2|===4，∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．故答案为：4．17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是S=﹣x2+3x，自变量x的取值范围是0＜x＜3．【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．自变量x的取值范围是：0＜x＜3．故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是5．【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；设B（b，0），C（c，0）．令y=0，则x2﹣2x﹣5=0，则b+c=2，bc=﹣5，则|b﹣c|===2，则△ABC的面积是×5×=5．故答案为5．19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，解得．所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+，故答案为：y=﹣x2﹣x+．20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是y=﹣x2+3．【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=9a+3，解得：a=﹣，即抛物线解析式为：y=﹣x2+3．故答案为：y=﹣x2+3．三、解答题21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．【解答】解：将y=2x2+4x+1整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．因为抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）﹣1+1=2（x﹣1）=2x2﹣4x+2，所以a=2，b=﹣4，c=2．23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．【解答】解：（1）由图象可知：a＜0图象过点（0，1），所以c=1，图象过点（1，0），则a+b+1=0当x=﹣1时，应有y＞0，则a﹣b+1＞0将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0；（2）此时函数y=ax2﹣（a+1）x+1，M点纵坐标为：=，图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a+1）x+1=0，解得；x1=1，x2=，则AC=1﹣=，要使S△AMC=××==S△ABC=•可求得a=．24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：①它的对称轴为x=2；②它与x轴有两个交点为A、B；③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∴﹣=2，则b=﹣4，∴P点的纵坐标是=c﹣4，又∵它与x轴有两个交点为A、B，∴△=b2﹣4ac=16﹣4c＞0，且AB===2解得c＜4，①又△APB的面积不小于27，∴×2×|c﹣16|≥27，即×|c﹣16|≥27②由①②解得c≤﹣5．综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0＜a＜；（2）a＞．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）【解答】解：对称轴x=﹣=﹣，（1）当0＜a＜时，即﹣＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2+a×（﹣）+3=3，（2）当a＞．即﹣＜﹣，在﹣1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2+a×（﹣1）+3=4﹣a．26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ