椭圆及其与直线的位置关系讲义-高三数学二轮复习

第45讲椭圆及其与直线的位置关系一、知识聚焦1直线与椭圆位置关系的判定联立椭圆方程和直线方程，消去y整理得关于x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0(A≠0)，.直线与椭圆的位置关系见表451.2直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆交于，两点，则(k为直线斜率).3解决直线与椭圆位置关系问题时的方法解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、韦达定理(根与系数的关系)、整体代入、设而不求等思想方法.二、精讲与训练核心例题1(1)求过椭圆内一点P(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程.(2)求椭圆上的点到直线l:3x2y16=0的最短距离，并求取得最短距离时椭圆上的点的坐标.(3)已知直线y=kx+4交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，若，求该直线方程.(4)在直线xy+9=0上取一点M，过点M且与椭圆共焦点作椭圆C，问点M在何处时，椭圆C的长轴最短?并求此时的椭圆方程.解题策略第(1)问，求符合条件的直线方程，由于直线过点P(1，1)，则只需要求出另一个条件，通常求直线的斜率，设所求直线的点斜式方程，则可联立方程组，运用方程理论(韦达定理，中点坐标公式等)求解.第(2)问，与椭圆上的动点有关，故可利用椭圆的参数方程(实质也是三角换元法)，把关于x，y的二元函数转化为关于θ的一元函数.将代数问题转化为三角问题处理，从而化繁为简，当然本题也可以用几何方法求出与已知直线平行，又与椭圓相切的直线方程，转化为直线与椭圆的位置关系问题.第(3)问，直线方程与椭圆方程联立消元转化为关于x或y的二次方程，由，可以联想到的二次方程的两根之和形式，从而把关于x和y的二次方程转化为的二次方程，这是整体思想的巧妙应用.第(4)问，显然椭圆的两焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，所求椭圆经过点M，并且长轴最短，即|MF1|+|MF2|最小，可通过求F1关于直线xy+9=0的对称点F'1，连接FlF2，F'1F2与直线xy+9=0的交点即为M点，当然也可以运用与已知椭圓共焦点的椭圓系，当M为椭圆系与直线xy+9=0的切点时满足条件，消元后用△=0求得λ的值从而得到所求的椭圓方程，后一解法读者可试着自行探究.解:(1)设满足题设要求的直线l的方程为.由方程组，得，设直线l与椭圆的交点坐标为，，.由P(1，1)是线段AB的中点，得=2，故=2，解得k=.∴直线l的方程为x+2y3=0.(2)设椭圆上的任意一点为.则点M到直线l的距离d=∴当时，d有最小值.此时椭圆到直线的最短距离为此时椭圆上点的坐标为.(3)设,由整理得方程两边同除以得由韦达定理知,得.所求直线方程为.（4）已知椭圆焦点分别为,设所求椭圆方程为关于直线的对称点为如图所示直线与直线的交点即为所求点.直线的方程为,由解得点的坐标为.这时.则,故椭圆方程为.【变式训练(1)】已知椭圆上的动点和椭圆内一定点为其右焦点,求的最大值和最小值.【变式训练(2)】设是椭圆的左、右焦点,弦过,求的面积的最大值.【核心例题2】已知直线与椭圆相交于两点,与轴相交于例题点.(1)若,且,求实数的值.(2)若,求面积的最大值,及此时椭圆的方程.【解题策略】第(1)问,直线的凃率确定,直线与椭圆交于两点,则,的长可用弦长公式表示,运用韦达定理使转化为关于的方程,解方程即可求得的值.第(2)问,由求出两点横坐标之间关系并用参数表示,而,进一步表示为的函数,运用基本不等式求的最大值,由此时的值确定参数的值,从而得到椭圆方程.【解】(1)设由得，判别式解得（2）由得，由条件知点从而代入得即显然.当且仅当取等号.故的面积最大值为，此时椭圆的方程为变式训练已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为且,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程.【核心例题3】已知䧎圆分别为其左、右焦点,直线过点,交椭圆于,两点.(1)若直线垂直于轴,求.（2）当且点在轴上方时,求两点的坐标.（3）若直线交轴于点,直线交轴于点,则是否存在直线,使得若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.【解题策略】这是一道探究椭圆与直线位置关系的题目,涉及求弦长、点的坐标以及探究符合条件的直线是否存在等一系列问题,通常解析几何题的计算量一般都比较大,但如果方法得当,能较大减少计算量,比如第问,若设出点的坐标,根据,有,展开后与椭圆方程聅立解之,运算量肯定大;若由,利用勾股定理求解,会相对简洁一些;若能运用椭圆的定义,则运算量更小.第问,已知直线：在轴上的截距,相比将方程设为,方程设为可避免分类讨论,运算量也小,如果能挖掘题中的几何特征,则解题过程更为简洁.【解】（1）由题意得,即.直线的方程为把代入求得的坐标为（2）【解法一】设则解得.直线的方程为由得故两点的坐标为.【解法二】设则代入化简得以下同【解法一】.【解法三】设则在中，由椭圆定义可得解得为椭圆上顶点,即,以下同【解法一】（3）如图所示,设,显然直线的方程不为可设直线的方程为,联立方程组得..由直线的方程为,得,同理得.【解法一】由得又由韦达定理得解得故存在直线使得【解法二】由得即即即解得故存在直线使得.【变式训练】（2020年高考数学江苏春第18题)如图所示,在平