初中数学相似三角形题型归类-成比例线段专项练习2附答案详解

初中数学相似三角形题型归类一成比例战段专项练习2（附答案详解）.己知线段a=2cw,b=Sc：m,它们的比例中项。是（ ）B.±4t7wC.16c7〃B.±4t7wC.16c7〃D.±16cmTOC\o"1-5"\h\z.下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）A.1、2、2、3 ，B.1、2、3、4C.1、2、2、4D.3、5、9、13.如果a：b=3：2,且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（ ）A.4：3 B.3：4 C.2：3 D.3：2.下列四条线段能成比例线段的是（ ）A,1,1,2,3B.1,2,3,4C.2,2,3,3D.2,3,4,5.点P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（）A.6一］ B.3-75 C.3一邪 D.y/5-2\o"CurrentDocument"2 2.己知线段a=2,b=8,线段c是线段a、b的比例中项，则c=（ ）A,2 B.±47.A,2 B.±47.若则土3的值是（）23 a+h7 c2A,- B.一5 38.以下四组线段，成比例的是（ ）A.2cm）3cm.4cm,6cmC.4D.8D.0B.2c7”,4c7”,6cm,8c7〃3。〃,3。〃,4c7〃,5cm,6cm4c7〃,6cm,6cm,Scrn.有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有二=:；bd②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB.BC的比例中项;③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,那么AC是AB与BC的比例中项;④如果点C是线段AB的黄金分割点，AOBC,且AB=2,则AC=JJ-L其中正确的判断有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.如图，线段AB=1,点尸】是线段45的黄金分割点（A[<6々）,点g是线段A匕的黄金分割点（<々1）,点8是线段AA的黄金分割点（AG<优4）,..，依此类推，则线段ap2Q2Q的长度是（APsRsPiAPsRsPi.爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺1:12600000的中国地图上测得，两张的图上距离大约为10.5（7”，则两地的实际距离大约是 km.己知线段a=2,b=8,则a,b的比例中项线段长等于..己知线段AB=2cm,点C在线段AB上，且AGBC/B,则AC的长cm..在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是 千米..己知点夕是线段45的一个黄金分割点，且A8=6c7〃，AP>BP，那么AP=cm,.已知点夕是线段A6上的黄金分割点，AP>BP,A3=4,那么AP=..点C是靠近点8的线段AB的黄金分割点，若48=10。〃，则AC=cm.（结果保留根号）.如果四条线段m,n,x,y成比例，若m=2,n=8,y=4.则线段x的长是 ..己知线段A8的长为，点尸是线段AB的黄金分割点（A尸>8P）,那么线段尸8的长等于（结果保留根号）..己知夕、。是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm,则PQ长为cm.一般地，点C把线段45分成两条线段AC和5C，如果r=萼，那么称线段ABACTOC\o"1-5"\h\zAB被点C黄金分割，点。叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.请计算黄金比.• • •\o"CurrentDocument"49a. C B.己知乙=2=:，且2x+3v-z=18,求4x+v-3z的值.234 ' '.阅读理解：如图①，点C将线段AB分成两部分，若^4二=竺二则点C为线段AB的黄金分割点.ABAC某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：ss直线I将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S],丛,如果彳=子,J那么称直线1为该图形的黄金分割线.问题解决：如图②，在△ABC中，己知D是AB的黄金分割点.（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E,过点D作DF〃CE,交AC于点F,连接EF（如图③），则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.① ② 曲24.如图，在△A8C中，点Z）是边上的一点.（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作NAQE.使NAOE=N8,DE交AC于点、E；（不要求写作法，保留作图痕迹）ah（2）在（1）的条件下，若木=2,AC=6,求AE的值.DB25.如图，点E分别在415。的边人5、AC上，DE/IBC.（1）若S1de=2,S、bce=75,求S1BDE；（2）若名如=m，〃，求（用加，〃表示）.已知三条线段的长度分别是3、4、6,试写出另一条线段，使这四条线段成为比例线段.

.如图(1),四边形A5C。中，对角线AC、5。相交于点。，若aAOB的面枳为SraBOC的面积为邑，△CO。的面积为邑，△49。的面积为巨，求证：s&=s、s=；(2)如图(2),四边形A5CQ是梯形，对角线AC、5。相交于点。，△QOC的面枳为4,△A0B的面枳为9,枳为4,△A0B的面枳为9,求梯形A5C。的面积.28.如图(1),AB.CO是两条线段，M是45的中点，S/，,△O八C、S4DBC分别表示△OMC、△DAC、△。吕。的面积.当人5〃8时，则有C —S&)AC+S4DBC^△D.WC - 9・乙(1)如图(2),M是A5的中点，A5与CD不平行时，作AE\MN、6尸分别垂直。。于E、N、尸三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由.(2)若图(3)中，45与S相交于点。时，问S盘^和S△四0三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论.29.如图，四边形45C0中，AD//BC,AC与50相交于点。.(1)AA3C与△O5C的面积相等吗？为什么？(2)若(2)若S&aob=21cm2COD・(3)若5恒如=1041/，且80:00=2:1,求S.A..30.如图，点P是线段45的黄金分割点，以AP为边的正方形面积为3,以46、PB为两邻边的矩形的面积为名.试比较，与名的大小.1 I IA P B参考答案A【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负.【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积.即c2=ab,则c?=2x8,解得c=±4,（线段是正数，负值舍去）.故选：A.【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数.C【解析】试题解析：A、1X3H2X2,故选项错误；B、lx"2x3,故选项错误;C.Ix4=2x2,故选项正确;D、3x13,5x9,故选项错误.故选C.D【解析】【分析】根据比例中项的概念可得a：b=b：c,则可求得b：c值.【详解】解：Ta：b=3：2,b是a和c的比例中项，即a：b=b：c,:.b：c=3：2.故选：D.【点睛】本题考查了比例中项的概念.在线段a,b,c中，若b?=ac,则b是a,c的比例中项.C【解析】分析：根据成比例线段的定义进行分析判断即可.详解：A选项中，因为1：1=2：3,所以A中的四条线段不是成比例线段；B选项中，因为1：2H3：4,所以B中的四条线段不是成比例线段；C选项中，因为2：2=3：3,所以C中的四条线段是成比例线段；D选项中，因为2：3=3：4,所以D中的四条线段不是成比例线段.故选C.点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d,我们就说线段a、b、c、d是成比例线段”是解答本题的关键.C【解析】【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值正二叫做黄金比，分别进行计算即2可.【详解】点P是长度为1的线段上的黄金分割点，••・较长的线段的长度为叵口，则较短的线段的长度为：1一吏二1=匕史；2 2 2故选C.【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 较长的线段=2原线段的吏二1是本题的关键.2C【解析】解：:线段C是线段〃的比例中项，，/="=2x8,，l4.故选CD【解析】【分析】设掾=g=k,则a=2k,b=3k,代入式子化简即可.【详解】解：设W=!=k，23a=2k,b=3k,.3。-2b_3x2k-2x3ka+b2k+3k'故选D.【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.A【解析】【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可.【详解】A、因为2：4=3：6,则2c7几3c7〃,4c6c7〃是比例线段，所以A选项正确；B、因为2：6x4：8,则2c7”,4c7”,6c7”,8c7〃不是比例线段，所以B选项错误；C、因为4：6r3：5,则3c7几4c7〃,5o〃,6cm不是比例线段，所以C选项错误；D、因为4：6x6：8,则4c7”,6c7〃,6c〃7,8c7”不是比例线段，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.C【解析】【分析】根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可.【详解】①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有£=:，说法正确；bdARAC②如果点c是线段AB的中点，故AC不是AB.BC的比例中项，说法错误;ACBC③如果点c是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确：④如果点C是线段AB的黄金分割点，AOBC,且AB=2,则AC=2^二乂2=6-1,说法正确：综上可得：①③④正确，共3个.故选：C.【点睛】本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关健是掌握黄金分割的定义,注意黄金分割分得的较长边的长=昱工x原线段长度.2A【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到8月=存L则从4=+黄，同理得到42=(女咨尸，AE=(T§)3,根据此规律得到AR,=(\£)”.据此可得答案.【详解】解：,线段A6=l，点月是线段A5的黄金分割点(Ag<8R),♦.•点P,是线段人巴的黄金分割点(A/<RH),

，Ap=3-^x3-75 3-^- 2 2 2砍=（4》,M,=（萼）”.所以线段AR所以线段AR。”的长度是（2020故选：A.【点睛】本题考查了黄金分割：把线段A6分成两条线段AC和BC（4C>8C）,且使4c是A6和6c的比例中项（即A8:AC=AU8C）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段A5的黄金分割点：其中AC=61AB*0.618AB,并且线段A6的黄金分割点有两个.21323【解析】【分析】设实际距离xcm,根据比例尺的定义列方程求出x的值，再化为km即可.【详解】设实际距离xcm,由题意得12600000=10.5：X,解得x=l32300000,132300000cm=1323kin.故答案为：1323.【点睛】此题主要考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算.4【解析】【分析】设a、b的比例中项线段长x,则由2=9得到x=ab,解之可得答案.xb【详解】解：设a、b比例中项线段长x,a=2,b=8,2x•一二二，X8x2=16,，x=4,或x=-4（舍去）.故答案为：4.【点睛】本题考查了成比例线段，比例中项的有关知识.75-1【解析】【分析】设AC=x,则BC=2-x,根据AC=8CAB列方程求解即可.【详解】解：设AC=x,则BC=2-x,根据AO=8CA8可得x^ZQ-x）,解得：x=6-l或一6—1（舍去）.故答案为正-1.【点睛】本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.6【解析】【分析】本题可根据比例线段进行求解.【详解】解:因为在比例尺为1:50000的地图上甲，乙两地的距离12cm,所以，甲、乙的实际距离x满足12:x=l:50000, x=12x50000=600000cm=6kin.故答案为6.【点睛】本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识.36-3【解析】【分析】根据黄金分割的概念得到人尸=史=48,把45=6cm代入计算即可.2【详解】VP是线段AB的黄金分割点，AP>BP：・AP=^。AB=6义更」=3下—32 2故答案为3万-3.【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键.2事-2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义得到AP是较长的线段，则AP=YI」AB,代入即可求出答案.2【详解】丁点夕是线段43上的黄金分割点，AP>BP,・・・AP=^^A6=^^x4=26—2,2 2故答案为：2万一2.【点睛】此题考查黄金分割点，熟记线段的黄金分割点的定义是解题的关键.（55/5-5）【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（立二1）叫做黄金比.根据黄金分割点的定义，知AC是2较长线段，运用黄金分割的比值进行计算即可.【详解】解：由于点C是线段A5的黄金分割点，且靠近点8,则4。=10、01=（5行一5）“〃.【点睛】考查了黄金分割点的概念.特别注意这里的AC是较长线段；熟记黄金分割的比值进行计算.1【解析】【分析】因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值.【详解】解:Vm：n=2：8=1：4,,x：y=l：4,Vy=4,.*.x=l.故答案为1.【点睛】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3-y/5【解析】【分析】根据黄金分割的概念得到AP=S二IaB,把AB=2代入计算求出AP,即可得出答案.2【详解】•・•点户是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,

，AP=#-IAB="-1x2=G-1,2 2・・・P8=AB-AP=3-5故答案为：3-6【点睛】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键.1075-20【解析】【分析】首先根据题意画出图形，由P、Q是线段AB的两个黄金分割点，可求得AQ与BP的长,继而求得答案.【详解】• • ・ •A p q B根据黄金分割点的概念,可知AQ=BP=亭x10=（5邪-5）w则PQ=AQ+BP-AB=(5邪-5)x2-10=(1075-20)cw,故本题答案为：（10右-20）.【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点是解题的关键.21.且」2【解析】【分析】设AB=1,AC=x,根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案.【详解】解：设题=1,AC=x,则6C=1—x,ACBC由丽=衣ACBC由丽=衣,得AC2=AB・CB，则A2=1X(1-A),整理得：x2+x-l=0^解得：内=立二1,x,=7Lil（不合题意，舍去）.2 2故黄金比为：亚」.2【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用.x=4,y=6,z=8.【解析】【分析】Xv7设5=]=j=k,由2x+3y-z=18列出含k的等式，解出k,x,y,z,再代入所求即可.【详解】解:好T="k,234可得：x=2k,y=3k,z=4k,把x=2k,y=3k,z=4k代入2x+3y-z=18中，可得:4k+9k-4k=18,解得:k=2,所以x=4,y=6,z=8,把x=4,y=6,z=8代入4x+y-3z=16+6-24=-2.【点睛】本题考查的知识点是比例的性质，解题的关键是熟练的掌握比例的性质.（1）对.理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.（3）直线石厂也是△ABC的黄金分割线.【解析】【分析】ADBD SADCAD（i）根据黄金分割的定义得二三=会，再根据三角形面枳公式得到产£=/用，ABAD SjbcAB

言我=黑，所以沁丝，然后根据黄金直线的定义得直线CD是^ABC的黄^AADCAD ^AABC'△4£）C金分割线：sbdcbd sadcad（2）根据三角形中线的性质和三角形面枳公式得到y=芯=1，而甘"=弁vi，S&ADCA。 S^abcAB由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线：（3）根据两平行线之间的距离定值,得至USafde=Safdc,S\dec=Safec,则Saaef=Saadc，

S四边形befc=Sabdc，然后由沁C= 得到=Syc,则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线.【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：,・•点D是AB的黄金分割点，.ADBD而‘..S&A。。_A。 S4bdc_BD•。一布‘——而‘•5徵。/_S^bdCS4ABC S色人口仁・•・直线CD是^ABC的黄金分割线；•・•三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD,.S&A。。_A。 S&bdc_BD_]'•SA8C―而'SADC_而一，・••三角形的中线不是该三角形的黄金分割线：VDF/7CE,•SaFDE=Safdc,SaDEC=SaFEC，•SaAEF=S^ADOS四边影BEFC=S^BDC»■■S&ADC■■S&ADCS4ABC—S△加C

,△aor・S&AEF_$四边形S&ABCS4AEF・•・直线EF是^ABC的黄金分割线.【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC),叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=1二1aBM).618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.2(1)如图所示，NAOE为所作.见解析；(2)AE=4.【解析】【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于己知角)作出NADE=NB;(2)先利用作法得到NADE=NB,则可判断DE//BC.然后根据平行线分线段成比例定理求解.【详解】(1)如图所示，NAOE为所作.:,DE〃BC..AEAD',~EC~~DBAAE=4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)5^D£=3；(2)Su加-【解析】【分析】(l)首先设然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形AnAF平行线定理得出==+，列出分式方程，解得即可;DoEC(2)首先设Sy小=y,由(1)中的面积比等式列出等式,求出然后即可求出【详解】(1)设S\BDE=X9Sm»a。s根据题意可得潸Sm»a。s根据题意可得潸=亍南，S^BDEDBS.SABE1BCEAE

'EC•:DE〃BC,ADAE• ,pi-EC..c_7 Q =75•U1ADE—J，^ABCE—，・J，解得：X]=—5(舍)，毛=3,‘S,BDE=3：(2)由(1)知沁=沁^ABDE^ABCE•S'BDE= ，^ABCE=〃，.y_y+加〃7n解得n-m「 团一 〃一S'EC=〃？+〃+ =一【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式.9x=8或一或2.【解析】【分析】36 34x4设所加的线段是x,则得到：二二一或一二二或二=二，即可求得.【详解】设所加的线段是工，则得到:解得：人=8或2或2.2【点睛】本题考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条.(1)详见解析；(2)25.【解析】【分析】(1)作BEJ_AC于点E,从而可分别表示出3和邑然后可得出己=不，同理可得出S4AOU= 这样即可证得结论.Llx(2)根据同底等高的三角形的面积相等可得出S.aod=S.boc，从而解出的面积，也就能得出梯形的面积.【详解】作BE1AC于点E，A0■J— ••寸布・S4AO同理可证：3=777,O3Uv/-s,S.'：.S]S]=S、Sq.VAB//CD,:.S&ABD=S&abC（向底等身）.**'△AO。=SabOC♦设^AO。的面枳为S,由（1）可得S?=4x9,；•S=6,・•・梯形ABC。的面积=6+6+4+9=25.【点睛】本题考查了梯形，三角形的面积，掌握平行线间距离相等是解题的关键.（1）成立，理由详见解析；（2）S”= S„.【解析】【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于△ADC,△DMC,ADBC都是同底，而由于AB//DC,因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A,M,

B分别作BC的垂线AE,MN,BF,AE〃MN〃BF,由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN==（AE+BF）,三个三角形同底因此结论①是成立的.2（2）本题可以利用AM=MB,让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面枳，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面枳.根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系.【详解】（1）当45和CO不平行时，结论①仍然成立.如图，由己知，可得AE,8尸和A/N两两平行,,四边形但8是梯形.工MN是梯形AEFB的中位线..・.MN=；(AE+8尸).S4DNC+S[)BC==DC・2MN=2SSq_"△ZMCS4DNC+S[)BC==DC・2MN=2SSq_"△ZMC°AD.WC-2+S4DBC2△D.WC・（2）・・・M为45的中点,•* =SabdM' =S&BCV.** =S^