2021-2022年高中数学第三章直线与方程1.1倾斜角与斜率2作业含解析新人教版必修220220226156

PAGEPAGE6倾斜角与斜率一、选择题1．下列四个命题中，正确的命题共有()①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]A[解析]序号正误理由①、④×倾斜角为90°时，斜率不存在，故①、④不正确②×倾斜角的范围是[0°，180°)，故②不正确③×虽然直线的斜率为tanα，但只有当α∈[0°，180°)时，α才是直线的倾斜角，故③不正确2．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为()A．(0,3) B．(0，－1)C．(3,0) D．(－1,0)[答案]C[解析]由题意可设P的坐标为(m,0)，则eq\f(0－2,m－1)＝tan135°＝－1，解得m＝3.3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[答案]D[解析]如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.4．直线l的倾斜角是斜率为eq\f(\r(3),3)的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(2\r(3),3) D．－eq\r(3)[答案]B[解析]∵tanα＝eq\f(\r(3),3)，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝eq\r(3).故选B．5．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2[答案]D[解析]可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0<k3<k2.6．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)[答案]D[解析]过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝eq\f(1,2)，∴－2≤k≤eq\f(1,2).[点评]确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角α，二者缺一不可．本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧．二、填空题7．求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是0°，还是锐角、钝角或直角．(1)C(18,8)，D(4，－4)，斜率为_________，倾斜角为_________；(2)C(－1,2)，D(3,2)，斜率为_________，倾斜角为_________；(3)C(0，－eq\f(1,b))，D(eq\f(1,a)，0)(ab<0)斜率为_________，倾斜角为_________.[答案](1)eq\f(6,7)锐角(2)00°(3)eq\f(a,b)钝角8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为_________.[答案](－5,0)[解析]设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝eq\f(8,－3－x)，kPB＝eq\f(14,2－x)，于是eq\f(8,－3－x)＝2×eq\f(14,2－x)，解得x＝－5.三、解答题9．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：(1)直线l1过原点，斜率为1；(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－eq\f(2,3)；(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为eq\f(2,3)；(4)直线l4过点(3,1)斜率不存在．[解析]10．如右图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．[分析]eq\x(\a\al(利用菱形的性质：对边平,行且相等，对角线平分一,组内对角，两条对角线互,相垂直))→eq\x(\a\al(求各直线,倾斜角))→eq\x(\a\al(利用斜率定,义求斜率))[解析]因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的斜率角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝eq\r(3).因为OB与x轴重合，DC＝OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.由菱形的性质，知∠COD＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)；直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan120°＝－eq\r(3).规律总结：解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，解题时要注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角．能力提升一、选择题1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°[答案]D[分析]画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在[0°，180°)内．[解析]根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D．规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．2．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1[答案]C[解析]设直线l的倾斜角为α，则kAB＝eq\f(m2－1,1－2)＝tanα＞0.∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1.3．已知A(1,2eq\r(3)＋1)，B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A．1 B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．不存在[答案]B[解析]∵kAB＝eq\f(2\r(3)＋1－1,1－－1)＝eq\r(3)，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.其斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，若60°＜α＜135°，则k的取值范围是()A．(－1，eq\r(3)) B．(－∞，－1)∪(eq\r(3)，＋∞)C．[－1，eq\r(3)] D．(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)[答案]B[解析]当60°＜α＜90°时，斜率的取值范围是(eq\r(3)，＋∞)；当90°＜α＜135°时，斜率的取值范围是(－∞，－1)，故选B．[点评]求斜率的范围时，应把倾斜角的范围分成两部分，即0°≤α＜90°和90°＜α＜180°.二、填空题5．已知直线l1的斜率为eq\r(3)，若直线l2和l1关于y轴对称，则直线l2的斜率为_________；若直线l2和l1关于直线y＝x对称，则直线l2的斜率为_________.[答案]－eq\r(3)eq\f(\r(3),3)6．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝_________.[答案]eq\f(1,3)[解析]由于点A，B，C共线，则kAB＝kAC，所以eq\f(0－3,a－3)＝eq\f(b－3,0－3).所以ab＝3a＋3b.即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3).三、解答题7．直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．[解析]k＝1－m2≤1，所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈[0，eq\f(π,4)]；当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈(eq\f(π,2)，π)，故倾斜角的范围是[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)．8．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[分析]结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA．[解析]如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，直线PB的斜率kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取