2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.1直线与平面垂直的判定3作业含解析新人教版必修220220226137

PAGEPAGE7直线与平面垂直的判定（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·成都高一检测)m,n是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法：①m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α⇒n∥β;③m⊥n,α∥β,m∥α⇒n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为()A.1B.2C2.直线a∥平面M,直线b⊥a,则b与M的位置关系是()A.b∥MB.b⊥MC.b⊂MD.不能确定3.(2013·福州高一检测)已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是()A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α4.(2013·汕头高一检测)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列说法中不正确的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角5.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·南阳高一检测)如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连接PB,PC,作PD⊥BC于D,连接AD,则图中共有直角三角形个.7.(2013·大同高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为8.如图,在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6cm,BC=8cm,EC⊥平面ABC,EC=12cm,则ED=cm.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成的角的正弦值.10.(2013·潍坊高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2.(1)证明PA∥平面BDE.(2)证明AC⊥平面PBD.(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.11.(能力挑战题)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位：cm),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?答案解析1.【解析】选B.①正确,因为n∥β,α∥β,所以在α内有与n平行的直线,又m⊥α,则m⊥n;②错误,α∥β,m⊥α⇒m⊥β,因为m⊥n,则可能n⊂β;③错误,因为m⊥n,α∥β,m∥α,则可能n⊂β且m⊂β;④正确,m⊥α,α∥β,得m⊥β,因为m∥n,则n⊥β.2.【解析】选D.b和a垂直,则b和平面M的位置关系都有可能.3.【解析】选C.设m在平面α内的射影为n,当l⊥n且与α无公共点时,l⊥m,l∥α.4.【解析】选D.四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD,又SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,从而AC⊥平面SBD,故AC⊥SB,即A正确;由AB∥CD,可得AB∥平面SCD,即B正确;选项A中已证得AC⊥平面SBD,又SA=SC,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,即C正确;AB与SC所成的角为∠SCD,此为锐角,而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角,此为直角,二者不相等,故D不正确.5.【解析】选D.因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥,所以顶点A在底面的射影H是底面的垂心,所以选项A正确;易证平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以AH垂直平面CB1D1,所以选项B正确;连接正方体的体对角线AC1,则它在各面上的射影分别垂直于BD,A1B,A1D等,所以AC1⊥平面A1BD,则直线AC1与AH重合,所以选项C正确.故选D.6.【解析】由题意可知Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ABC,Rt△ADP,Rt△PDB,Rt△PDC.又可证BC⊥平面APD,得BC⊥AD,则可得Rt△ADB,Rt△ADC,共8个.答案：8【误区警示】本题易错在考虑不全,从而证明不出BC⊥平面APD,少查或漏查直角三角形.【变式训练】如图,PA⊥圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中直角三角形的个数是.【解析】由题干图与已知得直角三角形有：△PAC,△PAB,△ABC,△PBC.答案：47.【解析】连接A1C1,因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以AA1⊥平面A1B1C1D1所以A1C1是AC1在平面A1B1C1D所以∠A1C1A为AC1与平面A1B1C在Rt△AA1C1中,AA1AC1==3,所以sin∠A1C1A=.答案：8.【解析】因为EC⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以EC⊥CD.AB==10cm,因为D是斜边AB的中点,所以CD=AB=5cm,所以ED==13cm.答案：139.【解题指南】过A作BC的垂线,联系PC⊥平面ABCD,利用线面垂直的判定定理可以证明所作垂线与平面PBC垂直.【解析】过A作AH⊥BC于H,连接PH,因为PC⊥平面ABCD,AH⊂平面ABCD,所以PC⊥AH,又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC,所以∠APH为PA与平面PBC所成的角,边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形,又AH⊥BC,所以H为BC的中点,AH=,因为PC=AC=2,所以PA=2,所以sin∠APH=,故PA与平面PBC所成的角的正弦值为.10.【解析】(1)设AC∩BD=H,连接EH.在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点,又因为E为PC的中点,故EH∥PA,又HE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,由(1)知,BD⊥AC,PD∩BD=D,故AC⊥平面PBD.(3)由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=,可得DH=CH=,BH=,在Rt△BHC中,tan∠CBH=,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.11.【解析】(1)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,所以AA2⊥AA2⊥AD.又AB∩AD=A,所以AA2⊥平面ABCD.连接BD,因为BD⊂平面ABCD,所以AA2⊥BD.根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面ABCD∩平面BB1D1D=BD,平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1所以BD∥B1D1,于是由AA2⊥BD,AC⊥BD,BD∥B1D1,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1.又AA2∩AC=A,所以直线B1D1⊥平面ACC2A2(2)由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S1=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2).又四棱台A1B1C1D1-ABCD的下底面是正方形,侧面是全等的等腰梯形,设四棱台侧面的高为h,所以S2==(A1B1