2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3直线与平面平行的性质5教案新人教版必修220220226233

PAGEPAGE18直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用，掌握两个平面平行的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，引出直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理．接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出两个性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理．最后可通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾两个判定定理出发，把探索两个性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断线面平行与面面平行有哪些性质？⇒eq\x(引导学生借助实物体，通过观察、想象、思考，得出线面平行与面面平行的性质定理.)⇒eq\x(通过引导学生回答所提问题理解线面平行与面面平行的性质定理.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的平行的性质定理.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面平行的性质定理.)⇒课标解读1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点)3.能用直线与平面、平面与平面的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)直线与平面平行的性质【问题导思】1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？【提示】不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？【提示】若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．图2－2－13(4)作用：证明两直线平行．平面与平面平行的性质【问题导思】观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.1．平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？【提示】是的．2．若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？【提示】不一定．3．过BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF与BC什么关系？【提示】平行．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行.图2－2－14线面平行的性质定理的应用求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．【思路探究】先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．【自主解答】已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.线∥面eq\o(,\s\up15(线面平行的性质),\s\do20(线面平行的判定))线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．【解】已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.面面平行的性质定理的应用如图2－2－15，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．图2－2－15【思路探究】先证平面AA′B′B∥平面DD′C′C，再证AB∥CD，同理证明BC∥AD，进而证明ABCD为平行四边形．【自主解答】在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．如图2－2－16，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．图2－2－16【解】(1)∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)，∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm).平行关系的综合应用图2－2－17如图2－2－17，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的长．(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【思路探究】(1)eq\x(证明PQ∥CD1)→eq\x(PQ∥平面DCC1D1)或eq\x(取AD的中点G)→eq\x(证平面PGQ∥平面DCC1D1)→eq\x(PQ∥平面DCC1D1)(2)利用PQ＝eq\f(1,2)D1C求解．(3)eq\x(取B1D1的中点O1)→eq\x(证明BEFO1为平行四边形)→eq\x(EF∥平面BB1D1D)或eq\x(取B1C1的中点E1)→eq\x(证明平面EE1F∥平面BB1D1D)→eq\x(EF∥平面BB1D1D)【自主解答】(1)证明：法一如图，连接AC、CD1.∵P、Q分别是AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.法二取AD的中点G，连接PG、GQ，则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a.(3)证明：法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1綊eq\f(1,2)B1C1.又BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴BE綊FO1.∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1，又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.法二取B1C1的中点E1，连接EE1、FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.1．证明线面平行的三种常用方法：(1)定义法．(2)线面平行的判定．(3)面面平行的性质．2．线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其示意图为：直线与直线平行eq\o(,\s\up7(直线与平面平行的判定),\s\do5(直线与平面平行的性质))直线与平面平行eq\o(,\s\up7(平面与平面平行的判定),\s\do5(平面与平面平行的性质))平面与平平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质面平行如图2－2－18所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．图2－2－18【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG綊AD.由正方体性质知AD綊BC，∴EG綊BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB∥GC.①又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G綊FC，∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D1F∥GC.②由①②得EB∥D1F，③∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED1F是平面四边形．又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，∴ED1∥BF，④由③④得，四边形BED1F是平行四边形．因将平面几何中的结论直接应用到立体几何中致误如图2－2－19所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).图2－2－19【错解】连接MN.因为AB∥CD∥MN，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).【错因分析】错误的原因是在立体几何的证明中盲目地套用平面几何中的定理．【防范措施】立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能使用平面几何知识解题．【正解】如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN.因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，所以CD∥PM，所以在△ACD中，有eq\f(AM,MC)＝eq\f(AP,PD).同理，在△DAB中，有eq\f(AP,PD)＝eq\f(BN,ND)，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).1．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交【解析】根据直线和平面平行定义，易排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．【答案】D2．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是()①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．A．①③B．②④C．②③D．①③④【解析】∵a⊂α，α∥β，∴a∥β，∴a与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与β内无数条直线平行，故②正确；又AB⊥B1C1，故在β内存在直线与a垂直，故①③错误．【答案】B3．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】根据面面平行的性质定理，A选项正确．【答案】A4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.【证明】如图所示，∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)．又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)．由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1(平行公理)．一、选择题1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交【解析】如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．【答案】D2．(2013·郑州高一检测)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【解析】如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是惟一的．【答案】B图2－2－203．(2013·呼和浩特高一检测)如图2－2－20，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.【答案】B4．(2013·德州高一检测)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D5．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…∴a，b，c，…这些交线都平行．(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确．【答案】D二、填空题6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．【解析】因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.【答案】l∥A1C1图2－2－217．如图2－2－21，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN＝5.【答案】58．如图2－2－22，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________.图2－2－22【解析】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝(eq\f(A′B′,AB))2＝(eq\f(PA′,PA))2＝eq\f(4,25).【答案】eq\f(4,25)三、解答题图2－2－239．如图2－2－23所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．【解】如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面．∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B∥MO.∵D1B⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴D1B∥平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．10．(2013·嘉峪关高一检测)如图2－2－24，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB与CD上，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD)，求证：EF∥平面β.图2－2－24【证明】(1)若直线AB和CD共面，∵α∥β，平面ABDC与α，β分别交于AC，BD两直线，∴AC∥BD.又∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD)，∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β.(2)若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G，使得eq\f(AE,EB)＝eq\f(CG,GB)，则在△BAC中，EG∥AC，AC⊂平面α，∴EG∥α，又∵α∥β，∴EG∥β.同理可得：GF∥BD，而BD⊂β.∴GF∥β，∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又∵EF⊂平面EGF，∴EF∥β.综合(1)(2)得EF∥β.11．(思维拓展题)如图2－2－25所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.图2－2－25(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解】法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)证明：由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上(靠近B′处)，点F在BD上(靠近B处)，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.【思路探究】可根据线面平行的判