2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.4平面与平面平行的性质4作业含解析新人教版必修220220226133

PAGEPAGE5直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质A组基础巩固1．满足下列哪个条件，可以判定直线a∥平面α()A．a与α内的一条直线不相交B．a与α内的两条相交直线不相交C．a与α内的无数条直线不相交D．a与α内的任意一条直线不相交解析：本题考查线面平行的判定．对于C，要注意“无数”并不代表所有．线面平行，则线面无公共点，故选D.答案：D2．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题：①②⇒③，②③⇒①，①③⇒②，其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：本题考查线线平行与线面平行的判定和相互转化．m⊄α，n⊄α，m∥n，m∥α⇒n∥α，即①②⇒③；同理可得①③⇒②；由m∥α且n∥α，显然推不出m∥n，所以②③A⇒/①.所以正确命题的个数为2，故选C.答案：C3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αD．若m∥α，α∥β，则m∥β解析：本题考查线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理．A中的m，n可以相交，也可以异面；B中的α与β可以相交；D中的m可以在平面β内，所以A，B，D均错误．根据线面平行的判定定理知C正确，故选C.答案：C4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.答案：A5．给出下列三种说法，其中正确的是()①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条平行线，那么这两个平面不一定平行；③平行于同一个平面的两条直线相互平行．A．①②B．②③C．③D．②解析：本题考查线面平行与面面平行．①中没有强调两条直线相交，所以不正确；平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③不正确；②显然正确．故选D.答案：D6．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(9,49)，则eq\f(PA′,AA′)＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,49)C.eq\f(7,8)D.eq\f(3,4)解析：本题考查面面平行的性质定理．由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\f(9,49)，所以eq\f(PA′,AA′)＝eq\f(3,4)，故选D.答案：D7．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝________.解析：∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3).∴而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.答案：158．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C解析：因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.答案：l∥A1C19．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②.①②则在四棱锥P－ABCD中，AP与平面EFG的位置关系为________．解析：本题考查线面平行与面面平行的综合应用．在四棱锥P－ABCD中，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB，AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.答案：平行10．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.证明：过点M作MG∥BC交AB于点G，连接GN.则eq\f(AM,MC)＝eq\f(AG,GB)，∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴eq\f(FN,NB)＝eq\f(AG,GB).∴GN∥AF，又AF∥BE.∴GN∥BE.∵GN⊄面BCE，BE⊂面BCE，∴GN∥面BCE.∵MG∥BC，MG⊄面BCE，BC⊂面BCE.∴MG∥面BCE.∵MG∩GN＝G，∴面MNG∥面BCE.∵MN⊂面MNG，∴MN∥平面BCE.B组能力提升11．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．解析：方法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.方法二(1)证明：由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.12．(2015·广东模拟)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2)，PD＝3，(1)证明PA∥平面BDE(2)证明AC⊥平面PBD(3)求四棱锥P－ABCD的体积．解析：(1)证明：设AC∩BD＝H，连接EH，在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设知E为PC的中点，故EH是三角形PAC的中位线，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以，PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABC