从数学建模活动看创造性

从数学建模活动看创造性朱道元教授全国研究生数学建模竞赛评审委员会主任南京东南大学2010年10月简介1：全国数学建模活动2010年，全国大学生数学建模竞赛成功举行,有33个省(市、自治区)的1196所高校的17311队、近52000多名同学参赛。这种实践性、多学科性、高强度、协作性的学术活动受到广大同学的青睐，有力地证明了数学建模活动具有旺盛的生命力和在培养受教育者创造性方面具有明显的作用。大学生数学建模竞赛和数学建模与数学实验课程是近二、三十年高等教育改革的成果简介2：建模活动的目标建模活动的主要目的是培养大学生的创造性和解决实际问题的能力。全国大学生数学建模竞赛既是竞赛，也是对我国大学生数学建模能力、创造性的大规模的抽样调查活动。剖析数学建模活动的成功经验，探索创造性培养的一般规律。主要内容1，对创造性的一些思考2，在数学建模中体现出来的各种创造性3，总结1，对创造性的一些思考这里声明以下完全是个人看法，不一定全面，更不一定正确，谨供参考，欢迎批评指正。1.1第一种创造性1.2第二种创造性1.3两种创造性之间的关联1.4数学建模活动的任务：培养创造性1.1第一种创造性（1）分类标准：根据创造积累的时间长度、所运用知识的深度来对创造性进行分类。第一种创造性是原创性成果、重大发明中所包含的创造性，这些创造不是一朝一夕就可以实现的，都需要经过长时间的积累，甚至几代人的努力，所谓“十年磨一剑”就说明这个道理1.1第一种创造性（2）这种创造性需要经过漫长的科学攀登，在攻克一系列理论或实际的难题后才能获得，如载人宇宙飞船的研制和发射优质杂交水稻品种的培育和推广概率论中的中心极限定理的证明哥德巴赫猜想的证明等1，对创造性的一些思考1.1第一种创造性1.2第二种创造性1.3两种创造性之间的关联1.4数学建模活动的任务：培养创造性1.2第二种创造性（1）第二种创造性可以粗略地定义为：“一听就能够明白，不听就是想不到，采用后作用重大”。为了说明这个定义，我们举出这方面的一些例子。1.2第二种创造性：例一获得诺贝尔经济奖的投入产出理论，虽然在经济界产生重大的影响，但从代数理论上看并不高深，只是将众多原材料和产品之间的数量关系线性化，并用矩阵来表达，然后根据矩阵有关理论得出经济方面的许多重要结论。1.2第二种创造性：例二再如数学建模的经典范例，著名的万有引力定律[1]20-25，推导过程是：1先用极坐标方程来表示在椭圆轨道上运动的物体，2再对这个方程进行简单求导，3最后将开普勒天体三大运动定律的结论带进求导的结果，就得出了万有引力定律，过程并不复杂。

1.2第二种创造性：例三统计上著名的正态分布总体的极大似然估计公式的推导[2]148-150。其思想非常简单，是：1样本的频率应该接近它的概率，将已经出现样本的概率密度合理地猜测为最大；2而在求极大值点时，分析概率密度函数的特点，分别求均值、方差的极大值点，并根据常识猜样本平均值就是极大值点；就很容易推导出有关公式。1.2第二种创造性：例四人们刚开始研究火箭时，火箭发射的推力不足，无法把比较重的荷载送上天是困扰火箭设计者的大问题。但将火箭从两节改成三节，由于第三节火箭在燃料用完时被丢弃，减轻了火箭的自重，火箭就可以产生更大的推力。虽然解决了大问题，但想到这一点并不需要高深的专业知识。1.2第二种创造性：例五如动态规划中著名的“工件排序问题”[1]17-19，要求n个不同的工件都先在A机床、后在B机床上加工，探讨在加工总时间最短的条件下的工件排序规律。如果用一般的穷举法，当工件数比较多的时候，即使使用当今世界上最先进的计算机“天河一号”也根本无法找到最优解。因为即使n=20,计算所需要的时间也长达地球年龄的上亿倍。1.2第二种创造性：例五但是如果只考虑相邻两个工件,因为只有很简单的两种情况，发现排序规律并不难，解决实际问题也只要几分钟。这个方法创造性的原理，就是对站在操场上的一排学生，只需要保证相邻两名学生的正确排序，就可以实现全体学生从高到低的排序。因为它把问题从比较n!个结果的极其复杂的问题转变成只有两个结果的简单比较问题，正是“一听就能够明白，不听就是想不到，采用后作用重大”。1.2第二种创造性：例六再如1994年美国大学生数学建模竞赛题，要求出螺旋线和处于任意位置的指定平面的全部交点[1]35-36。而当螺旋线轴几乎平行于指定平面时，交点将有成万上亿个，即使使用世界上最快的计算机也无法逐个求出全部交点，并用于实时控制。1.2第二种创造性：例六但在经过等价转化以后，问题已经变为求的解。而在高中课程中就有解基本三角方程内容，虽然有无穷多解（k取一切整数），求解却非常简单，原因就是无穷多解只需要求出其中的两个代表。1.2第二种创造性：例六受这点启发，当螺旋线轴几乎平行于指定平面时，根据精度要求，准周期函数的成万上亿个交点也只要选择适当个数的代表，找到这些代表，也就找到了全部交点。因此现有计算机完全胜任实时控制的要求。虽然解决了非常困难的问题，但道理却连高中生也完全理解。还可以举出很多类似的例子。1，对创造性的一些思考1.1第一种创造性1.2第二种创造性1.3两种创造性之间的关联1.4数学建模活动的任务：培养创造性

两种创造性之间的差别第二种创造性与第一种创造性的差别在于，它不需要特别高深的理论和复杂的知识背景，一般当事人已经具备或只需要稍加补充即可，甚至道理浅显近乎常识；它解决问题的过程也比较短暂，无须漫长的积累，甚至“立竿见影”；但采用这些创造性后，对困难的问题就能“势如破竹，迎刃而解”。两种创造性之间的联系虽然上述两种创造性相互之间存在明显的差别，但它们之间的联系却是相当紧密的。实际上，第一种创造性的基础就是第二种创造性，第二种创造性经过长期积累可能升华为第一种创造性；反过来，第一种创造性中蕴涵了大量的第二种创造性，第一种创造性的产生也会大大刺激第二种创造性的涌现。1，对创造性的一些思考1.1第一种创造性1.2第二种创造性1.3两种创造性之间的关联1.4数学建模活动的任务：培养创造性1.4数学建模活动的任务:培养创造性（1）第二种创造性因为不需要当事人有特别高深的理论和复杂的知识背景（处理实际问题的当事人一般已经具备一定的相关知识），限制比较少，适用的范围比较大，所以是高等教育中创造性培养的重点，也是数学建模活动力所能及的任务。1.4数学建模活动的任务:培养创造性（2）又因为一旦培养出这类创造性，人们的能力就可能大幅提升，工作效率就会有惊人的提高，所以这也是高校教学改革必须追求的目标。第二种创造性的大量存在，说明虽然创造性可以极大地提高效率，突破许多困难，解决重大问题，但创造性并不神秘，并非高不可攀。1.4数学建模活动的任务:培养创造性（3）通过数学建模活动来培养同学们的第二种创造性，从而增强高校学生从事科学研究的能力与自信心，正是人才培养的重要环节。数学建模教学大有可为。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.1勇于猜测，敢于质疑并提出有价值的问题2.2发现与众不同的视角，善于借鉴、移植，另辟蹊径地解决问题2.3正确选择解决问题的“突破口”

2.4善于把复杂的问题恰当地分解为一系列简单的问题

猜测是创造性的摇篮（1）世界上的许多事物是错综复杂的，没有经验的人遇到这类问题经常会感到无从下手，甚至不知道应该解决什么问题，不知道应该向什么方向努力，更不知道会有什么结果，只能是“盲人骑瞎马”。所以提出有价值的问题或新的理念是创造的前提，也是重要的创造性。猜测是创造性的摇篮（2）例如费尔马大定理，概率论的中心极限定理，宇宙大爆炸的学说等都因为猜测并提出有价值问题而引导有关学科的迅速发展。创造性之所以被称为创造，就是因为没有人这么想过，没有人这么做过。因此它首先一定是大胆的猜测，虽然要有一定的道理，但也不会有绝对的把握。猜是经验的升华，猜是跳跃式的思考，猜是前进的阶梯，猜来自敏锐的洞察力，猜的基础是对问题本质的研究。经常猜测有助于活跃思维。猜测与质疑紧密相连要解决新问题特别是困难的问题，一定伴随着思想的突破与飞跃，经常会与主流观念发生激烈的冲突。如果不敢质疑权威，墨守成规，就不会有大胆的猜测，也就不会有质变。爱因斯坦如果不敢质疑几百年来一直占据统治地位的牛顿运动定律就不会有相对论。因此猜测经常和质疑紧密相连。培养学生的猜测能力（1）高等教育阶段创造性培养的重要内容之一就是让他们敢于质疑、勇于猜测，善于提出新问题、新理念、新方法。如对2008年A题中“寻找唐家山堰塞湖的溃坝规律”问题[3]，[4]，研究生普遍不知道溃坝的规律所应该包含的内容，更无法开展研究，明显缺乏提出有价值问题的能力。培养学生的猜测能力（2）其实，唐家山堰塞湖会不会溃坝？会发生哪种形式的溃坝？什么条件下、什么时候会发生溃坝？溃坝的先兆是什么？溃坝的过程又会怎么样发展？发生溃坝后的最大危险是什么？溃坝后的最大危险将发生在什么时间、什么地点？这些就是迫切需要研究的溃坝规律。科学发展的动力无非来自内部和外部的需求，据此就可以提出有价值的问题。提出这些问题其实并不困难，但学生以前缺少这方面的锻炼，今后应该有意识地加强这方面的培养，应该鼓励学生挑战权威，质疑经典。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.1

勇于猜测，敢于质疑并提出有价值的问题2.2

发现与众不同的视角，善于借鉴、移植，另辟蹊径地解决问题2.3正确选择解决问题的“突破口”

2.4善于把复杂的问题恰当地分解为一系列简单的问题

创造性：鼓励与众不同的视角为什么会有不同的看法、不同的结论，一般是由于看问题的角度不同。有与众不同的视角，就很有可能产生创见。为什么会有不同的做法、不同的途径，多数源于经历的不同、接受教育的不同。善于借鉴、移植其他学科的方法，就可能另辟蹊径地解决问题，这是相对而言比较容易实现的创造。实例一：青藏铁路中的“以桥代路”青藏铁路要穿过高原活跃冻土带，地面一年四季温差变化非常大，经过多次融化、冰冻。再坚固的铁路路基也无法承受，成为世界性难题。如果局限于融化、冰冻规律无助于问题的解决。但另辟蹊径，“以桥代路”就是让铁路路基穿过冻土层直接建在岩石上，有效地避免了冻土层对铁路路基的破坏，创造性地解决高原活跃冻土带施工的世界性难题。实例二：飞行管理问题（1）再如1997年全国大学生数学建模竞赛题“飞行管理问题”[1]52-55中，航空管理局要对正在其管辖范围内、处于同一高度的6架飞机进行管理，保证它们的飞行安全，同时使所有飞机的调整的幅度达到最小。初看这是一个有6个控制对象的复杂的实时最优控制问题，要解决问题似乎非常困难。实例二：飞行管理问题（2）但是如果把这个问题看成在操场上有6个人在骑自行车，怎么让他们避免发生碰撞的问题。再基于后者，从常识就知道早调整一定优于（调整的幅度小）晚调整，一次调整到位优于多次调整（这可以用三角形一个外角大于任意一个与它不相邻的内角来证明）。由此类推，飞行管理问题估计也应该在6架飞机刚接受该航空管理局管辖时，就做一次到位的调整，这样调整的幅度最小。所以发出控制操作指令的时间就完全确定了，问题也就转化为一般的优化问题，大大降低了难度。实例三：足球队排名次1994年全国大学生数学建模竞赛“足球队排名次”[1]124-139问题似乎和高深数学知识没有任何联系。但如果认为比赛结果反映了两支球队的实力之比，则竞赛成绩矩阵的正特征向量就与各支球队的实力成比例。根据代数上的Perron—Frobenius定理，用幂法求正互反矩阵的特征向量，就能够实现足球队的正确排序，它完全不同于通常的计算积分的方法，而且可以推广到少数球队之间没有比赛的情况。实例四：高阶对称矩阵相似对角化高阶对称矩阵相似对角化是线性代数中的困难问题[2]64-68，到目前为止也没有找到方法能够通过一次或有限次的运算一定实现相似对角化。但Jacobi发现在平面解析几何中，二次曲线通过旋转坐标轴实现坐标方程标准化，就是对二阶对称矩阵相似对角化。进而提出了高阶对称矩阵相似对角化的Jacobi旋转法，用计算机就可以有效地实现对称矩阵相似对角化。实例五：中心极限定理众所周知，概率论的中心极限定理虽然早就提出来了，但花了200年的时间才完成证明，它不是用随机变量的概率密度函数，而是用随机变量的特征函数来证明的[5]294-306。因为独立积的概率密度函数要经过卷积才可以得到，但无穷多次卷积根本无法计算，所以长期以来定理始终得不到证明。直到定义了特征函数，它虽然复杂，而且缺少实际背景，但随机变量独立积的特征函数是特征函数的乘积，非常方便，从而定理得到严格的证明2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.1

勇于猜测，敢于质疑并提出有价值的问题2.2发现与众不同的视角，善于借鉴、移植，另辟蹊径地解决问题2.3

正确选择解决问题的“突破口”

2.4善于把复杂的问题恰当地分解为一系列简单的问题

创造性：恰当选择“突破口”（1）因为即使再困难问题也肯定有相对薄弱的部分，选择从这些的地方攻关，可以快速推进解决问题的进程。科学研究如同打仗一样，能否恰当地选择“突破口”关系着研究的进展，甚至决定着研究的成败。因为要解决的问题千姿百态、千变万化，要善于分析实际问题的特点，才能从中寻找出薄弱环节予以突破，所以选择“突破口”具有很强的创造性。恰当选择“突破口”也有规律（2）另一方面，也不是每个问题“突破口”的选择都毫无规律可寻，只是在很大程度上依赖经验的积累，依赖当事人对类似、有部分相同或相似问题的处理经历，依赖当事人对成功解决问题全过程的了解，总之，“熟能生巧”。由于学生数学建模竞赛的题目都是些没有被解决过的比较困难的实际问题，所以在选择“突破口”方面，为学生提供了极好的锻炼机会，并且可以提供多次练习选择突破口的机会。实例一：“邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度”（1）对2007年“邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度”中的某县的邮车调度问题[6]，从数学上看是有时间窗的车辆路径问题，属于NP—hard问题。具体问题中又增加了约束条件，给出了限制，似乎很难下手。但实际上问题不是更困难了，约束条件给得越多，则可行解就越少，以前是“大海捞针”，现在是“游泳池里找针”，反而降低了优化的难度。实例一：“邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度”（2）确实，只要考虑邮车在时间和容量方面所受到的限制，很容易决定最少需要三辆邮车。而根据里程和容量的限制，每辆邮车只能经过4-6个支局，求最短邮路可以先把十六个支局分成三个无交的集合，每个集合4-6个点找最短路就非常容易了。所以决定最少需要几辆邮车就是解决问题的“突破口”。实例二：1994年美国大学生数学建模竞赛题（1）1994年美国大学生数学建模竞赛题，要求出螺旋线和处于任意位置的指定平面的全部交点。首先就要决定螺旋线和指定平面的交点数，即四个未知数、四个非线性方程的方程组解的个数问题[1]28。但目前在数学上还无法精确决定一般方程组的解的个数，所以问题是困难的。但这个问题又是必须解决的，否则谈不上求出全部交点。如果取平行于螺旋线轴、且垂直于指定平面的一个平面作为投影面，将螺旋线和指定平面向投影面做投影，就将立体问题转化为平面问题。由于空间交点和投影面内的交点是一一对应的，求螺旋线和指定平面的全部交点的问题被等价简化为求投影面内一条直线与曲线的全部交点问题。再将螺旋线的参数方程代入指定平面的方程，最终简化为求一个未知数、一个方程即的解的个数问题。实例二：1994年美国大学生数学建模竞赛题（2）实例三：求多元正态分布的均值和方差的极大似然估计求多元正态分布的均值和方差的极大似然估计的公式，本来是十分困难的高维优化问题。但仔细分析多元正态分布的概率密度函数[2]148-150，可以发现它是乘积形式，而且除一个因子是均值的函数外，其他因子都与均值无关，因此选择先求均值的极大值点作为“突破口”，然后再求方差的极大值点，公式就容易推导了。所以正确选择解决问题的“突破口”是重要的创造。再如解方程是困难的，但猜出方程的解，进行验证却是很容易的事实例四：110警车巡逻路线2009年D题“110警车配置及巡逻方案”[9]

，要求警车在接警后三分钟内，赶到现场的比例不低于90％。还有重点区域发生警情，警车必须在两分钟内到达。要制定全市的巡逻方案显然是NP问题，但肯定先要决定该市需要多少辆警车，才可能知道需要制定多少条路线，也才可能开始仿真。所以决定需要多少警车是“突破口”。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.1

勇于猜测，敢于质疑并提出有价值的问题2.2发现与众不同的视角，善于借鉴、移植，另辟蹊径地解决问题2.3正确选择解决问题的“突破口”

2.4

善于把复杂的问题恰当地分解为一系列简单的问题的串联

创造性:分解复杂的问题（1）解决复杂问题绝不能一蹴而就，饭必须一口一口地吃，战争必须一仗一仗地打。解决复杂问题就好像攀登一座高山，要能成功登顶，一定要选择正确的路线，既要能不断地前进，又要在前进中逐段上升。同样解决一个复杂的问题一定要制定一条正确的技术路线，要把技术上的整体跨度分解成若干个可达跨度来实现，把一个复杂的问题恰当地分解为一系列简单的问题的串联；而且每一个简单的问题都能够比较容易得到解决，这样当所有这些简单的问题都解决了，则复杂问题也就最终获得了解决。创造性:分解复杂的问题（2）要制定正确的路线迫切需要创造性和敏锐的洞察力。我们应该不断用我们熟悉的事物去描述我们不熟悉的事物，应该不断用确定的内容去替换那些尚未确定的内容，应该不断以已经获得的结论为基础去扩大战果，要根据过去的经验去预测预期的成果和可能的结论，而要能够实现这些只能依赖实践的熏陶。由于学生数学建模竞赛的题目有相当的难度，要解决它们一定要制定正确的技术路线，因此对培养同学制定正确的技术路线的创造性很有帮助。这些正是大学生能力结构中的薄弱环节。实例一：2008年A题（1）2008年A题“唐家山堰塞湖溃坝时洪水可能淹没区域”是水利、尤其是堰塞湖问题研究邻域的前沿课题[3]，[4]，困难是显而易见的，必须制定正确的技术路线才会获得成功。实例一：2008年A题（2）如果意识到只要了解堰塞湖下游地区十几个居民点（堰塞湖附近是无人居住区，对这些地方的水位无需关心）的最大水深、最大流量，就已经满足实际需要，则可以制定解决问题的技术路线如下：溃坝后洪水的最大流量→水流路线→水流速度→各居民点处洪水的最大流量及到达的时间→各居民点处地形图→各居民点处最大水深→各居民点处淹没区域→疏散方案。逐步解决好每个环节，则唐家山堰塞湖溃坝时洪水可能淹没区域也就获得了。实例二：生产过程管理（1）产品结构确定，各种生产流水线所需要的人力、设备也完全确定的情况下，准备开办一个新厂，求当人员、设备可以调度时的最小生产规模的“生产过程管理”问题[1]40-45，在无浪费的约束下，数学上是求Ax(t)=b的最小正整数向量解b,但是其中调度方案即t时刻正在生产的各种流水线的条数x(t)是未知的函数向量，因此不但求最小生产规模的条件不足，而且在线性代数中也从未讨论过函数向量解问题，所以难度是相当大的。实例二：生产过程管理（2）如果先假定x(t)是未知的常数向量，则可以通过其他条件决定x,从而找到此时的最小生产规模；进而探讨最小生产规模、调度方案的性质；再根据当人员、设备可以调度时的最小生产规模与当人员、设备不可以调度时的最小生产规模之间的关系，就可以最终解决这个困难的问题，甚至已有工厂的转产问题也可以在此基础上得到解决。实例三：110警车巡逻路线2009年D题“110警车配置及巡逻方案”[9]，前已介绍是很困难的问题，但制定技术路线并不困难，首先确定警车静止情况下至少需要多少警车，这是警车巡逻情况下至少需要多少警车数的下界，然后确定每辆警车的巡逻起点（或经过的任一点），最后制定规则在交叉路口如何选择下一条道路，甚至在途中何时需要调头。这就是完整的技术路线。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.5各学科知识融会贯通、灵活运用

2.6学过的数学知识巧妙运用于实际问题2.7抓准问题主要矛盾和发现事物规律的洞察力

2.8问题有创意的表达

2.9善于捕捉信息、精于对结果的分析、挖掘、推广

创造性：融会贯通各学科知识（1）实际问题和已经被抽象了的理论问题之间最大的区别就在于它不仅属于某个学科，它有许多具体的、各种各样的属性，它们的变化受到各种规律的支配。即使用某个学科最先进的成果来分析复杂的实际问题，也仅仅是从一些侧面、某些角度来进行考察，仍然可能无法对错综复杂的现象做出全面、合理、本质的解释，因此要解决这类问题，学科交叉、知识融合就是必不可少的。创造性：融会贯通各学科知识（2）尤其在科学技术高度发达的今天，各门学科之间相互渗透、相互支持已经相当普及；由于学科交叉，一门学科某个方面的突破带动其他学科进展的事例层出不穷；许多重大科技项目都由多学科联合攻关；许多重大科技成果的获得是多学科共同协作的结晶，正说明了这样的事实。显然，学科交叉、知识融合是创造性的源泉之一。现实情况然而受教育者，例如学生们尽管学习过多门学科的大量的科学知识，但在他们的脑海里，各门学科的知识之间的联系，与实际问题中各学科的规律是紧密耦合成一体是迥然不同的，各门学科的知识之间基本上是孤立的，没有做到融会贯通，因此大大制约了学生创造性的发挥。实例一：邮政运输问题如2007年“邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度”[6]题中，由于要求降低空车率，结果却出现明明经过支局而不丢下邮包，返回时才丢下邮包的不合理现象，竟没有一个队想到，借用物理上“效率”的概念即可轻易解决邮车的效益问题，也没有竞赛队非常有创意地想到，军事上“切忌孤军深入”思想可以用于解决改变邮政支局隶属关系问题。实例二：溃坝问题2008年“唐家山堰塞湖的溃坝问题”，竟没有一个队设法从能量守衡的角度去进行研究。再如“飞行管理问题”中要保证飞机的安全，仅根据飞行的轨迹是无法判定飞机是否会相撞，因为两架飞机同时在运动。但是如果借用物理上相对运动原理，就可以方便地转化为判定运动物体与另一个静止物体是否会相撞的简单问题。然而绝大多数同学都没有想到这个简单的方法。实例三：线性方程组非负解的

充要条件在很多实际问题中都要求线性方程组的非负解。那么存在非负解的充要条件是什么？一般线性代数教材是不介绍的，但泛函分析中有Farkas引理[7]。如果将定理中BP=d看成线性方程组，P看成未知数，它实际上就是线性方程组存在非负解的充要条件。因此力求各学科知识融会贯通往往就能够有新创造。牢记重要规律借鉴其他学科思想由于在自然界一切小的规律都是受大规律支配的，而且不同的事物之间也不是完全截然不同的，经常发生的情况反而是不同的事物之间存在某种共性，不同的实际问题经常有相同的数学模型。因此牢记重要的普遍规律，借鉴其他学科的思想，开展本学科有关问题的研究经常会有意想不到的收获。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.5

各学科知识融会贯通、灵活运用

2.6

学过的数学知识巧妙运用于实际问题2.7抓准问题主要矛盾和发现事物规律的洞察力

2.8问题有创意的表达

2.9善于捕捉信息、精于对结果的分析、挖掘、推广

创造性：数学知识的巧妙运用书本上的数学知识与实际问题之间总存在一定的差距。加之书本上一般情况下，只介绍基本原理、基本方法，很少介绍如何应用于具体的实际问题。即使介绍了个别的具体应用事例，从使用角度看也很不全面。因此学生们常常在接触不熟悉的问题时，想不到或者想不出办法把已经学习过的数学知识运用到实际问题中去。实例一：堰塞湖的溃坝问题2008年“唐家山堰塞湖的溃坝规律及唐家山堰塞湖洪水可能淹没区域”中第一个问题，寻找唐家山堰塞湖的库容和水位高程曲线[8]，实际上是求一系列不规则物体的体积。学生们早已在高等数学课程中，学习过对截面积进行积分求体积的方法。但大多数竞赛队由于理论脱离实际，加之可能不会使用三维地图，做成了曲线拟合问题。实例二：“110警车配置及巡逻”（1）2009年D题“110警车配置及巡逻方案”[9]

，要求警车在接警后三分钟内，赶到现场的比例不低于90％。因为该市有多辆警车，都在巡逻中不断地运动，可以处于任意位置。加之城市街道比较复杂，三分钟可达道路长度就比较难求。而且不同警车的可达道路之间有重迭，甚至不同时刻可达道路的重迭情况也不相同，所以概率似乎很难计算。实例二：“110警车配置及巡逻”（2）然而利用所有概率论的本科教材上都会介绍的蒙特卡洛方法[5]38-40，很容易计算这个概率。可惜获奖的竞赛队都没有想到这个方法，无一例外地采用离散化方法，又没有办法去解决精度问题。所以通过学生的数学建模活动可以加深对数学课程的理解，增强用所学知识去解决问题的灵活性。对常用数学方法用得不活在数学建模竞赛中，不少情况下学生们已经找到了最优解。很可惜，绝大多数的竞賽队没有或没有能力证明他们找到了最优解。因而显著地降低了他们论文的理论价值，如果把结果应用于所解决的实际问题，也会造成不良的影响。其实在数学课程中经常给出是最优解的证明，而且证明某个结果是极大值或极小值也有一般的方法。但学生可能对此关注不够，成了薄弱环节。例如“飞行管理问题”找到了几个最优解都没有能给出证明。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.5

各学科知识融会贯通、灵活运用

2.6学过的数学知识巧妙运用于实际问题2.7抓准问题主要矛盾和发现事物规律的洞察力

2.8问题有创意的表达

2.9善于捕捉信息、精于对结果的分析、挖掘、推广

抓准主要矛盾需要创造性错综复杂的事物内部有许多矛盾，但在一定时期一定有一种矛盾是主要的，抓住这个主要矛盾,问题就迎刃而解了。要能够最终彻底解决困难的问题，必须依靠对问题有本质的了解。但问题的本质又往往被许多表面现象所掩盖，甚至为一些假象所包裹，要抓住问题的本质必须撕开假象、透过表面现象去发现问题的本质。不同水平、不同层次的当事人也往往这种情况下暴露出显著的差别。抓准主要矛盾、发现其他人没有发现的规律就是创造性的体现。抓准主要矛盾需要创造性其实在抓准问题的主要矛盾和发现事物规律方面，还是有行之有效的办法的，就是应该通过压缩问题的规模、降低问题的难度、减少变化的条件、削减影响结果的因素的个数、构造出相对简单的情况，这样就容易发现问题的规律。通过简化、固定条件，增加复杂问题和简单问题之间的可比性。借用对简单问题已经知道的主要矛盾、客观规律，去猜测复杂问题的主要矛盾、客观规律。

实例一：工件排序问题（1）“工件排序问题”[1]16-17，可以通过只考虑任意相邻两个工件的排序规律，去寻找任意多个工件的排序规律。为此让排在这相邻两个工件前面、后面加工工件的顺序保持完全相同，则A机床加工情况相同，并且只选择在B机床加工完这两个工件的时刻考虑问题，规律就容易发现了。实例一：工件排序问题（2）这时A机床上加工情况完全不受这两个工件加工顺序的影响，情况完全相同；B机床已经加工完的工件集合和还没有加工的工件集合，也完全不受这两个工件加工顺序的影响，完全相同；唯一不同的，就是B机床加工当前还没有加工的工件集合的开始时刻，显然早开工一定不会晚结束，早开工的方案就是好的方案。这样问题的关键找到了，最后的规律也就容易发现了。求[2]18-19这是一个困难的问题，首先要知道结果可能是什么，才能向某个方向去努力。如果简化为一次极值，去除约束条件，采用简单分母，即,规律就容易发现了。由于求极值的函数是原像x与像Ax的内积，x的长度是1，而内积是两个向量长度的乘积再乘上两个向量之间夹角的余弦，而余弦的最大值是1，此时Ax与x方向相同，因此x是A的特征向量，Ax的最大长度即原来分式的极大值，就是A的最大特征根。实例二：求极值问题（1）实例二：求极值问题（2）这样问题的规律就发现了，极值是矩阵特征根，当有复杂分母时极值是两个矩阵的相对特征根，有约束条件时是顺序特征根，二次极值也是顺序相对特征根。现在数学课上只介绍结论或只讲解证明，纯粹是知识的传授。使得学生们认为这些知识只是数学家的专利，完全抹杀了知识形成过程中的创造性，这对培养学生的创造性极其不利。很多学生不会猜测就是因为发现不了问题的规律，找不到问题的本质。在数学建模中体现出来的各种创造性2.5各学科知识融会贯通、灵活运用

2.6学过的数学知识巧妙运用于实际问题2.7抓准问题主要矛盾和发现事物规律的洞察力

2.8

问题有创意的表达

2.9善于捕捉信息、精于对结果的分析、挖掘、推广

有创意的表达也会产生创造性错综复杂的问题有许多方面，有众多的表现，问题内部有复杂的关系，还经常发生变化。特别，如果是一个新问题，准确、简洁、全面、严格、通俗地把问题表达出来，本身就是创造；做出比以往更简单、更直观、或者更本质的表达都必须创造。因为准确、全面、严格表达问题是解决问题的前提，简洁、直观、本质的表达是创造性思想的“温床”，尤其形象生动的图形更容易让人产生联想，跳跃式思考。数学建模活动强化了交流环节，刺激了学生向其他人清晰表达自己的想法，有利于产生创造性。实例一：枪弹头痕迹自动比对方法的研究2009年“枪弹头痕迹自动比对方法的研究”[10]一题，识别发射子弹的枪支，就是要寻找不同枪支的枪管在子弹表面留下痕迹的特性。通过高科技手段可以非常精确地测量子弹表面的痕迹，其数据量达1G以上，如果陷于数据的海洋之中就很容易迷失方向，不得要领。反之，将大量数据转变成图形就很直观，易于发现枪管内壁的“毛刺”在子弹表面上留下的擦痕就是特征。实例二：工件排序问题（1）“工件排序问题”[1]14-15中要证明在A、B两台机床上加工顺序相同的方案集中，必有最优排序存在。若从有限个数中必有极小值出发，还无法保证这个极小值方案在A、B两台机床上加工顺序一定是相同的。需要证明从A、B两台机床加工顺序不同的最优排序方案出发，必定可以找到新的最优排序方案，它更接近A、B两台机床加工顺序相同的方案集，直至找到在两台机床加工顺序相同的最优排序方案。

实例二：工件排序问题（2）为此要严格定义各种加工方案到两台机床上加工顺序相同的方案集的距离，并保证其在上述过程中严格单调下降。如果创造性地定义：某方案到两台机床加工顺序相同的方案集的距离，为A机床加工顺序与B机床加工顺序之间的逆序数。当距离即逆序数为零时，则两台机床加工顺序相同，结论就最终得到证明。“飞行管理问题”在转化为线性优化问题之后[1]57-65，由于约束条件是“或”，即或，而不是通常线性规划中的“且”（即不等式必须同时满足）。因此每个不等式都要拆成两个不等式，在化线性规划标准型并用通常的方法求解时，15个不等式要拆成215=32748组，问题变成求32748个线性规划的解集合中最小值，工作量太大，无法用于实时控制。实例三：飞行管理问题（1）实例三：飞行管理问题（2）但如果用图形表示，每个“或”形式的不等式仅是从数轴上去除一个区间，多个不等式可以用同一个数轴来表示，仅从中去除多个区间罢了，即使两维情况也仅从平面中扣除一个长方形，非常直观。因此不用计算机根据图形就能求解各种目标函数下的最优解。由此可见，表达的巨大的效应。2，在数学建模中体现出来的各种创造性2.5

各学科知识融会贯通、灵活运用

2.6学过的数学知识巧妙运用于实际问题2.7抓准问题主要矛盾和发现事物规律的洞察力

2.8问题有创意的表达

2.9

善于捕捉信息、精于对结果的分析、挖掘、推广

善于捕捉信息也是创造性：进入信息化社会，数据量急剧膨胀。海量数据使人目不暇接，熟视无睹，人们对数据已经近乎麻木，人脑好像已经无法再存贮。虽然在统计数据以及数学模型的计算或仿真结果中蕴藏着大量有价值的信息，但拥有同样的数据、同样的结果，对不同的人却有完全不同的作用。因此善于捕捉隐藏在数据中重要的信息，精于挖掘数据背后所包含的规律就是创造性的体现。因为“巧妇难为无米之炊”，所以防止重要、宝贵的信息从手中不经意地滑走是科技工作者十分重要的品质。实例一：溃坝问题溃坝由于其发生的突然性，事先无法预知溃坝的发生，无法做好准备。事后又忙于应对它所产生的重大危害，无法及时安排科技人员观察记录。因此即使在全世界，大型水库的溃坝数据都是空白。现有的溃坝数据都是小型试验（几千至上万立方米）数据或发生溃坝后事后测量、推测的数据[11]。而唐家山堰塞湖是具有两亿多立方米的特大型堰塞湖，有许多科技工作者日夜守候在数十公里的沿线，所以记录下大量、各方面的数据。如果能够充分意识到这批数据特别宝贵，就可以依据这批数据进行开创性研究。实例二：飞行管理问题“飞行